牛顿运动定律10

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,质点动力学,动力学问题主要围绕力的瞬时效应,;,时空累积效应展开,涉及相应的守恒定律,.,意义,:,质点运动学,描述一个质点的运动,;,质点动力学,解释质点为什么,或者说在什么条件下做这样和那样的运动,.,立足点,:,力,1,牛顿定律,动力学的基本定律,一 牛顿定律的理解,二 牛顿定律的应用,内容,结构,要求：,1,能用牛顿,运动微分方程,求解质点在,变力,作用下做,直线,运动的简单题目。,2,能用,微元法,求解有质量,绳子,的平动转动问题,2,一,牛顿定律的理解,(,一,),保持物体运动状态的原因,牛顿第一定律,内容：任何物体都会保持其相对静止或匀速运动状 态，直到有外力迫使它改变这种运动状态为止。,概念：,惯性,：,物体保持其相对静止或匀速运动状,态的内禀属性,;,是保持其原有运动状态的内部原因,力：,力是改变物体运动状态的根本原因,(,二,),改变物体,运动状态,的原因,牛顿第二定律,内容？,3,特别注意,：,瞬时性；矢量性,.,(1),瞬时性,之间一一对应,实际上，牛二律的数学表达式是：,常规说法,:,在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与外力的矢量和的方向相同。,(2),矢量性,!,：,具体运算时应写成分量式,.,见下页,4,直角坐标系中：,自然坐标系中：,运动微分方程,开启了一扇窗,醒目的将力和各运动状态联系起来了,5,(,三,),物体受力分析遵循的原则,牛顿第三定律,(1),它们总是成对出现。它们之间一一对应。,(2),它们分别作用在两个物体上。绝不是平衡力。,(3),它们一定是属于同一性质的力。,两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等的，,而且指向相反的方向。,6,问题,假如：车厢地面是光滑的：,a=0,时,小球的状态符合牛顿定律,结论,：,在有些参照系中牛顿定律成立，这些系称为惯性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。,a,0,时,小球的状态为什麽不符合牛顿定律？,(,四,),惯性系与非惯性系,(,了解,),7,力学的,基本单位,1984,年,2,月,27,日，我国国务院颁布实行以国际单位制,（,SI,）,为基础的法定单位制,物理量,长度,质量,时间,单位名称,米,千克,秒,符号,m,kg,s,国际单位制规定了,七个基本单位,(,五,),物理量的单位和量纲,其它力学物理量都是导出量,力学还有辅助量：弧度,rad,如,:,速率,8,表示一个物理量如何由,基本量的组合,所形成的式子,量纲,如：速度的量纲是,量纲作用,(,1,),可定出同一物理量不同单位间的换算关系,(,3,),从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位,(,2,),量纲可检验文字描述的正误,如：,9,解题步骤：,两,类,力学问,题,：,已知力求运动,已知运动求力,二,牛顿定律的应用,基本方法,:,隔离法,+,正交分解,隔离物体 受力分析 建立坐标,列方程 解方程 结果讨论,10,例,1,：质量为,m,的小球，在水中受的浮力为常力,F,，,当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为,f=kv,(,k,为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度,v,与时间,t,的关系为,f,F,mg,a,x,式中,t,为从沉降开始计算的时间,证明：取坐标，作受力图。,根据牛顿第二定律，有,单个质点,:,11,初始条件：,t,=0,时,v,=0,12,练习,：,质量为 的轮船在停靠码头前,发动机停止工作,.,此时,船速率为,.,设水对船的阻力与船速成正比,比例系数为,.,求轮船停机后还能前进的最大距离,.,提示,:,这类题目与前面的质点运动学第二类问题有何关联？,牛顿定律中的,运动微分方程,是关键！