工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.5 直线与平面、两平面的相对位置,直线与平面、平面与平面的相对位置,相对位置包括,平行,、,相交,和,垂直,。,若平面外的一直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。,一、直线与平面平行,利用该定理： 在平面外作一直线与平面平行, 判断平面外直线与平面是否平行,n,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例,1,：过,M,点作直线,MN,平行于平面,ABC,。,有无数解,有多少解？,例,2,：过,M,点作一正平线,MN,平行于平面,ABC,。,c,b,a,m,a,b,c,m,n,唯一解,n,例,3,不平行,二、直线与平面相交,直线与平面相交，其,交点,是直线与平面的,共有点。,要讨论的问题：,求,直线与平面的,交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即,判别可,见性。,我们先讨论,直线,或,平面,中,至少有一个处于特殊,位置的情况。,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,1,、平面为特殊位置,例：求直线,MN,与平面,ABC,的交点,K,，,并判别可见性。,空间及投影分析,平面,ABC,是一,铅垂面,，其水平投影积聚成一条直线，该直线与,mn,的,交点,即为,K,点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，,KN,段,在平面前，故正面投影上,k,n,为可见。,通过重影点判别可见性。,1,(,2,),作 图,k,2,1,k,例：求直线,MN,与平面,ABC,的交点,K,，,并判别可见性。,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,1,(,2,),k,2,1,k,m,b,c,k,A,C,B,K,M,N,n,H,a,1,2,2,、直线为特殊位置,空间及投影分析,直线,MN,为,铅垂线,，其水平投影,积聚,成一个,点,，故,交点,K,的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点,位于平面上，在前；点,位于,MN,上，在后。故,k,2,为不可见。,作图,用面上取,点法,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,1,(,2,),2,1,k,m,k,m(n),b,n,c,b,a,a,c,1,(,2,),2,1,k,m (n),b,c,k,A,C,B,C,M,H,a,N,k,铅垂线,3,、一般位置直线与一般位置平面相交,一般位置直线与一般位置平面相交,辅助平面法：,过直线作一特殊位置的平面，,先求两平面的交线，,再求交线与已知直线的交点，,此交点即为直线与平面的交点。,b,a,c,d,e,a,b,c,d,e,m,n,k,m,n,P,V,k,平面与平面的相对位置,一、两平面平行,若一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行。,P,Q,A,B,C,E,F,G,ABEF；,ACEG,PQ,例,53,试判断两已知,平面,ABC,和,DEF,是否平行？,例,5-4,已知由平行两直线,AB,和,CD,给定的平面，,试过定点作一平面平行该面？,二、两平面相交,两平面相交时要讨论的问题,：,求,两平面的,交线,方法：,确定,交线,的,两个端点。,先讨论两平面中,至少有一个处于特殊位置,的情况。, 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：,判别可见性。,a,b,c,e,d,f,e,d,f,c,a,b,k,l,k,l,空间及投影分析：,DEF,为铅垂面，,在,H,面投影积聚成直线,，,交线应在此直线上，,同时又在,abc,，,故交线的水平投影为,kl,再求,kl.,例,1,：求矩形平面,P,与,ABC,的,交,线,MN,，,并判别可见性,。,H,A,C,B,P,a,c,b,p,H,M,N,n,m,a,c,b,p,c,p,H,b,作图过程,判别,可见性,a,m,n,n,m,空间及投影分析,ABC,是一般位置平面， 平面,P,是,铅垂面,，其水平投影,积聚成直线,p,H,，,p,H,与,abc,的,交点,m,、,n,即为两平面交线,MN,的,水平性投影,。,a,c,b,p,c,p,b,a,空间及投影分析,平面,P,和,ABC,都,是,铅垂面,，它们的水平投影有,积聚性,。,ab,与,p,的,交点,m(n),即为两平面交线,MN,的,积聚性投影,。,MN,为铅垂线。,例,2,：求矩形平面,P,与,ABC,的,交,线,MN,，,并判别可见性,。,H,A,C,B,P,a,c,b,p,M,N,M(n),n,m,作图过程,m(n),判别,可见性,a,a,c,b,p,P,b,c,可通过正面投影直观地进行判别。,空间及投影分析,平面,P,是,正垂面,，正面投影,p,积聚成一直线；,ABC,是,一般位置平面,。求出,ABC,的,AC,边,和,BC,边,与,平面,P,的,交点,M,和,N,，,连接,MN,即得两,平面的交线。, 求交线, 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线右侧，平面,ABC,在上，其水平投影可见。,能否不用重影点判别？,能,!,如何判别？,例,3,：求矩形平面,P,与,ABC,的,交,线,MN,，,并判别可见性,。,交点,的正面投影,m,、,n,m,n,n,m,二、两个一般位置平面相交,用直线与平面求交点的方法求两平面的交线,a,b,c,d,e,f,a,c,b,d,e,f,Sv,Pv,m,n,m,n,O,X,小 结,重点掌握：,二、如何在平面上确定,直线,和,点,。,三、两平面平行的条件：一定是分别位于两平 面内的,两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的,交点,及平面与平面的,交线,是,两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是,如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性，,尤其是特殊位置平面的,投影特性。,要 点,一、各种位置平面的投影特性, 一般位置平面, 投影面垂直面, 投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形,类似性,。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线,积聚性,。,另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形,实形性,。,另外两个投影积聚为直线。,二、平面上的点与直线, 平面上的点,一定位于平面内的某条直线上, 平面上的直线, 过平面上的两个点。, 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。,三、平行问题, 直线与平面平行,直线平行于平面内的一条直线。, 两平面平行,必须是一个平面上的一对相交直线对应平行于另一个平面上的一对相交直线。,四、相交问题, 求直线与平面的交点的方法, 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性直接求解。, 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。, 求两平面的交线的方法, 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。, 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。,（,3,）两一般位置平面相交：法一：用一般位置线面相交,法二：三面共点法,