第84节 非正态总体均值的假设检验——概率论与数理统计(李长青版)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 八 章,假 设 检 验,1,第五节 非正态总体均值,及,0-1,分布比率,的假设,检验,一、非正态总体均值的假设检验问题,1单个总体均值的大样本假设检验,设非正态总体,X,的均值为,方差,2,为已知,为总体,X,的一个样本,样本均值为,样本方差为,S,2,则当充分大时,由中心极限定理知,近似地,所以对,的假设检验可以用前述的,U,检验法,.,具体见下表,.,2,原假设,H,0,备择假设,H,1,H,0,的近似拒绝域,非正态总体均值的,U,检验法,3,如果方差,2,未知,可以用样本标准差,S,来代替,即当,n,充分大时,由中心极限定理知,近似地,以其为检验统计量, 检验法准则见上表.,4,例1 设某段高速公路上汽车限制速度的标准差为,= 13.4,km/h,现检验,n,= 85,辆汽车的样本,测出平均,车速为,km/h,已知总体标准差为,= 13.4,km/h,但不知总体是否服从正态分布,.,在显著性水平,=0.05,下,试检验高速公路上的汽车是否比限制速度,104.6 km/h,显著地快,?,解,设高速公路上的车速为随机变量,X,近似有,要检验假设,5,解,设高速公路上的车速为随机变量,X,近似有,要检验假设,由于样本容量较大,可近似地采用,U,检验法,已知,查表得,近似拒绝域为,由已知,6,由已知,计算统计量的观测值，有,所以接受,H,0,即在,=0.05,显著性水平下,的证据说明汽车行驶速度快于限制速度.,没有明显,7,及样本方差分别为,2两个总体均值的大样本假设检验,设有两个独立的总体,X,Y,它们的分布是任意的,其均值及方差（均未知） 分别为,从两个总体中分别抽取样本容量为,n,1,n,2,(,均大于,100,）,的大样本,两样本的样本均值,由中心极限定理知,当,n,1,n,2,充分大时,有,近似地,8,对于检验问题,选取检验统计量,在,H,0,成立的条件下,上述统计量近似服从标准,正态分布,对于给定的显著性水平,此检验法的,拒绝域为,其它的情形见下表：,9,原假设,H,0,备择假设,H,1,H,0,的近似拒绝域,非正态总体均值差的,U,检验法,10,例,2,为比较两种小麦植株的高度,(,单位,: cm),在,相同条件下进行高度测定,算得样本均值与样本方差,分别如下,:,甲小麦:,乙小麦:,在显著性水平,=0.05,下,这两种小麦株高之间有无显,著差异,(,假设两个总体方差相等,)?,解,这是属于大样本情形下两个总体分布未知、,两个总体方差未知且相等的均值的差异性检验.,要检验的假设为:,11,解,这是属于大样本情形下两个总体分布未知、,两个总体方差未知且相等的均值的差异性检验.,要检验的假设为:,因,=0.05 ,查标准正态分布表,得,计算检验统计量的观测值, 得,否定,H,0,可认为两种小麦株高之间有显著差异,.,由于,在显著性水平,=0.05,下,12,二、0-1分布总体比率的假设检验问题,1单个0-1 分布总体比率的检验,设总体,是取自,X,的一个,样本,比率,p,为未知,记,p,的点估计为,当,n,足够大时，由中心极,限定理知,近似地,又,13,又因为,是,p,的一致估计量,从而有,近似地,(1),设,0 ,p,0, 1,是已知常数,对于检验问题,检验统计量为,对于给定的显著性水平,上述检验问题的近似,拒绝域为,14,(2) 右边检验问题.,检验假设,对于给定的显著性水平,在,H,0,为真时,对于足够大,的,n,有,近似地,从而, 上述右边检验问题的拒绝域为,15,(3) 左边检验问题,检验假设,对于给定的显著性水平,近似拒绝域为,例3 一项调查结果声称, 某市老年人口的比重为,15.2%. 该市老年人口研究会为了检验该项调查结果,是否可靠, 随机抽选了400名居民, 发现其中有62位老,年人. 问调查结果是否支持该市老年人口比重为15.2%,的看法,(,=0.01)?,16,例3 一项调查结果声称, 某市老年人口的比重为,15.2%. 该市老年人口研究会为了检验该项调查结果,是否可靠, 随机抽选了400名居民, 发现其中有62位老,年人. 问调查结果是否支持该市老年人口比重为15.2%,的看法,(,=0.01)?,解,设该市老年人口的比重为,p,检验假设为,引入随机变量,显然,17,解,设该市老年人口的比重为,p,检验假设为,引入随机变量,显然,当,H,0,成立时,查表，得,近似拒绝域为,18,当,H,0,成立时,查表，得,近似拒绝域为,由题设,代入求得,U,的观测值为,因,故接受原假设,H,0,.,19,2两个0-1 分布总体参数的检验,设,是来自,总体,X,的样本,是来自总体,Y,的样本,假设两样本独立.,分别是比率,p,1,p,2,的点估计量,近似地,近似地,当,n,m,足够大时,由中心极限定理, 有,20,由正态分布的性质知,近似地,(1) 对于假设检验问题,在,H,0,为真时,记,所以近似地有,则有,近似地,21,所以近似地有,近似地,由于两样本独立,取,p,的点估计量为,取检验统计量,22,取检验统计量,当,n,m,足够大时,在,H,0,成立的条件下有,近似地,对于给定的显著性水平,上述双边检验问题的,拒绝域为,23,(2) 对于假设,当,n,m,足够大时,在,H,0,成立的条件下,近似地有,对于给定的显著性水平,上述右边检验问题的,拒绝域为,(3) 对于假设,类似地可得此左边检验问题的拒绝域为,24,例,4,在,A,县调查,n,=1500,个农户,其中有中小型农,业机械的农户,n,=300,户,;,在,B,县调查,m,=1800,户,其中,有中小型农业机械的农户,m,=320,户,.,试在显著性水平,=0.05,下检验两个县有中小型农户的比率有无差异,?,解,由于,n,=1500,m,=1800,这是大样本情况下两,个,01,总体的概率检验问题,.,待检验假设为,已知,计算得,25,已知,计算得,由,=0.05,查标准正态分布表,得,因,故在显著性水平,=0.05,下接受,H,0,即可以认为两个县有中小型农业机械的农户所占比,率无明显差异,.,26,