,答案,13,例,2,：如图所示，质量为,m,的钢球由静止开始从,A,点沿圆心在,o,、半径为,R,的光滑半圆形槽下滑。当滑到图示位置（钢球中心与,o,的连线和竖直方向成,角）时，求这时钢球对槽的压力以及钢球的法向加速度和切向加速度。,下面讨论利用自然坐标系解题的方法,（体会思想即可）,R,o,A,mg,N,a,t,解：,由,f,n,=,ma,n,，,f,t,=,ma,t,有,法向：,切向：,14,R,o,A,mg,N,a,t,切向：,利用技巧：,及,15,代入法向方程,机械能守恒,上式中,前的负号来源于角速度正负符号的规定，求解上式,体会,:,用牛顿定律求解单个质点运动的两个重要技巧,:,1,运动微分方程式,2,运动数学的变量迭换思想,.,16,质点组题目不单独 做要求！,17,附,1:,有质量绳子,平动转动问题,例,1,质量为 、长为 的柔软细绳，一端系着放在光滑桌面上质量为 的物体，在绳的另一端力 设绳的长度不变，质量分布是均匀的求：,(1),绳作用在物体上的力；,(2),绳上任意点的张力,法一： 由于两物体具有相同的加速度，,此题很容易用中学手段求出,.,（略）,18,法二：微元法,19,显然，当,x,为时，所求的力即为绳子作用在物体的力,若上题变为竖直方向把物体提起来，怎样求绳上任意点的张力？,20,例,一条质量分布均匀的绳子,质量为,M,长度为,L,一端拴在竖直转轴,OO,上,并以恒定角速度,w,在水平面上旋转,.,设转动过程中绳子始终伸直不打弯,且忽略重力,求距转轴为,r,处绳中的张力,Tr,O,O,w,解,:,如图取微元,两边积分,即,得,21,力的时间积累及效应,牛顿定律需要知道力随时间变化的细节,在碰撞打击,(,宏观,),、散射,(,微观,),一类问题中,力的作用时间很短,力随时间变化很快，无法知其细节。,问题的引入,:,关心：,力在,一段时间,过程中的积累效果。,要求：,1,了解冲量；理解动量定理与牛二律关系,2,能用,微元法,求解,流量,类冲力问题,22,一 冲量,力对时间的累积矢量,冲量：,元冲量：,说明,：,1,冲量是矢量：,2,独立性：多个力对同一物体产生的冲量，等于每一个力单独对物体产生的冲量的矢量和。,大小,方向：沿着平均作用力方向,可投影在坐标系中讨论,2,冲量是过程量,23,二 动量定理,理解：,1,冲量是动量改变的原因和量度。,2,动量定理具有矢量性。可在坐标系中表示,即：质点所受合外力的冲量等于质点动量的改变量,3,适用惯性参考系,1,单个质点,4,动量定理,微分形式,24,2,质点,系,的动量定理,（了解思想即可）,对,i,质点运用动量定理：,对所有质点求和可得：,一对内力,的冲量能,抵消,吗？,答案是肯定的！,f,1n,f,n1,m,1,m,i,f,i1,f,1i,F,i,F,1,m,n,F,n,f,ni,f,in,质点系动量定理,:,作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量,25,A.,内力,对质点组,总动量,改变量没有贡献,但对其中某一质点的动量改变有贡献。,几点说明,：,3,质点系的动量守恒定理：,当质点系所受合外力为零时,质点系的总动量守恒,.,B,系统,某一方向,所受合外力为零,则,该方向,动量守恒,C,更普遍,(,宏、微观粒子系统及电磁场皆适用,),的动量守恒定律并不,依赖牛顿定律。,D,仍,只适用于惯性系。,26,例,1:,质量为,m,的质点，经时间,t,、以不变的速率,v,越过一水平光滑轨道,60,的弯角,.,求：轨道作用于质点的平均冲力的大小。,解：平均冲力可视为恒力,由动量定理有,因,30,o,m,v,2,v,1,30,o,i,j,平均冲力,根据对称性,易知平均力方向即沿,j,方向,注：矢量运算一般需投影,27,解,:,合外力,:,练习：,一质量为,m,的质点在,xoy,平面上运动，其位置矢量为：式中,a,、,b,、,是正值常数，且,a,b,。求：,t,=0,到,t,=/(2),时间内所受合力的冲量及质点动量的改变量,（理解）,合力的冲量为,：,讨论,:,若用动量定理来求呢,?,提示,显然,用定理更简单,!,28,例,2,如图，用传送带,A,输送煤粉，料斗口在,A,上方高,h=0.8m,处煤粉自料斗口自由落在传送带,A,上。