用列举法求概率

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,25.2,用列举法,求概率,(1),列表法,复习回顾：,一般地，如果在一次试验中，,有,n,种可能的结果数,，,并且它们发生的,可能性都相等,，,事件,A,包含在其中的,m,种结果数,，,那么事件,A,发生的概率为：,求概率的步骤：,(1),列举出一次试验中的所有结果,(,n,个,),；,(2),找出其中事件,A,发生的结果,(,m,个,),；,(3),运用公式求事件,A,的概率：,解：,在甲袋中，,P,（取出黑球）,在乙袋中，,P,（取出黑球）,所以，选乙袋成功的机会大。,20,红，,8,黑,甲袋,20,红,15,黑,10,白,乙袋,球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出,1,只黑球，你选哪个口袋成功的机会大呢？,P136,例,1:,同时抛掷两枚质地均匀的硬币， 求下列事件的概率：,(1),两枚硬币全部正面朝上；,(2),两枚硬币全部反面朝上；,(3),一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,.,“,掷两枚硬币”共有几种结果？,正,正,正,反,反,正,反,反,为了,不重不漏,地列出所有这些结果,你有什么好办法么？,解：掷两枚硬币，不妨设其中,一枚为,A,，,另一枚为,B,，,用,列表法,列举所有可能出现的结果,:,B,A,正,反,正,反,正,正,反,正,正,反,反,反,例,1,：同时抛掷两枚质地均匀的硬币,，求下列事件的概率：,(1),两枚硬币全部正面朝上；,(2),两枚硬币全部反面朝上；,(3),一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；,（,1,）,P,（正正）,=,（,2,）,P,（反反）,=,（,3,）,P,（一正一反）,=,=,=,解：掷两枚硬币，不妨设其中,一枚为,A,，,另一枚为,B,，,用,列表法,列举所有可能出现的结果,:,B,A,正,反,正,反,正,正,反,正,正,反,反,反,(1),两枚硬币全部正面朝上；,(3),一枚硬币正面朝上，,一枚硬币反面朝上；,(2),两枚硬币全部反面朝上；,变式：,先后两次掷一枚硬币,，求下列事件的概率：,（,1,）两次硬币全部正面朝上,（,2,）两次硬币全部反面朝上,（,3,）一次硬币正面朝上，一次硬币反面朝上,解：不妨设,先掷的硬币,为,A,，,后掷的硬币,为,B,，,用列表法列举所有可能出现的结果,:,B,A,正,反,正,反,正,正,反,正,正,反,反,反,“,两个相同的随机事件同时发生”与,“一个随机事件先后两次发生”的结果是,。,一样的,3,2,1,7,6,5,4,甲,乙,甲,乙,1,2,3,4,5,6,7,补充练习,如图，,甲转盘,的三个等分区域分别写有数字,1,、,2,、,3,，,乙转盘,的四个等分区域分别写有数字,4,、,5,、,6,、,7,。现分别转动两个转盘，求指针所指,数字之和为偶数,的概率。,解：,(1,，,4),(1,，,5),(1,，,6),(1,，,7),(2,，,4),(2,，,5),(2,，,6),(2,，,7),(3,，,4),(3,，,5),(3,，,6),(3,，,7),共有,12,种不同结果，每种结果出现的可能性相同，其中,数字和为偶数的有,种,P,（数字和为偶数）,=,6,1,、不透明袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其他差别，随机摸出,1,个小球后放回，再随机摸出一个。求下列事件的概率：,（,1,）第一次摸到红球，第二次摸到绿球。,（,2,）两次都摸到相同颜色的小球。,（,3,）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球,P138,练习,1,、不透明袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其他差别，随机摸出,1,个小球后放回，再随机摸出一个。求下列事件的概率：,P138,练习,一,1,2,红,绿,1,红,绿,红,红,红,绿,绿,红,绿,绿,1,、不透明袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其他差别，随机摸出,1,个小球后放回，再随机摸出一个。求下列事件的概率：,（,1,）第一次摸到红球，第二次摸到绿球。,（,2,）两次都摸到相同颜色的小球。,（,3,）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球,P138,练习,归纳,“,列表法”的意义：,当试验涉及,两个因素,(,例如：两枚硬币掷一次或一枚硬币掷两次，两个转盘,),并且,可能出现的结果数目较多,时，为,不重不漏,地列出所有的结果，,通常采用“,列表法,”列举所能产生的全部结果。,例,2,、,同时掷两个质地相同的骰子，计算下列事件的概率：,(1),两个骰子的点数相同；,(2),两个骰子的点数和是,9,；,(3),至少有一个骰子的点数是,2,。,解：,1,2,3,4,5,6,1,(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),2,(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),3,(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),4,(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),5,(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),6,(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),第,1,枚,第,2,枚,P,(,点数相同）,=,P,(,点数和是,9,）,=,P,(,至少有个骰子的点数是,2,）,=,思考,“,同时掷两个质地相同的骰子”与,“把一个骰子掷两次”，所得到的结果有变化吗？,“,同时掷两个质地相同的骰子”,两个骰子各出现的点数为,1,6,点,“,把一个骰子掷两次”,两次骰子各出现的点数仍为,1,6,点,归纳,“,两个相同的随机事件同时发生”与,“一个随机事件先后两次发生”的结果是,一样的,。