模糊数学课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,模糊数学,什么是模糊数学？,用数学方法研究和处理具有模糊性的现象,理论基础,模糊集合论,研究对象,确定性数学模型：,y=,f(x,),随机性数学模型,: y=0,1;p(y),已知,模糊性数学模型：,y,很小，,0,，,0.1,，,0.2,没有一个明确的分界,模糊有什么用？,模糊数学的应用领域,农业、林业、气象、环境、地质勘探、军事、经济、生物、心理学、结构力学，等等,家用电器与模糊数学,模糊控制技术,空调、电冰箱、洗衣机,微波炉、电饭煲,模糊洗衣机,第一个应用模糊系统的消费产品,日本松下电子工业公司，,1990,根据污物的种类、数量、机器负载量，运用模糊系统，自动设定正确的洗衣周期。,仙台地铁,模糊系统最显著的应用,南北线全长,13.6,公里，途径,16,个站点，运行非常平稳,模糊控制系统同时考虑,4,个性能指标,安全性、乘坐舒服性、,目标速度的可跟踪性、停车距离的准确性,模糊数学方法的范例,模糊聚类分析,土壤分类、市场分析,模糊模型识别,识别当前的通货膨胀程度、害虫危害程度,模糊决策,评选先进工作者,模糊线性规划,生产规划,论域,我们讨论具体问题时，要知道是,在什么范围上,进行讨论,要有,论域,（议题限制在一定范围内）,例如：,在论域“,human”,上，讨论概念“,male”,在论域“,monkey”,上，讨论概念“,male”,集合与特征函数,经典集合论中，给定论域,X,，子集,A,可由其特征函数,X,A,(,x,),来唯一确定,特征函数,是论域,X,到,0,1,上的一个映射：,特征函数,隶属程度,X,A,(,x,),指明,x,对,A,的隶属程度,隶属程度只有两个值：,0,，,1,经典集合只能表示什么样的概念？,“非此即彼”,确切概念,非此即彼？,“高个子”,“年轻”,现实世界中的很多概念具有,模糊性,模糊性,：客观事物差异的中间,过渡,中的不分明性，难以划定界限。非此即彼？,亦此亦彼，模糊概念,模糊概念,源自于实践,模糊概念（现象）无处不在,薄、厚；,高、矮；,强、弱；,中雨、大雨、暴雨、大暴雨；,如何亦此亦彼？,经典子集的隶属程度,只能取,0,或,1,如何亦此亦彼？,打破这个限制,表现“亦此亦彼”的,模糊概念,第一章,模糊集合的基本概念,1-1,模糊子集与隶属函数,经典集合与模糊集合,经典集合,特征函数刻画,模糊集合,隶属函数刻画,隶属函数是将特征函数的值域从,0,，,1,推广到,0,，,1,模糊子集与隶属函数的定义,定义：给出映射,A,：,X, 0, 1,，,x,|,A,(,x,),，,我们说,A,确定一个,X,的,模糊子集,A,，,A,称为,A,的,隶属函数,，,A,(,x,),表示,x,隶属于模糊子集,A,的程度，称为,x,对,A,的,隶属度,。,模糊集合,vs.,普通集合,模糊集合,A,由隶属函数,A,刻画,普通集合,A,由特征函数,X,A,刻画,隶属函数,vs.,概率,共同点,&,区别,共同点,均在,0, 1,闭区间上取值,区别,概率,：研究“随机性”，虽然事件的发生与否不确定，但是事件是确定的。,隶属函数,：研究“模糊性”，研究对象本身就是不分明的。,以下雨为例,三大数学模型,处理现实对象的数学模型可分为三大类：,确定性数学模型,。背景对象具有确定性,or,固定性；,随机性数学模型,。背景对象的发生具有或然性,or,随机性；,模糊性数学模型,。背景对象及其关系均具有模糊性。,1-2,模糊子集的表示方法,模糊集合的表示方法,论域,论域,有限集,例如：,X,=,x,1, x,2,x,3, x,4,x,5,论域,无限集,例如：,X,=0, 100,模糊集合表示方法（有限论域）,有限论域,X=,x,1, x,2,x,n,设,X,上的模糊子集,A,的隶属函数为,A,，,i,=,A,(,x,i,),模糊子集,A,如何表示？,三种表示方法,表示方法,1,“查德记法”：模糊子集,A,记作,A = ,i=1,n,i,/,x,i,不是分式求和，只是一个符号,“分母”是论域,X,的元素,“分子”是相应元素的隶属度,当隶属度为,0,时，该项可以不写入,例子（有限论域）,例,.,论域,= Bill Gates,Barack Hussein Obama, Albert Einstein, Steven Allan Spielberg ,模糊概念：“,smart”,smart,程度：,0.85,，,0.75,，,0.98,，,0.60,模糊集合“,smart”,论域中元素对,“,smart”,这模糊概念,的符合程度可以用模糊子集,A,来表示,A = 0.85/Gates + 0.75/,Obama,+ 0.98/Einstein+ 0.60/ Spielberg,表示方法,2,，,3,表示方法,2,：,A = (0.85, Bill), (0.75,Obama,), (0.98, Einstein), (0.60, Spielberg),表示方法,3,：,A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.60),要求事先对论域中元素排序,模糊集合表示方法（无限论域）,当论域,X,为无限集时，上面的记法失效,将查德记法推广到一般情况，即论域是：,无限的,、,连续的,、或者其他情况，论域,X,上的模糊集合,A,都可以表示为,A = ,xX,A,(x,) / x,表示方法说明,A = ,xX,A,(x,) / x,这里的积分号不表示积分，也不表示求和，而是表示各个元素与隶属度对应关系的一个总括,1-3,模糊集的运算,模糊集合的运算,经典集合有哪些运算？