考研曲线积分和曲面积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十章,积分学,定积分二重积分三重积分,积分域,区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对弧长的曲线积分,第十章,内容小结,1.,定义,2.,性质,(,l,曲线弧,的长度,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果曲线,L,的方程为,则有,如果方程为极坐标形式,:,则,推广,:,设空间曲线弧的参数方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,L1,是曲线,L,在,x,轴右侧的那一部分；关于,y,轴对称也有类似结论。,对称性的应用：,1.,如果曲线关于,x,轴对称，函数,f(x,y,),关于,y,为奇偶函数，则,2.,设,f(x,y,),在曲线连续，曲线,L,关于原点对称，函数,f(x,y,),关于（,x,y,）为奇偶函数，则,其中,L1,是曲线,L,在右半平面或上半平面的那一部分,。,例,1.,计算,其中,L,为双纽线,解,:,在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,计算,其中,为球面,解,:,化为参数方程,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,已知椭圆,周长为,a,求,提示,:,原式,=,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,1,、对坐标的曲线积分的概念,与性质,2,、 对坐标的曲线积分的计算法,3,、两类曲线积分之间的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲线积分,第十章,1.,定义,性质,(1),L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),L,表示,L,的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意,积分弧段的方向,!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧,L,以弧长为参数,的参数方程为,已知,L,切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的,等价条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,格林公式及其应用,第十章,区域,D,分类,单,连通区域,(,无,“洞”,区域,),多,连通区域,(,有,“洞”,区域,),域,D,边界,L,的,正向,:,域的内部靠左,定理,1.,设区域,D,是由分段光滑正向曲线,L,围成,则有,(,格林公式,),函数,在,D,上具有连续一阶偏导数,一、 格林公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理,2.,设,D,是单连通域,在,D,内,具有一阶连续偏导数,(1),沿,D,中任意光滑闭曲线,L,有,(2),对,D,中任一分段光滑曲线,L,曲线积分,(3),(4),在,D,内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关,.,函数,则以下四个条件等价,:,在,D,内是某一函数,的全微分,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,:,根据定理,2 ,若在某区域内,则,2),求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3),可用积分法求,d,u,=,P,d,x,+,Q,d,y,在域,D,内的原函数,:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可,添加辅助线,;,取定点,1),计算曲线积分时,可选择方便的积分路径,;,定理,2,目录 上页 下页 返回 结束,真题研讨,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对面积的曲面积分,第十章,1.,定义,:,2.,计算,:,设,则,(,曲面的其他两种情况类似,),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对面积的曲面积分的概念、性质和计算,对称性的应用,例,3.,计算,其中,是球面,利用对称性可知,解,:,显然球心为,半径为,利用重心公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲面积分,第十章,其方向用,法向量指向,方向余弦, 0,为前侧, 0,为右侧, 0,为上侧, 0,为下侧,外侧,内侧,设,为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫,有向曲面,表示,:,其面元,在,xoy,面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例中,流过有向曲面, 的流体的流量为,称为,Q,在有向曲面,上,对,z,x,的曲面积分,;,称为,R,在有向曲面,上,对,x,y,的曲面积分,.,称为,P,在有向曲面,上,对,y,z,的曲面积分,;,若记,正侧,的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时，,（上侧取,“,+,”,下侧取,“,”,),类似可考虑在,yoz,面,及,zox,面上的二重积分转化公式,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,则有,若,则有,(,前正后负,),(,右正左负,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质,:,联系,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,设,S,是球面,的外侧,计算,解,:,利用,轮换对称性,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,计算曲面积分,其中,解,:,利用两类曲面积分的联系,有, 原式,=,旋转抛物面,介于平面,z=,0,及,z =,2,之间部分的下侧,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式,=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、高斯,( Gauss ),公式,定理,1.,设空间闭区域, 由分片光滑的闭曲, 上,有连续的一阶偏导数,函数,P,Q,R,在,面 所围成, ,的方向取外侧,则有,(Gauss,公式,),高斯 目录 上页 下页 返回 结束,1.,高斯公式及其应用,公式,:,应用,:,(1),计算曲面积分,(,非,闭曲面时注意添加辅助面的技巧,),(2),推出闭曲面积分为零的充要条件,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,利用,Gauss,公式计算积分,其中, 为锥面,解,:,作辅助面,取上侧,介于,z =,0,及,z = h,之间部分的下侧,.,所围区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用重心公式,注意,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一,、 斯托克斯,( Stokes ),公式,定理,1.,设光滑曲面, 的边界 是分段光滑曲线,(,斯托克斯公式,),个空间域内具有连续一阶偏导数, 的,侧与,的正向符合,右手法则,在包含 在内的一,则有,简介 目录 上页 下页 返回 结束,为便于记忆,斯托克斯公式还可写作,:,或用,第一类曲面积分表示,:,定理,1,目录 上页 下页 返回 结束,例,9.,为柱面,与平面,y = z,的交线,从,z,轴正向看为顺时针,计算,解,:,设,为平面,z = y,上被,所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,公式 目录 上页 下页 返回 结束,2.,通量与散度,设,向量场,P,Q,R,在域,G,内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面, 的通量为,G,内任意点处的散度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1),利用对称性及重心公式简化计算,;,(2),利用积分与路径无关的等价条件,;,(3),利用格林公式,(,注意,加辅助线的技巧,) ;,(4),利用斯托克斯公式,;,(5),利用两类曲线积分的联系公式,.,2.,基本技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,真题研讨,