第5讲静电场分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第5讲 静电场分析,1,主要内容,静电场的基本变量,真空中静电场的基本方程,电位函数,电介质的极化及极化强度,介质中的高斯定律 边界条件,恒定电场的基本方程 边界条件,电场能量 静电力,2,5.1 静电场分析的基本变量,静电场是一种物理矢量场，当我们用矢量分析方法，进一步研究静电场的普遍规律时，先来明确静电场分析时需要的基本变量。,1. 源变量,2. 场变量 、,单位面积上位移穿过的束缚电荷量（C/m,2,）.,3,微分形式：,本构关系：,1. 基本方程,积分形式：,5.2 真空中静电场的基本方程,4,一个任意形状的闭合面对一点 所张立体角有两种情况 ：,立体角：取 与 的比值为 对球心所张的立体角，用 表示，单位为 (球面度)。,5,场变量 沿此曲线的线积分：,当积分路径是闭合回路，即 与 两点重合时，则,6,高斯定理表明,：,静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止,于负电荷。,静电场的散度,（微分形式）,2.,静电场散度与高斯定理,静电场的高斯定理,（积分形式）,环路定理表明,：,静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径,无关。,静电场的旋度,（微分形式）,3.,静电场旋度与环路定理,静电场的环路定理,（积分形式）,7,在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。,4.,利用高斯定理计算电场强度,具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：,球对称分布,：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。,带电球壳,多层同心球壳,均匀带电球体,a,O,0,8,无限大平面电荷,：如无限大的均匀带电平面、平板等。,轴对称分布,：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。,9,例,1,求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为,a,，电 荷密度为,0,。,解,：,（1）,球外某点的场强,（2）求球体内一点的场强,a,r,0,r,r,E,a,(,r,a,),（,r,1,、且,2,90,，,则,1,0,，,即电场线近似垂直于与良导体表面。,此时，良导体表面可近似地看作为,等位面；,若媒质,1,为理想介质,，,即,1,0,，,则,J,1,=0,，,故,J,2n,= 0,且,E,2n,= 0,，即导体,中的电流和电场与分界面平行,。,38,5.7 恒定电场与静电场的比拟,如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。,静电场,恒定电场,39,恒定电场与静电场的比拟,基本方程,静电场（ 区域）,本构关系,位函数,边界条件,恒定电场（电源外）,对应物理量,静电场,恒定电场,40,Exp.,一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为,1,、,1,和,2,、,2,，外加电压,U,。求介质面上的自由电荷密度。,解,：极板是理想导体，为等位面，电流沿,z,方向。,41,Exp.,填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为,a,，外导体半径为,c,，介质的分界面半径为,b,。两层介质的介电常数为,1,和,2,、电导率为,1,和,2,。设内导体的电压为,U,0,，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。,外导体,内导体,介质2,介质1,42,（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为,I,则由 可得电流密度,介质中的电场,解,电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为,I,，,由求出电流密度,的表达式，然后求出 和 ，再由 确定出电流,I,。,43,故两种介质中的电流密度和电场强度分别为,由于,于是得到,44,（2）由 可得，介质1内表面的电荷面密度为,介质2外表面的电荷面密度为,两种介质分界面上的电荷面密度为,45,工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压,U,时，必定会有微小的漏电流,J,存在。,漏电流与电压之比为漏电导，即,其倒数称为绝缘电阻，即,5.7 漏电导,46,(1) 假定两电极间的电流为,I,；,计算两电极间的电流密度,矢量,J,；,由,J,=, E,得到,E,;,由 ，求出两导,体间的电位差；,(5),求比值 ，即得出,所求电导。,计算电导的方法一,：,计算电导的方法二,：,(1) 假定两电极间的电位差为,U,；,(2) 计算两电极间的电位分布,；,(3) 由,得到,E,;,(4) 由,J =, E,得到,J,;,(5) 由 ，求出两导体间,电流；,(6) 求比值 ，即得出所,求电导。,计算电导的方法三,：,静电比拟法：,47,Exp.,求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为,a,、,b,，,长度为,l,，其间媒质的电导率为,、介电常数为,。,解,：,直接用恒定电场的计算方法,电导,绝缘电阻,则,设由内导体流向外导体的电流为,I,。,48,方程通解为,Exp.,在一块厚度为,h,的导电板上， 由两个半径为,r,1,和,r,2,的圆弧和夹角为,0,的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿,方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为,。,解：,设在沿,方向的两电极之间外加电压,U,0,，,则电流沿,方向流动，而且电流密度是随,变化的。但容易,判定电位,只是变量,的函数，因此电位函数,满足一维,拉普拉斯方程,代入边界条件,可以得到,环形导电媒质块,r,1,h,r,2,0,49,电流密度,两电极之间的,电流,故,沿,方向的两电极之间的电阻,为,所以,50,如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。,静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。,静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有,能量。,任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立,(或充电),过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。,5.8 静电场的能量,51,1.,静电场的能量,设系统从零开始充电，最终带电量为,q,、电位为,。,充电过程中某一时刻的电荷量为,q,、电位为,。,(0,1),当,增加为(,+,d,)时，外电源做功为:,(,q,d,),。,对,从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为,根据能量守恒定律，此功也就是电量为,q,的带电体具有的电场能量,W,e,，即,对于电荷体密度为,的体分布电荷，体积元,d,V,中的电荷,d,V,具有的电场能量为,52,故体分布电荷的电场能量为,对于面分布电荷，,电场能量为,对于多导体组成的带电系统，则有,第,i,个导体所带的电荷,第,i,个导体的电位,式中：,53,2.,电场能量密度,从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。,电场能量密度：,电场的总能量：,积分区域为电场所在的整个空间,对于线性、各向同性介质，则有,54,由于体积,V,外的电荷密度,0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面,S,无限扩大时，则有,故,推证,：,0,S,55,例:,半径为,a,的球形空间内均匀分布有电荷体密度为,的电荷，试求静电场能量。,解,：,方法一,，,利用 计算,根据高斯定理求得电场强度,故,56,方法二,：,利用 计算,先求出电位分布,故,57,已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来计算静电力。,虚位移法,：,假设第,i,个带电,导体在电场力,F,i,的作用下发生位移,d,g,i,，则电场力做功,d,A,F,i,d,g,i,，系统的静电能量改变为,d,W,e,。,根据能量守恒定律，该系统的功能关系为,其中,d,W,S,是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。,具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。,5.9 静电力,58,1. 各带电导体的电位不变,此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量,系统所改变的静电能量,即,此时，所有带电体都不和外电源相连接，则,d,W,S,0,，因此,2. 各带电导体的电荷不变,式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。,不变,q,不变,59,所以电容器内的电场能量为,由 可求得介质片受到的静电力为,解,平行板电容器的电容为,部分填充介质的平行板电容器,d,b,U,0,l,x,例:,有一平行金属板电容器，极,板面积为,l,b,，板间距离为,d,，用一块介,质片（宽度为,b,、厚度为,d,，介电常数为,）部分填充在两极板之间，如图所示。,设极板间外加电压为,U,0,，忽略边缘效应，,求介质片所受的静电力。,由于,0,，所以介质片所受到的力有将其拉进电容器的趋势,60,此题也可用式 来计算,q,不变,设极板上保持总电荷,q,不变，则,由此可得,由于,同样得到,61,