点、直线的对称问题介绍

高一年级 数学,第三章 直线与方程,课题,:,点、直线的对称问题,求知索源 正心致远,复习回顾,一、有关知识：,（一）基础知识,1,、直线互相垂直的条件：,_,2,、,P,1,( x,1,，,y,1,),、,P,2,( x,2,，,y,2,),的中点坐标为,_,3,、点,( x,o,，,y,o,),在直线,Ax + By + C = 0,上的,条件是,_,斜率存在，,k,1,k,2,=,1,Ax,o,+ By,o,+ C = 0,复习回顾,（,1,）点到直线距离公式： ，,（,2,）两平行直线间的距离： ，,（二）回顾：,注意：用该公式时应先将直线方程化为一般式；,注意,:,运用此公式时直线方程要化成一般式,并且,x,、,y,项的系数要对应相等,.,课题引入,1,、点关于点对称,2,、直线关于点对称,3,、点关于直线对称,4,、直线关于直线对称,(,三,),四类对称,知识探究,对称问题,中心对称问题,点关于点的对称,线关于点的对称,轴对称问题,点关于线的对称,线关于线的对称,知识探究,轴对称,中心对称,有一条对称轴,:,直线,有一个对称中心,:,点,定,义,沿轴翻转,180,绕中心旋转,180,翻转后重合,旋转后重合,性质,1,、两个图形是全等形,2,、对称轴是对应点连线的垂直平分线,3,、对称线段或延长线相交，交点在对称轴上,1,、两个图形是全等形,2,、对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。,知识探究,例,1.,已知点,A(5,8),，,B(-4,，,1),，试求,A,点关于,B,点的对称点,C,的坐标,.,(,一,),点关于点对称,解题要点,：,中点公式的运用,A,C,B,x,y,O,C(-13,，,-6),-4=,5+x,2,1=,8+y,2,解,:,设,C(x,y),则,得,x=-13,y=-6,知识探究,例,2.,求直线,l,1,: 3x-y-4=0,关于点,P(2,-1),对称的直线,l,2,的方程,.,(,二,),线关于点对称,解题要点：,法一：,l,2,上的任意一点的对称点在,l,1,上,;,法二：,l,1,l,2,点斜式或对称两点式,;,法三：,l,1,/,l,2,且,P,到两直线等距,.,解 ：设,A(x,，,y),为,l,2,上任意一点,则,A,关于,P,的对称点,A,在,l,1,上,3(4-x)-(-2-y)-4=0,即直线,l,2,的方程为,3x-y-10=0.,A,l,2,l,1,y,x,O,P,A,知识探究,例,3.,已知点,A,的坐标为,(-4,4),，直线,l,的方程为,3x+y-2=0,求点,A,关于直线,l,的对称点,A,的坐标,.,（三）点关于直线对称,解题要点,：,k,l,k,AA,= -1,AA,中点在,l,上,A,A,Y,X,O,(x,，,y),(2,，,6),-3,y-4,x-(-4),=-1,3,-4+x,2,+,4+y,2,-2=0,解：设,A,（,x,y),（,l,为对称轴）,知识探究,例,4.,试求直线,l,1,:x-y+2=0,关于直线,l,2,:x-y+1=0,对称的直线,l,的方程。,（四）线关于线对称,L,2,L,1,L,解：设,l,方程为,x-y+m=0,则 与 距离等于 与 距离,L,1,L,2,L,2,L,建立等量关系，解方程求,m,x,o,y,知识探究,例,5.,试求直线,l,1,:x-y-2=0,关于直线,l,2,:3x-y+3=0,对称的直线,l,的方程,.,L,1,L,2,L,x-y-2=0,3x-y+3=0,P,L:7x+y+17=0.,y,X,O,解：,P(,，,),-,5,2,-,9,2,得,在 上任取一点,Q(2,0),求其关于 的对称点,Q(x,y),L,1,L,2,Q(2,0),Q(x,y),3,y-0,x-2,=-1,3,y+0,2,+3=0,则,X+2,2,求出,Q,点坐标后，两点式求,L,方程,.,知识探究,解题要点,：,(,先判断两直线位置关系,),（,1,）若两直线相交，先求交点,P,再在 