,将经典集合的运算,推广,至模糊集合,逐点对隶属度作相应的运算,空模糊集合,&,相等模糊集合,设,A,、,B,为论域,X,上的模糊集,定义,1,：若,对任何,x,X,，有,A,(,x,),= 0,，则称模糊集,A,为,空集,，记为,A=,；,定义,2,：若对任何,x,X,，,A,(,x,),=,B,(,x,),，则称模糊集,A,和,B,相等,，记为,A = B,；,模糊集合的包含,定义,3,：若,对任何,x,X,，,A,(,x,),B,(,x,),，则称模糊集,A,包含于,模糊集,B,，记为,A,B,模糊集合的并集,定义,4,：两个模糊集合的,并集,A,B,的隶属函数定义为,A,B,(,x,),=,A,(,x,),B,(,x,),=,max(,A,(,x,),B,(,x,),),模糊集合的交集,定义,5,：两个模糊集合的,交集,A,B,的隶属函数定义为,A,B,(,x,),=,A,(,x,),B,(,x,),=,min(,A,(,x,),B,(,x,),),模糊集合的余集,定义,6,：模糊集合,A,的,余集,A,c,的隶属函数定义为,Example 1,论域,X=,x,1, x,2,x,3, x,4,x,5,A,B,是论域,X,上的两个模糊子集，,A = 0.5/,x,1,+ 0.3/,x,2,+ 0.4/,x,3,+ 0.2/,x,4,B = 0.2/,x,1,+ 0.6/,x,4,+ 1/,x,5,请计算,A,B,的余集：,AB,，,AB,模糊集合运算性质（幂等律）,AA,? , AA=?,性质,1.,幂等律：,AA=,A,，,AA=,A,模糊集合运算性质（交换律）,性质,2.,AB=?,BA,AB=?,BA,模糊集合运算性质（结合律）,性质,3.,(AB)C=?,A(B C),(AB)C=?,A(BC),模糊集合运算性质（吸收律）,性质,4.,A(AB)= ?,A,A(AB)=,？,A,模糊集合运算性质（分配律）,性质,5.,(AB)C=,？,( AC)(BC),(AB)C=,？,( AC)(BC),模糊集合运算性质（,0-1,律）,性质,6.,A,?, A,?,A, ,XA=?, XA=?,X, A,模糊集合运算性质（还原律）,性质,7. (,A,c,),c,= ?,(,A,c,),c,= A,模糊集合运算性质（对偶律）,性质,8.,(,AB),c,=,？,A,c,B,c,(,AB),c,=,？,A,c,B,c,经典集合的其他性质,经典集合的运算中，还有“排中律”,A,c,A,=,X,AA,c,=,Question.,模糊集合运算中， “排中律”是否成立？,排中律不成立,排中律不成立,表明：模糊集不再具有“非彼即此”的特点，这正是模糊性带来的本质特征,第二章,模糊模型识别,何谓模式识别？,对某个具体对象，识别它属于何类。这类问题称为,模式识别,。,模糊模式识别的方法,直接方法,识别对象为单个论域中的元素,最大隶属原则、阈值原则,间接方法,识别对象为论域上的一个模糊集,择近原则、贴近度,最大隶属原则,设,A,i,F(U,) (i=1,2,n),对于,u,0,U,，若存在,i,0,，使得,则认为,u,0,相对地隶属于,最大隶属原则,例,例,1.,设论域,U=0,100,上确定三个模糊集,A=“,优”，,B=“,良”，,C=“,差”,考虑成绩,88,应该评为什么等级？他们的隶属函数分别为,最大隶属原则,例,最大隶属原则,例,A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0,A(88)=max,A(88),B(88),C(88),88,应评为“优”,阈值原则,设论域,U= u,1, u,2, , u,n,上有,m,个模糊集合,A,1, A,2, , A,m,（即,m,个模型）构成一个标准模型库,设定一个阈值,0,1,对任一,x,0,U,，若存在,i=i1,i2,.,ik,使,A,i,(x,0,),，则判决为：,x,0,相对隶属于,A,i1, A,i2, ,A,iK,阈值原则,否则,对于任何,i=1,m,均有,A,i,(x,0,)90%,印刷体,手写体,手写体,vs.,印刷体,复杂的多,用方格矩阵法，则需要更多小方格,向量的维数大,计算困难,寻求适用于手写体的简便方法,模糊方位转换技术,模糊现象,文字的方向，与事先给定的,8,个方向不完全一致，只能说是大致这个方向。