实数的完备性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 实数的连续性,4.1 实数的连续性定理,4.2 闭区间连续函数整体性质的证明,1,极限的理论问题首先是极限的存在问题. 一个数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关，而且与数列所在的数集有关.,我们知道有理数列的极限不一定是有理数,但在实数集内，实数列的极限一定是实数.实数的这个性质称为实数集的连续性或实数的完备性.因此实数集的连续性是数学分析的理论基础.下面我们给出几个等价的描述实数集连续性的定理.这些定理是数学分析理论的基石.,4.1 实数的连续性定理,2,定理1,.,(,闭区间套定理,),设有闭区间列,若:,则存在唯一数 属于所有的闭区间(即 ),且:,一、闭区间套定理,3,从图上看,有一列闭线段(两个端点也属于此线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一一个公共点.,注:,一般来说,将闭区间列换成开区间列,区间套定理不一定成立.,4,5,6,7,8,非空数集 有上界,则它有无限多个上界,在这无,限多个上界之中,有一个上界 与数集 有一种特殊,关系.,定义,:,设 是非空数集.若 使,(1),(2),则称是 数集 的上确界.表为,二、确界定理,9,定义,:,设 是非空数集.若 使,(1),(2),则称是 数集 的下确界.表为,定理(,可列化,),设 是非空集合，则,定理(,可列化,),设 是非空集合，则,10,11,12,13,14,15,作为确界定理的应用，我们用确界定理来证明单调有界数列必有极限的公理.,16,17,设 是一个区间（或开或闭）、并有开区间集,（ 的元素都是开区间、开区间的个数可有限也可,无限）.,定义,：,若 则称开区间集,覆盖区间 .,三、有限覆盖定理,一个开覆盖.,18,定理3,(,有限覆盖定理,）,若开区间集 覆盖闭,区间 ，则 中存在有限个开区间也覆盖了,闭区间 .,注：,1.有限覆盖定理亦称为,紧致性,定理或,海涅-波莱尔,定理.,2.在有限覆盖定理中，将被覆盖的闭区间 改为,开区间 ,定理不一定成立.例如开区间集,覆盖开区间 ，但是， 中任意有限个开区间,都不能覆盖开区间,19,证明,此定理的证明方法有多种,这里还是运用区间套定理来证明,仍然要注意区间套的取法.,若定理不成立,也就是说 不能被,中任何有限个开区间所覆盖.将区间 等分成两个子区间,那么这两个子区间中至少有一个不能被,中任意有限个开区间所覆盖,设该区间为,显然有,20,再将 ,a,1,b,1, 等分成两个子区间, 其中至少有一个,不能被,S,中有限个开区间所覆盖. 设该区间为,a,2,b,2,同样有,将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间,满足下列三个性质:,(iii) 对每一个闭区间 ,a,n,b,n, 都不能被,S,中有限个,21,这就是说, ,a,N,b,N, 被,S,中的一个开区间所覆盖,开,区间所覆盖.,矛,盾.,22,四、聚点定理,23,24,25,26,27,证,设,a,n,为有界数列, 若,a,n, 中有无限项相等,取,这些相等的项可成一个子列. 该子列显然是收敛,若数列,a,n, 不含有无限多个相等的项, 则,a,n, 作,为,点集是有界的. 由聚点原理, 可设,是,a,n,的一个,聚,定理5,(,致密性定理,),有界数列 必有收敛子列 .,敛于,.,点,那么再由命题2,可知,a,n,中有,一个子列,收,五、致密性定理,定理,4,有一个非常重要的推论,(致密性定理,).,该,定理在整个数学分析中,显得十分活跃.,28,又因,由极限的不等式性质, 可得,作为致密性定理的应用, 我们来看下面这个例,题.,例3,设 在 上连续， 如果,那么存在 使,证明,:,因 故 有界.由致密性定理，,29,30,六、柯西收敛准则,31,定理6,(,柯西收敛准则,),数列 收敛,我们在2.2定理8中己给出数列的柯西收敛准则的必要性的证明,在这里我们仅证明它的充分性.,证,32,.