,随机事件“同时”与“先后”的关系：,例,2,、,把一个骰子掷两次，计算下列事件的概率：,(1),两次骰子的点数相同；,(2),两次骰子的点数和是,9,；,(3),至少有一次骰子的点数是,2,。,解：,1,2,3,4,5,6,1,(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),2,(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),3,(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),4,(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),5,(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),6,(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,5),(6,6),第,1,次,第,2,次,P,(,点数相同）,=,P,(,点数和是,9,）,=,P,(,至少有,1,次骰子的点数是,2,）,=,P138 2.,在,6,张卡片上分别写有,1,6,的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够,整除,第二次取出的数字的概率是多少？,1,2,3,4,5,6,1,(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),2,(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),3,(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),4,(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),5,(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),6,(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),第,一,张,第,二,张,解：由列表得，两次抽取卡片后，可能出现的结果有,36,个，它们出现的可能性相等,.,满足第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字（记为事件,A,）的结果有,14,个，则,P,（,A,）,= =,小结,1.“,列表法”的意义,2.,随机事件“同时”与“先后”的关系,;,3.“,放回”与“不放回”的关系,.,1,、一个袋子中装有,2,个红球和,2,个绿球，任意摸出一个球，记录颜色后放回，再任意摸出一个球，请你计算两次都摸到红球的概率。,若第一次摸出一球后，不放回，结果又会怎样？,“,放回”与“不放回”的区别：,(1)“,放回”可以看作两次相同的试验；,(2)“,不放回”则看作两次不同的试验。,练习,1.,解：从,13,张黑桃牌中任意抽取一张，有,13,种结果，并且每种结果出现的可能性都相等,.,（,1,）,P,（抽出的牌是黑桃,6,）,=1/13.,（,2,）,P,（抽出的牌是黑桃,10,）,=1/13.,（,3,）,P,（抽出的牌带有人像）,=3/13.,（,4,）,P,（抽出的牌上的数小于,5,）,=4/13.,（,5,）,P,（抽出的牌的花色是黑桃）,=1.,P139,习题,2.,解：（,1,）投掷一个正,12,面体一次，共有,12,种等可能的结果，向上一面的数字是,2,或,3,的,有两种结果。,P,（向上一面的数字是,2,或,3,）,=2/12=1/6.,（,2,）向上一面的数字是,2,的倍数或,3,的倍数共,有,8,种情况，即点数分别为,2,4,6,8,10,12,3,9,。,P,（向上一面的数字是,2,的倍数或,3,的倍数）,=8/12=2/3.,P139,习题,3.,解：列表如下：,P139,习题,由表可以看到共有,16,种结果，且每种结果的可能性相同,.,（,1,）两次取出的小球的标号相同共有,4,种结,果，即（,1,1,），（,2,2,），（,3,3,），（,4,4,）。,P,（两次取出的小球的标号相同）,=4/16,=1/4.,（,2,）两次取出的小球的标号的和等于,4,共有,3,种结果，（,3,1,），（,1,3,），（,2,2,）。,即,P,（两次取出的小球的标号的和等于,4,）,=3/16.,P139,习题,25.2,用列举法,求概率,(2),树形图法,例,1,、掷两枚硬币，求下列事件的概率：,（,1,）两枚硬币全部正面朝上,（,2,）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,例,2.,将一个均匀的硬币上抛三次，结果为三个正面的概率,_.,解：,反,正,正,反,反,正,正,反,反,反,正,反,正,正,第一次：,第二次：,第三次：,总共有,8,种结果，每种结果出现的可能性相同，而三次正面朝上的结果有,1,种，因此三次正面朝上的概率为,1/8,。,1/8,例,3,、甲口袋中装有,2,个相同的小球，它们分别写有字母,A,和,B,；乙口袋中装有,3,个相同的小球，它们分别写有字母,C,、,D,和,E,；丙口袋中装有,2,个相同的小球，它们分别写有字母,H,和,I,，从,3,个口袋中各随机地取出,1,个小球,（,1,）取出的,3,个小球上恰好有,1,个、,2,个和,3,个元音字母的概率分别是多少？,（,2,）取出的,3,个小球上全是辅音字母的概率是多少？,分析：当一次试验要涉及,3,个或更多的因素（例如从,3,个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图,例,3,、甲口袋中装有,2,个相同的小球，它们分别写有字母,A,和,B,；乙口袋中装有,3,个相同的小球，它们分别写有字母,C,、,D,和,E,；丙口袋中装有,2,个相同的小球，它们分别写有字母,H,和,I,，从,3,个口袋中各随机地取出,1,个小球,分析：当一次试验要涉及,3,个或更多的因素（例如从,3,个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图,A,B,C,D,E,C,D,E,H,I,H,I,H,I,H,I,H,I,H,I,乙,丙,甲,解：根据题意，我们可以画出如下的,”,树形图,“,：,从,树形图可以看出，所有可能出现的结果共有,12,个,.,这些结果出现的可能性相等,（,1,）只有一个元音字母的结果有,5,个，即,ACH,，,ADH,，,BCI,，,BDI,，,BEH,。