设料斗口连续卸煤的流量为,q,m,=40kg/s,传送带,A,以,v=3m/s,匀速向右运动。求：卸煤的过程中，煤粉对传送带,A,的平均作用力（不计相对传送带静止的煤粉质量，取,g=10m/s,2,）,解：煤粉下落,h,时的速度,取在时间,dt,内 落下的煤粉,dm=q,m,dt,为研究对象 应用动量理，有：,h,A,v,v,0,y,x,附,2,：流量类冲力问题,29,平均冲力：,大小,:|F|=200N,，方向与,x,轴正方向成,53.1,o.,煤粉对传送带,A,的平均作用力与此力大小相等而方向相反。,此类题型,: (,质量变化且无穷,),其,运动状态易知,关键是选取,质量微元,为研究对象,写出,常规的动量定理,形式,30,m,练习：,一质量均匀分布的柔软的细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落向桌面。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。,证,:,设绳的线密度为,下落长度为,h,时,绳的速度为,取时间,t,t+,dt,内落下的绳,dm=.dt,为研究对象,F,dm,dm g,由作用力与反作用关系，得绳子对地面的冲力为,最后得,:,N=mg+ =3mg,即,:,作用于桌面的压力,是重量的三倍。,31,(,拓展,）：,一柔软链条长为,l,，单位长度的质量为,，链条放在有一小孔的桌上，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围由于某种扰动,链条因自身重量开始下落,.,m,1,m,2,O,y,y,求：链条下落速度,v,与,y,之间的关系,设各处摩擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开,仍是变质量问题但总质量有限,若,运动状态不易知道,，,则选取,整个系统,为研究对象,写出动量定理的,微分形式,32,解,以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统，建立坐标系,由质点系动量定理的微分式得,则,m,1,m,2,O,y,y,两边同乘以 则,33,思考,:,一长为,l,密度均匀的柔软链条,其单位长度的质量为,将其卷成一堆放在地面上,如图所示,.,若用手握住链条的一端,以加速度,a,从静止匀加速上提,.,当链条端点离地面的高度为,x,时,求手提力的大小,.,（此类问题不要求）,解：,以链条为系统,向上为,X,正向,地面为原点建立坐标系,t,时刻,系统总动量,O,X,系统受合外力,34,力的空间积累及效应,要求：,(2),会用功的定义式计算简单情形下变力的功,;,(1),理解以上各概念，如它们是属于质点,还是质点系，与参考系有无关系。,一、功,(,力的空间积累,),1,恒力,（直线）,功,等于恒力在位移上的投影与位移的乘积,.,35,2,变力功的计算,（*）,1),无限分割轨道,;,取,元,位移,2),位移元上的力可视为,恒力,，故可,利用,恒力功计算式计算,上的,元功,3,),总功,为所有元功之和,.,a,b,36,说明,1,）功是,标量,，但有正负之分,.,2,） 功是,过程量,，一般情况下与运动的路径有关,3,平均功率 瞬时功率,瓦特,(W),=(,J/s,),3,）,用定义式求变力功时，,关键是,找出关系式,坐标轴中,的表达式！,37,例,1:,一人从,10m,深的井中提水。起始时桶加水,10kg,，由于水桶漏水，每升高,1m,要漏去,0.2kg,的水。求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功。,解：以水面为坐标原点，竖直向上为,X,正向。,当桶提至,X,位置时，拉力为,所作元功,将桶提至井口，人所作总功,由此题总结求变力功的一般步骤！,0,X,38,练习：,一质量为,m,，总长为,l,的绳子，开始时有一半放在,光滑的桌面上，而另一半下垂。