下面证明 ,a,n, 以,a,为极限.,因为 ,a,n, 是柯西列, 所以对于任意正数,33,34,35,例5,用有限覆盖定理证明聚点定理.,证,设,S,是无限有界点集, 则存在,M, 0, 使得,设开区间集,36,很明显,H,覆盖了闭区间 ,M,M,.,根据有限覆盖,由,H,的构造,所以,矛盾.,定理, 存在,H,中的有限子覆盖,37,实数完备性理论的一个重要作用就是证,明闭区,明闭区间上连续函数的性质，这些性质,曾,经在第三,4.2 闭区间连续函数性质的证明,经在第三章给出过.,一、性质的证明,二、,一致连续性定理,38,一、性质的证明,定理1,(,有界性,),若函数 在闭区间连,续,则函数 在闭区间 有界,即,证法,由已知条件得到函数 在,的每一,点的某个邻域有界.要将函数,在每一点的,邻,域有界扩充到在闭区间 有界,可应用有,限覆,盖定理,从而能找到 .,39,证明,:,(,应用有限覆盖定理证明,),由连续函数,的,局部有界性:,40,另一种证法,采用致密性定理.,设,f,(,x,) 在,a, b,上无界, 不妨设,f,(,x,)无上界. 则存在,41,故由归结原理可得,矛盾.,写方便, 不妨假设 ,x,n, 自身收敛, 令,因为,x,n, 有界, 从而存在一个收敛的子列. 为了书,42,定理2,(,最值性,),若函数 在闭区间 连续,则函数 在 取到最小值,与最大值 ,即在 上存在 与 ,使,且,证法,只给出取到最大值的证明.根据定理1,函数,在 有界.,43,证明,设 ,用反证法,假设,显然,函数,在 连续,且 .于是,函数,在 连续.根据定理1,存在,有即 不是数集 的上确界,矛盾,.于是,44,定理3,(,零点定理,),若函数 在闭区间连续，且 (即 异号), 则在开区间 内至少存在一点 ,使 .,证明,因,f,(,x,)在,a,b,连续且 ,将 ,a,b, 等分成两个区间 ,a,c, ,c,b, 若,f,(,c,),=,0,已证. 不然, 函数,f,(,x,)在这两个区间中有一个区,间端点上的值异号, 将这个区间记为,a,1,b,1,. 再,将 ,a,1,b,1, 等分成两个区间 ,a,1,c,1, , ,c,1, b,1, 若,45,f,(,c,1,),=,0, 已证. 不然同样可知函数,f,(,x,) 在其中,个区间的端点上的值异号. 将这个过程继续进行,下去, 得到一列闭子区间 ,a,n, b,n, , 满足:,由区间套定理, 存在惟一的,46,47,设,在某一区间连续,按照定义,也就是,在区间内每一点都连续。即对,从连续定义不难看到, 的大小，一方面与给定的 有关；另一方面与点 的位置也有关，也就是，当 暂时固定时，因点 位置的不同， 的大小也在变化.,二、一致连续性,48,如图,当 给定后,如在 附近,函数图象变化比较“慢”,对应的 较大;在点 附近,函数图象变化比较“快”,对应的 较小.,49,50,一致连续的否定就是非一致连续,两者对比如下,51,52,53,54,证 (证法一),首先用致密性定理来证明该定理. 在,设,f,(,x,)在,a, b,上不一致连续, 即存在,究(可列化方法).,下述证明过程中, 选子列的方法值得大家仔细探,定理,4,(Cantor,一致连续定理,),若函数,f,(,x,) 在,a ,b,上连续, 则,f,(,x,) 在,a,b, 上一致连续.,55,现分别取,56,因为 ,x,n, 有界, 从而由致密性定理, 存在 ,x,n, 的,57,因为,所以由极限的不等式性质,连续, 所以由归结原理得到,矛盾.,(证法二),再用有限覆盖定理来证明.,以及,f,58,考虑开区间集,那么,H,是 ,a,b, 的一个开覆盖. 由有限覆盖定理,因,f,(,x,) 在 ,a,b, 上连续,对任意一点,存在有限个开区间,59,对于任何,那么,必属于上述,n,个小区间中的,一个,也覆盖了 ,a,b,.,60,所以由小区间的定义得知,这就证明了,在,a,b,上的一致连续性.,61,