,图中,1,的方向相同吗？,8,个方向,8,个模糊集,论域,U,是什么？,与方向,0,的角度,-22.5,337.5,方向,0,的隶属函数,方向,1,2,的隶属函数,方向,6,7,的隶属函数,任务：识别手写数字,确定标准数字,将手写数字与标准数字做比较,确定数字的标准向量,0,1,2,9,共,10,个数字,以数字,3,为例,号码串向量,(3,2,2,7,7,1,1,0,7,7,6,6,5),确定各方向关于标准方向的隶属程度,得到“,3”,的号码串模糊向量,存储至计算机作为“,3”,的标准向量,识别数字,确定待识别数字的号码串模糊向量,与计算机中的标准向量逐一比较,择近原则,实现数字识别,程序实现,真正应用，更加复杂。,每个数字的标准向量都不止一个,综合评判,综合评判,综合决策,是在,考虑多种因素的影响,下，对某事物做出的,综合决断,综合评判,是综合决策的数学模型,数学模型,设,U=u,1, u,2, , u,n,为评判需要考虑的,n,种因素,V=v,1, v,2, ,v,m,为,m,种决断,例如：对服装进行评判,评判因素集合,U=,款式，质量，价格,决断集合,V=,很欢迎，较欢迎，不太欢迎，不欢迎,数学模型,不同的人对各种因素看重程度不同（对各种因素赋予的权重不同）,决断自然不同,对,m,种决断，人们的态度并非绝对肯定或否定,综合决断,V,上的一个模糊子集,数学模型,综合决断,V,上的一个模糊子集,B=(b,1, b,2, ,b,m,)F(V,),b,i,反映第,i,种决断,v,i,在综合决断中所占的地位,综合评判就是要得到,B,，并根据最大隶属原则，给出最终决断,综合决断数学模型的三要素,1.,因素集,U=u,1, u,2, , u,n,2.,决断集,V=v,1, v,2, ,v,m,3.,单因素决断,f:U,F(V,),由,f,诱导出模糊变换,T,f,即模糊关系,R,f,得到对应的模糊矩阵,R,对权重分配,A=(a,1, a,2, , a,n,),可得综合评判,B=A,R,综合决策模型,(U,V,R),构成一个综合决策模型,转换器,输入一个权重分配，输出一个综合决断,对服装进行评判,评判因素集合,U=,款式，质量，价格,决断集合,V=,很欢迎，较欢迎，不太欢迎，不欢迎,对某种服装，请若干人员进行单因素评价,服装综合决断,单就款式考虑，得到如下结果,有,20%,的人表示很欢迎,有,70%,的人表示较欢迎,有,10%,的人表示不太欢迎,得到单因素决断,款式,|,(0.2, 0.7, 0.1, 0),所有因素的单因素评价,针对该服装，请这些专业人员对所有因素都进行单因素评价,款式,|,(0.2, 0.7, 0.1, 0 ),质量,|,( 0, 0.4, 0.5, 0.1),价格,|,(0.2, 0.3, 0.4, 0.1),诱导出模糊关系,R,权重分配,两类顾客,看重的因素不同,给出两种因素权重分配,A,1,= (0.2, 0.5, 0.3) F(U),看重什么？,A,2,= (0.5, 0.3, 0.2) F(U),看重什么？,综合评价,第一类顾客,B,1,= A,1,R = (0.2, 0.4, 0.5, 0.1),对此服装的评价？,第二类顾客,B,2,= A,2,R = (0.2, 0.5, 0.3, 0.1),对此服装的评价？,例,.,晋升的数学模型,以高校教师晋升教授为例,因素集,U=u,1, u,2, u,3, u,4,，,政治表现与工作态度、教学水平、科研水平、外语水平,评判集,V=v,1, v,2, v,3, v,4, v,5,好、较好、一般、较差、差,建立单因素评判矩阵,例,.,晋升的数学模型,学科评审组,假定是,7,人组成,每个成员对被评判对象进行评价,用打分或投票的方式表明各自的评价,张某，针对“政治表现与工作态度”因素,4,人认为,好；,2,人认为,较好；,1,人认为,一般,初始矩阵,因素集,评判集,好,较好,一般,较差,差,u,1,4,2,1,0,0,u,2,6,1,0,0,0,u,3,0,0,5,1,1,u,4,2,2,1,1,1,单因素评价矩阵,教学,科研,以教学为主的教师,权重,A,1,= (0.2, 0.5, 0.1, 0.2),以科研为主的教师,权重,A,2,= (0.2, 0.1, 0.5, 0.2),B,1,= A,1,R=(0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14),B,2,= A,2,R=(0.2, 0.2, 0.5, 0.14, 0.14),归一化,B,1,=,(0.46, 0.18, 0.12, 0.12, 0.12),B,2,= (,0.17, 0.17, 0.42, 0.12, 0.12),规定：“好”与“较好”的评价要占,50%,，方可晋升,可晋升为教学型教授,