,绳子自静止开始滑动，,求绳子滑离桌面边缘时,求合外力所做的功,.,x,解：,如图建立坐标，绳子下垂,x,时，合外力为,绳子滑离桌边合外力做功：,若桌面不光滑呢？设滑动摩擦系数为,u,提示,：,39,例,2,：作用在质点上的力为,在下列情况下求质点从,处运动到,处该力作的功：,1),质点的运动轨道为抛物线,2),质点的运动轨道为直线,X,Y,O,解：,40,X,Y,O,做功与路径,有关,41,A,B,dr,f,1,）,功,是质点,动能,变化的原因和量度,过程量,状态量,末态动能,初态动能,2,）显然，该定理给出了求功的另外一种方法。,A,、单个质点,二、动能定理,（力的空间积累效应）,42,B,、质点系的动能定理,:,需考虑内力作功,对,i,质点运用动能定理,：,对所有质点求和可得：,一对内力,做功能,抵消,吗？,即质点系的动能定理：,不为,0,强调：,求合功,不能,先求合力再求功,质点系统,43,解,:,法,1(,定义法,),例,3,:,质量为,2kg,的质点在力,的作用下,从静止出发,沿,x,轴正向作直线运动,.,求前三秒内该力所作的功。,法,2(,定理法,),44,后面内容不讲，,感兴趣同学自己看！,45,但,某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关,而与路径无关,.,这种力称为保守力,.,典型的保守力,:,重力、万有引力、弹性力,与保守力相对应的是耗散力,如摩擦力,功是沿质点运动轨道进行积分计算的,.,一般地说,功的值既与质点运动的始末位置有关,也与运动路径的形状有关。,三 势能,(,定理,),功能原理 机械能守恒定律,46,例如,重力的功,m,在重力作用下由,a,运动到,b,，,取地面为坐标原点.,可见，重力是保守力。,初态量,末态量,47,弹力的功,可见，弹性力是保守力。,弹簧振子,初态量,末态量,48,引力的功,两个质点之间在引力作用下相对运动时,以,M,所在处为原点,M,指向,m,的方向为矢径的正方向,.m,受的引力方向与矢径方向相反,.,可见万有引力是保守力,.,r,a,b,r,dr,f,M,m,r,dr,a,b,49,A,势能（定理）,在受保守力的作用下,质点从,A-B,所做的功与路径无关,而只与这两点的位置有关,.,可引入一个只,与位置有关的函数,-,势函数,(,势能,),定义,A,B,即,:,保守力做的功,=,势能增量的负值,势能差,50,势能具有相对意义,!,令,质点在某一点的势能大小,等于在相应保守力作用下，,将质点由该点移动到,零势能,处时保守力所做的功。,则,51,重力势能,（,以地面为零势能点）,引力势能,（以无穷远为零势能点）,弹性势能,（以弹簧原长为零势能点）,势能具有相对意义,注意,:,只有保守力才能引入,(,对应的,),势能的概念,.,势能是属于相互作用的物体,(,系统,),所共有的,.,势能差与零势能选取无关,52,质点系的动能定理,内非保守力功,+,内保守力功,而,所以,即得,令系统的机械能,功能原理,B,功能原理 机械能守恒定律,53,*,条件亦可描述为,:,只有内保守力做功,系统的机械能增加,系统的机械能减少,系统的机械能保持不变,机械能守恒定律,54,运用,机械能守恒定律,(,功能原理,),解题一般步骤,:,A,确立研究对象 即质点系,(,物体系,),原则是范围尽可能大,.,将质点及引起其势能变化的保守力的施力物体均包括在物体系内,B,分析研究过程中质点系中各质点的受力,(,内外力,),情况注意外力和内非保守力是否作功,若外力和内非保守力作功为,0,则系统机械能守恒,C,取定势能零点,计算始末机械能,D,根据功能原理或机械能守恒定律列方程,E(,连立其他条件方程,),求解,.,55,例,4:,用弹簧将质量分别为,M1,和,M2,的两块木板连接起来,必须加多大的力,F,压到上面的板,M1,上,以便当突然撤去,F,时,上面的板跳起来能使下面的板也刚好被提离地面,.,m1,m2,F,分析：最关键的是 注意所选系统,:,重力系统,?,弹簧系统还是重力和弹力所组成的系统,!,系统不同,内外力的界定就不同,.,所用的定理就就要有所区分了,56,m1,m2,压缩最低处,弹簧压缩,X1,弹跳最高处,弹簧伸长,X2,原长处,解,:,以,m1 m2,弹簧地球为研究对象,当撤后,系统只有内保守力作功,系统机械能守恒,如图令压缩最低处重力势能零势能处,弹簧原长处为弹力势能零势能处,由机械能守恒定律，得,X,又,作用在物体上时,联立三式,解得,(m1+m2)g,刚好被提起时，,m2,57,例,5,如图所示,光滑地面上有一辆质量为,M,的静止的小车,小车上一长为,L,的轻绳将小球,m,悬挂于,o,点,.,把绳拉直,将小球由静止释放,求小球运动到最低点时的速率。