静电场之均匀带电圆环圆盘和圆圈在轴线上的电场

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,(1),一个半径为,a,的均匀带电圆环，带电量为,Q,(,Q, 0,),，求圆环轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标的变化规律是什么？,(2),一个半径为,a,的均匀带电圆盘，带电量为,Q,(,Q, 0,),，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？,(3),一个外半径为,a,、内半径为,b,的均匀带电圆圈，带电量为,Q,(,Q, 0,),，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？,(1),设, 0,，圆环上所带电量为,Q,= 2,a,。,如图所示，圆环上所有电荷到场点,P,的距离都是,在,P,点产生的电势为,电势在原点处最高，并随着距离的增加而减小。,P,点的场强为,a,z,O,Q,r,P,E,9.5,均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,1,在,z,= 0,处电场强度,E,= 0,；在,z,处,E,0,，因此,E,在,z,从,0,到,之间有极值。,令,可得,极值为,如果,z,a,，电势和场强分别为,这是点电荷的电势和场强公式，其中,z,/|,z,|,表示符号,。,a,z,O,Q,r,P,E,范例,9.5,均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,当,z, 0,时，,E, 0,，场强的方向与,z,轴正向相同；,当,z, 0,时，,E, 0,),，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？,解析,(1),设,Q, 0,，当电荷均匀分布圆盘上时，电荷的面密度为,=,Q,/,a,2,，,如图所示，在圆盘上取一半径为,R,，宽度为,d,R,的圆环，其面积为,d,S,= 2,R,d,R,，,所带的电量为,d,q,=,d,S,，,环电荷在场点,P,产生的电势为,全部电荷在场点,P,产生的电势为,a,z,O,Q,R,P,E,d,R,r,5,(2),一个半径为,a,的均匀带电圆盘，带电量为,Q,(,Q, 0,),，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？,=,Q,/,a,2,，,电势,当,z,= 0,时电势最高,U,= 2,kQ,/,a,。,当,|,z,| ,a,时，电势为,这是点电荷的电势,。,a,z,O,Q,R,P,E,d,R,r,范例,9.5,均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,6,圆盘两边场强的方向不同。,如果,z, 0,，轴线上的场强为,当,z,+0,时，,E,2,kQ,/,a,2,=,/2,0,，这是无限大均匀带电平面在正面产生的场强。,当,z,a,时，可得,这是点电荷的场强。,如果,z, 3,a,时，圆盘电荷的电势接近于点电荷的电势。,8,圆盘电荷在中心附近产生的场强最大，该场强表示“无限大”带电平面的场强；圆盘两边的场强方向不同，因而不连续。,当距离增加时，场强持续减小；当,|,z,| 3,a,时，圆盘电荷的场强接近于点电荷的场强。,9,(3),一个外半径为,a,、内半径为,b,的均匀带电圆圈，带电量为,Q,(,Q, 0,),，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？,解析,(2),当电荷均匀分布在外半径为,a,、内半径为,b,的圆圈上时，如图所示，圆圈的面积为,S,= (,a,2,-,b,2,),，,电荷的面密度为,=,Q,/,S,，,在圆圈上取一半径为,R,，宽度为,d,R,的圆环，在场点,P,产生的电势为,场点,P,的电势为,在,z,= 0,处,的电势为,a,Q,b,z,O,R,P,E,d,R,r,如果,b,=,a,，可得带电圆环中心的电势,U,=,kQ,/,a,；如果,b,= 0,，则得带电圆盘中心的电势,U,= 2,kQ,/,a,。,范例,9.5,均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,10,(3),一个外半径为,a,、内半径为,b,的均匀带电圆圈，带电量为,Q,(,Q, 0,),，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？,根据公式,E,= -d,U,/d,z,可得圆圈轴线上的场强,如果,b,a,，当,z,= 0,时，圆圈中心的场强,E,= 0,；,令,解得极值坐标,极值场强为,当,z,时，,E,0,，因此场强,E,在,z,从,0,到,之间有极值。,范例,9.5,均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,11,讨论,当,b,0,时，圆圈演变成圆盘，轴上的电势为,当,b,a,时，圆圈演变成圆环，轴上电势为,轴上场强,轴上场强,范例,9.5,均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,12,讨论,根据罗必塔法则，圆环场强的极值坐标为,如果,z,a,，根据二项式定理，可得,这是点电荷的电势和场强,。,圆环场强的极值为,范例,9.5,均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,13,均匀带电圆环到均匀带电圆盘的电势的演变过程。,在中心点，圆环电荷产生的电势最小，导数为零；,当距离比较大时，所有电荷的电势都与点电荷产生的电势相近。,随着圆圈宽度的增加，中心点的电势也增加，极大值变“尖”了，但导数仍然为零，这是因为电荷离轴线变近的缘故；,当圆圈变成圆盘时，电荷产生的电势最大，形成“尖”形，导数不但不为零，并且左右导数不相等。,14,均匀带电圆环到均匀带电圆盘的电场强度的演变过程。,当距离比较大时，所有电荷的场强都与点电荷的场强相近,。,圆环电荷和圆圈电荷在中心点产生的场强为零，不论圆圈宽度如何，场强都有极值。,场强的极值分布在一条由线上，随宽度的增加而增加，也越靠近中心点。,圆盘的电场是极限情况，场强的极值就在中心处。,15,