上取一点,Q,求其对称点得另一点,Q,两点式求,L,方程,L,1,求 关于 的对称直线,L,的方程的方法,L,1,L,2,则 与 距离等于 与 距离,L,1,L,2,L,2,L,建立等量关系，解方程求,m,(2),若,，设,L,方程为,x-y+m=0,L,1,L,2,规律方法,（一）常见的对称点结论,1.,点 关于原点的对称点为,;,2.,点 关于点 的对称点为,;,3.,点 关于,x,轴的对称点为,;,4.,点 关于,y,轴的对称点为,;,5.,点 关于,y=x,的对称点为,;,6.,点 关于,y= -x,的对称点为,;,(-a,-b),(2m-a,2n-b),(a,-b),(b,a),(-b,-a),(-a,b),三、规律方法：,规律方法,1.,直线关于原点的对称直线的方程为,:,2.,直线关于,x,轴的对称直线的方程为,:,3.,直线关于,y,轴的对称直线的方程为,:,4.,直线关于直线,y=x,的对称直线的方程为,:,5.,直线关于直线,y= -x,的对称直线的,方程为,（二）常用的对称直线结论,:,1.,曲线关于点的对称问题,.,曲线,f(x,y)=0,关于点,P(m,n),对称的曲,线方程为,_.,f(2m-x,2n-y)=0,特殊地,曲线,f(x,y)=0,关于原点,(0,0),对,称的曲线方程为,_.,f(-x,-y)=0,（三）对称中的一般性结论,:,曲线,f(x,y)=0,(1),关于,x,轴对称的曲线方程为,_,关于,y,轴对称的曲线方程为,_,关于直线,y=x,对称的曲线方程为,_;,关于直线,y=-x,对称的曲线方程为,_.,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,用对称点的横坐标来代方程中的,x,用对称点的纵坐标来代方程中的,y.,2.,曲线关于直线的对称问题,.,f(-y,-x)=0,巩固练习,1.,平面直角坐标系中直线,y=2x+1,关于点,(1,1),对称的直线方程是,( )(A)y=2x-1(B)y=-2x+1 (C)y=-2x+3 (D)y=2x-3,22.,直线,3x-4y+5=0,关于,x,轴对称的直线方程为,( )(A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0,巩固练习,3.,填空,:,写出直线,2x-3y+6=0,(1),关于,x,轴对称的直线方程为,_;,(2),关于,y,轴对称的直线方程为,_;,(3),关于原点对称的直线方程为,_;,(4),关于直线,y=x,对称的直线方程为,_;,(5),关于直线,y=-x,对称的直线方程为,_.,2x+3y+6=0,2x+3y-6=0,2x-3y-6=0,2y-3x+6=0,2y-3x-6=0,备用练习,5.,求直线,:y=2x+3,关于直线,l:y=x+1,对称的直线的 方程,.,6.,ABC,的顶点,A,的坐标为（,1,，,4,），,B,，,C,平分线的方程分别为,x-2y=0,和,x+y-1=0,，求,BC,所在直线的方程。,备用练习,7.,一束光线从点,P,（,1,，,-3,）出发，经过直线,l,:8x+6y-25=0,反射后通过点,Q,（,-4,，,3,）,.,(1),求反射光线所在直线的方程；,(2),求反射点,M,的坐标；,(3),求光线经过的路程。,课堂小结,作业布置,人有了知识，就会具备各种分析能力，,明辨是非的能力。,所以我们要勤恳读书，广泛阅读，,古人说“书中自有黄金屋。,”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，,培养逻辑思维能力；,通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，,培养文学情趣；,通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。,有许多书籍还能培养我们的道德情操，,给我们巨大的精神力量，,鼓舞我们前进,。,