平板应力分析

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,例题：,一自增强厚壁圆筒，承受内压,p,=250MPa，圆筒内外直径,D,i,=300mm，,D,o,=500mm，材料为N,i,-C,r,-M,o,高强度钢，,s,=750MPa，,b,=900MPa，试求：,（1）按Mises屈服条件，计算当,R,c,=200,mm,时的自增强压力,p,f,；,（2）在内压,p,作用后,R,c,处的环向合成应力。,1,2、压力容器应力分析,2.4 平板应力分析,CHAPTER ,STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS,2,2-4,平板应力分析,3,2.4.1 概述,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,主要内容,2.4.3 圆平板中的应力,2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力,2.4 平板应力分析,4,2.4.1 概述,1、应用：,平封头：常压容器、,高压容器；,贮槽底板：可以是各种形状；,换热器管板：薄管板、厚管板；,板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；,反应器触媒床支承板等。,2.4.平板应力分析,5,2、平板的几何特征及平板分类,几何特征,中面是一平面,厚度小于其它方向的尺寸,2.4 平板应力分析,分类,厚板与薄板,大挠度板和小挠度板,t/b,1,/,5时，,w,/t,1/5时，,按小挠度薄板计算,图2-28 薄板,6,3、载荷与内力,载荷,平面载荷,横向载荷,复合载荷,（作用于板中面内的载荷）,（垂直于板中面的载荷）,内力,薄 膜 力,弯曲内力,中面内的拉、压力和面内剪力，,并产生面内变形,弯矩、扭矩和横向剪力，,且产生弯扭变形,2.4 平板应力分析,7,当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲,载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度,分析复杂的多。,本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论,2.4 平板应力分析,8,弹性薄板的小挠度理论-,克希霍夫Kirchhoff,假设,变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同,一法线上，且法线上各点间的距离不变。,类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。,平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应,力较小，可忽略不计。,板弯曲时其中面保持中性，即,板中面内,各点无伸缩和剪切,变形，只有沿中面法线 的挠度,。,只有横向力载荷,2.4 平板应力分析,9,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,2.4 平板应力分析,分析模型,10,分析模型,半径R，厚度t的圆平板,受轴对称载荷,p,z,内力：,M,r,、M,、Q,r,三个内力分量,在,r、,、z,圆柱坐标系中,轴对称性,几何对称，载荷对称，约束对称，,在,r、,、z,圆柱坐标系中,挠度 只是,r,的函数，而与,无关。,2.4 平板应力分析,11,挠度微分方程的建立：,基于平衡、几何和物理方程,微元体：,用半径为r和r+dr的,圆柱面和夹角为d的,两个径向截面截取板上,一微元体,2.4 平板应力分析,12,挠度微分方程的建立：,基于平衡、几何和物理方程,微元体内力,径向：,M,r,、M,r,+（dM,r,/dr）dr,周向：,M,、 M,横向剪力：,Q,r,、Q,r,+（dQ,r,/dr）dr,微元体外力,上表面,P=p,z,rddr,2.4 平板应力分析,13,1、平衡方程,微体,内力与外力对圆柱面,切线T的力矩代数和为零，,即,M,T,=0,（2-54）,圆平板在轴对称载荷下的,平衡方程,2.4 平板应力分析,14,2、几何方程,取,径向截面上与,中面相距为z，,半径为 r 与,两点A与B构成的微段,2.4 平板应力分析,w,15,板变形后：,微段的径向应变为,（第2假设）,过A点的周向应变为,（第1假设）,作为小挠度,，,带入以上两式，,应变与挠度关系,的,几何方程,（2-55）,2.4 平板应力分析,16,3、物理方程,根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板,物理方程,为,（2-56）,2.4 平板应力分析,17,4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程,（2-57）,2.4 平板应力分析,18,4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程（续）,图2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系,2.4 平板应力分析,19,、 的线性分布力系便组成弯矩,、 。,单位长度上的径向弯矩为：,（2-58a）,（2-58b）,“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关,同理,2.4 平板应力分析,参照35页壳体的抗弯刚度,通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩 和 表示成 的形式。