,所以,P,（一个元音）,有两个元音字母的结果（绿色）有,4,个，即,ACI,，,ADI,，,AEH,，,BEI,。,所以,P,（两个元音）,满足三个全部为元音字母的结果有,1,个，,则,P,（三个元音）,=,（,2,）全是辅音字母的结果共有,2,个：,BCH,，,BDH,，,所以,P,（三个辅音）,用树形图列出的结果看起来一目了然，当事件要经过多次步骤（三步以上）完成时，用这种树形图的方法求时间的概率很有效,.,想一想，什么时候使用”列表法“方便，什么时候使用”树形图法“方便？,当事件要经过多个步骤完成时,:,三步以上,用这,种,”,树形图,”,的方法求事件的概率很有效,.,当事件涉及两个元素，并且出现的结果数目,为了不重不漏列出所有可能的结果，用列表法。,.,P139,练习,经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,三辆汽车经过这个十字路口,求下列事件的概率,:,(1),三辆车全部继续直行,;,(2),两辆车向右转,一辆车向左转,;,(3),至少有两辆车向左转,.,第一辆车,第二辆车,第三辆车,左,直,右,左,直,右,左,左,直,直,右,右,左,直,右,左,左,直,直,右,右,左,直,右,左,左,直,直,右,右,左,直,右,左,直,右,左,直,右,左 左 左,左 左 直,左 左 右,左 直 左,左 直 直,左 直 右,左 右 左,左 右 直,左 右 右,直 左 左,直 左 直,直 左 右,直 直 左,直 直 直,直 直 右,直 右 左,直 右 直,直 右 右,右 左 左,右 左 直,右 左 右,右 直 左,右 直 直,右 直 右,右 右 左,右 右 直,右 右 右,解,: P,（,三辆车全部继续直行,）,=,P,（,两辆车向右转，一辆车向左转,）,=,P,（,至少有两辆车向左转,）,=,=,所有可,能结果,P140,4.,解：由图可知蚂蚁寻找事物的路径共有,2+2+2=6,（条），而能获得事物的路径共有,2,条，所以它获得食物的概率,P=2/6=1/3.,5.,解：（,1,）,P,（取出的两个球都是黄球）,=1/3,1/2=1/6.,（,2,）,P,（取出的两个球中有一个白球一个黄球）,=2/3,1/2+1/3,1/2,=1/2.,P140,6.,解：树状图如图,57,所示，,P,（三只雏鸟中恰有两只雄鸟）,=3/8.,P140,7.,解：列表如下：,P,（一次打开锁）,=2/6=1/3.,P,（一次打开锁）,=2/6=1/3.,P140,8.,解：树状图如图,58,所示，,P,（两张小图片恰好合成一张完整图片）,=4/12=1/3.,P,（一次打开锁）,=2/6=1/3.,P140,9.,解：（,1,）由题意得,x/(x+y)=3/8,8x=3x+3y,5x=3y,y=5/3x.,（,2,）由题意得,(10+x)/(x+y+10)=1/2,20+2x=x+y+10,y=x+10,解得,x=15,y=25.,P,（一次打开锁）,=2/6=1/3.,生男孩与生女孩的可能性相同如果一对夫妻准备生,3,胎。,(1),求,3,个孩子都是男孩的概率；,(2),求有,2,个男孩和,1,个女孩的概率；,(3),求至少有一个男孩的概率,1,、在一个不透明的布袋里装有,4,个标有,1,，,2,，,3,，,4,的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为,x,，小红在剩下的,3,个小球中随机取出一个小球，记下数字为,y,（,1,）计算由,x,、,y,确定的点（,x,，,y,）在函数,y=-x+5,的图象上的概率,（,2,）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若,x,、,y,满足,xy,6,则小明胜，若,x,、,y,满足,xy,6,则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由若不公平，请写出公平的游戏规则 。,2,、田忌赛马是一个为人熟知的故事传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出,-,匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强,（,1,）如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？,（,2,）如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）,3,、两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序两人采用了不同的乘车方案：,甲无论如何总是上开来的第一辆车而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：,（,1,）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？,（,2,）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大，为什么？,4,、,“,石头、剪刀、布,”,是广为流传的游戏游戏时甲、乙双方每次出,“,石头,”,、,“,剪刀,”,、,“,布,”,三种手势中的一种，规定,“,石头,”,胜,“,剪刀,”,、,“,剪刀,”,胜,“,布,”,、,“,布,”,胜,“,石头,”,，同种手势不分胜负假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树状图或列表的方法分别求出一次游戏中两人出同种手势的概率和甲获胜的概率（提示：为书写方便，解答时可以用,S,表示,“,石头,”,，用,J,表示,“,剪刀,”,，用,B,表示,“,布,”,）,1,、,本节课你有哪些收获？有何感想？,用列表法和树形图法求概率时应注意什么情况？,利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果,;,从而较方便地求出某些事件发生的概率,.,当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用树形图法,当试验在三步或三步以上时,用树形图法方便,.,