,解,:,小球受两个力,:,绳的张力,T,重力,mg,.,解得：,这个解法对吗？,o,L,m,M,T,mg,因为小球绕,o,点作圆运动，张力,T,与运动方向垂直，因此它不作功，只有重力,(,保守力,),作功，所以机械能守恒：,58,说小球绕,o,点作圆运动，张力,T,不作功，因而机械能守恒，这是以小车为参考系作的结论。这里有两个错误,:,是小车是非惯性系,(,有加速度,),，机械能守恒定律是不成立！,是机械能守恒条件中的功，应该在惯性系中计算。在惯性系,(,地面,),上看,张力,T,要作功,小球的机械能是不守恒的,。,对系统,(,小车、小球和地球,):,一对内力,(,张力,T,),作功之和为零，只有保守内力,重力作功，则该系统机械能守恒。,o,L,m,M,T,mg,错,!,错在那里？,59,(1),又该系统在水平方向动量守恒,0=,MV-m,(2),(M+m),：,o,L,m,M,T,mg,联立上式，得,60,附,1,：*,一对作用力和反作用力的功,dr,1,dr,2,o,r,1,r,2,r,21,m,1,m,2,f,2,f,1,m,1,、,m,2,组成一个,封闭系统,且与参考系无关,61,附,2,：完全弹性（非弹性）碰撞,一般情况碰撞,1,完全弹性碰撞,动量和机械能均,守恒！,2,非弹性碰撞,动量,守恒,机械能,不守恒,3,完全非弹性碰撞,动量,守恒,机械能,不守恒,(,碰撞后两物体共速！,),62,完全弹性碰撞（对心）的几种情况）,1),两球质量相同,则碰撞后互相交换速度,),被撞小球静止且质量远大于碰撞小,球质量,则被撞小球几乎静止而碰撞小,球以同样大小速率反弹回去,),被撞小球静止且质量远小于碰撞小,球质量，则碰撞小球的速度几乎不变,而被撞小球以近乎于碰撞小球倍的,速度向前运动,.,碰前,碰后,4),其他情况,仍可用该结论,63,完全弹性碰撞,（五个小球质量全同）,64,附,3:,一质量为,m,，总长为,l,的绳子，开始时有一半放在光,滑的桌面上，而另一半下垂设绳子由静止开始下滑当绳子滑离桌面边缘时,求绳子的速率,.,若桌面不光滑呢,?,x,解：,法,1:,根据动能定理,由合外力功易求速率,(,略,),法,2:,根据牛顿定律,由运动微分方程求速率,法,3:,根据动量定理,由动量定理的微分形式求速率,通过该题,好好体会一题多解的思想和乐趣,65,神舟六号待命飞天,注：照片摘自新华网,66,神舟六号点火升空,注：照片摘自新华网,67,神舟六号发射成功,注：照片摘自新华网,END,68,杰出的英国物理学家，经典物理学的奠基人,他的不朽巨著,自然哲学的数学原理,总结了前人和自己关于力学以及微积分学方面的研究成果，其中含有三条牛顿运动定律和万有引力定律,以及质量、动量、力和加速度等概念在光学方面，他说明了色散的起因，发现了色差及牛顿环，他还提出了光的微粒说,牛顿,Issac Newton,（,1643,1727,）,69,牛顿的生平与主要科学活动,70,少年时代的牛顿，天资平常，但很喜欢制作各种机械模型，他有一种把自然现象、语言等进行分类、整理、归纳的强烈嗜好，对自然现象极感兴趣。,青年牛顿,1666,年,6,月至,1667,年,3,月，,两度回到乡间的老家,1665,年获学士学位,1661,年考入剑桥大学三一学院,71,1667,年牛顿返回剑桥大学当研究生， 次年获得硕士学位,1669,年总结出了二项式定理,1669,年由于巴洛的推荐，接受了“卢 卡斯数学讲座”的职务,全面丰收的时期,1672,年进行了光谱色分析试验,1672,年，由于制造反射望远镜的成就被接纳为伦敦皇家学会会员,1680,年前后提出万有引力理论,1687,年出版了,自然哲学的数学原理,72,