,20,得弯矩和应力的关系式为：,（2-59）,2-58代入平衡方程2-54，得：,即：受轴对称,横向载荷,圆形薄板小挠度,弯曲微分方程：,（2-60）,Q,r,值可依不同载荷情况用静力法求得,2.4 平板应力分析,21,求解圆平板弯曲应力的基本步骤,外载荷P,剪切内力Q,r,圆平板轴对称弯曲微分方程,弯曲内力M,r,、 M,弯曲应力,r,、 ,22,2.4.3 圆平板中的应力,一、承受均布载荷时圆平板中的应力,二、承受集中载荷时圆平板中的应力,（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）,2.4 平板应力分析,23,一、承受均布载荷时圆平板中的应力,图2-32 均布载荷作用时圆板内Q,r,的确定,据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：,代入2-60式中,均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为,对r连续两次积分,得到挠曲面在半径方向的斜率,（2-61）,对r连续三次积分,（得到中面在弯曲后的挠度）,（2-62）,2.4 平板应力分析,24,C,1,、C,2,、C,3,均为积分常数。,对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为,有限值，因而要求积分常数C,2,0,，于是上述方程改写为：,（2-63）,式中C,1,、C,3,由边界条件确定。,2.4 平板应力分析,25,下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件）,图2-33 承受均布横向载荷的圆板,周边固支圆平板,周边简支圆平板,周边,固支,圆平板,周边,简支,圆平板,2.4 平板应力分析,26,1、周边固支圆平板,周边固支圆平板,在支承处不允许有,挠度,和,转角,将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：,得周边固支平板的,斜率和挠度方程,代入式（2-63）,（2-64）,2.4 平板应力分析,27,将挠度,w,对,r,的,一阶导数和二阶导数,代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板,弯矩表达式,：,（2-65）,由此（代入2-59）,弯曲应力,计算试，可得r处上、下板面的应力表达式：,（2-66）,2.4 平板应力分析,28,最大应力在板边缘上下表面，即,2.4 平板应力分析,29,2、周边简支圆平板,将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C,1,、C,3,：,得周边简支平,板的挠度方程,代入式（2-63）,（2-67）,周边简支圆平板,2.4 平板应力分析,30,弯矩表达式：,（2-68）,应力表达式,：,（2-69）,2.4 平板应力分析,31,2.4 平板应力分析,32,3、支承对平板刚度和强度的影响,a.挠度,周边,固支,时，最大挠度在板中心,周边,简支,时，最大挠度在板中心,（2-70）,（2-71）,这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。,2.4 平板应力分析,slide,fix,33,b.应力,周边,固支,圆平板中的,最大正应力为支承处,的径向应力，其值为,（2-72）,周边,简支,圆平板中的,最大正应力为板中心处,的径向应力，其值为,（2-73）,这表明周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。,2.4 平板应力分析,34,结论：,挠度反映板的刚度，应力则反映强度。,周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板,2.4 平板应力分析,35,最大正应力与 同一量级；,最大切应力则与 同一量级。,因而对于薄板R,t，板内的正应力远比切应力大。,内力引起的切应力：,在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力 ，,（ 处）,近似采用矩形截面梁中最大切应力公式,得到,2.4 平板应力分析,36,和,w,max,与圆平板的材料（,E,、,）、半径、厚度有关,若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都,可减小挠度和降低最大正应力。,工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于,固支条件。,增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法,来提高平板的强度与刚度。,2.4 平板应力分析,37,4、薄圆平板应力特点,板内为二向应力,、 。平行于中面各层相互之间的正,应力,及剪力,引起的切应力 均可予以忽略。,正应力 、,沿板厚度呈直线分布，在板的上下表面有最 大值，是纯弯曲应力。,应力沿半径的分布与周边支承方式有关，工程实际中的圆板,周边支承是介于两者之间的形式。,薄板结构的最大弯曲应力,与,成正比，而薄壳的最大,拉 （ 压）应力,与,成正比，故在相同 条件下，,薄板所需厚度比薄壳大。,2.4 平板应力分析,38,二、承受集中载荷时圆平板中的应力,图2-35 圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Q,r,挠度微分方程式（2-60）中，剪力,可由图2-35中的平衡条件确定：,采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值。,2.4 平板应力分析,39,图2-36 外周边简支内周边承受,均布载荷的圆环板,通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变，只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。,当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。圆环在沿其中心线（通过形心）均布力矩M作用下，矩形截面只产生微小的转角 而无其它变形，从而在圆环上产生周向应力。,2.4 平板应力分析,2.3.4 承受轴对称载荷时环板中的应力,40,圆环绕其形心的转角 和最大应力 （在圆环内侧两表面）,（2-74）,M,R,i,R,X,t,R,o,图2-37 圆环转角和应力分析,2.4 平板应力分析,圆环：（R,0,- R,i,）10t,不能采用圆平板基本方程求解应力,41,作业：,10、11、12,42,