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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章,1. 平行：直线与平面平行，两平面平行；,2. 相交：直线与平面相交，两平面相交；,3. 垂直：直线与平面垂直，两平面垂直；,4. 空间几何元素的综合解题；,1,1. 直线与平面平行，两平面平行,直线与平面平行：,若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。,有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。按平行投影性质进行作图与判断；,2,例. 过点作直线与已知三角形平面平行,c,a,c,b,a,b,m,m,n,n,3,例. 判别直线与平面是否平行。,c,a,c,b,a,b,d,d,e,e,直线与平面不平行,f,f,4,两平面平行,若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行,E,F,D,A,C,B,5,例题5.3 试判断两平面是否平行,m,n,m,n,r,r,s,s,结论：两平面平行,6,e,m,n,m,n,f,e,f,s,r,s,r,k,k,例题5.4 已知定平面由平行两直线,AB,和,CD,给定。试过点,K,作一平面平行于已知平面 。,7,例.5 判别平行直线与所确定的平面与平行直线和所决定的平面是否相互平行。,c,a,c,b,a,b,d,d,e,e,f,k,g,g,k,f,两平面不平行,h,h,8,2. 直线与平面相交，两平面相交,直线与平面、平面与平面,若不平行,，则,一定相交,。直线与平面,的交点,是直线与平面的,共有点,；两平面相交的,交线直线,，是两平面的,共有线,。,本章主要讨论交点或交线的求法，以及投影中几何元素重影部分可见性的判断。,1、特殊位置几何元素参与相交,直线与特殊位置平面相交,投影面垂直线与一般位置面相交,一般位置平面与特殊位置平面相交,两特殊位置平面相交,2、一般位置几何元素相交,一般位置直线与一般位置的平面相交,两个一般位置的平面相交,9,例5.6 直线与特殊位置平面的交点,c,a,c,b,a,b,e,e,f,f,k,k,由于,特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。,10,投影面垂直线与一般位置面相交,例5.7 求投影图中直线EF与三角形ABC的交点K，并判别可见性。,11,一般位置平面与特殊位置平面相交,n,l,m,m,l,n,b,a,c,c,a,b,f,k,f,k,M,m,n,l,P,B,C,a,c,b,P,H,A,F,K,N,L,k,f,12,两特殊位置平面相交,a,b,c,d,a,b,c,d,e,f,g,f,e,g,13,一般位置直线与一般位置的平面相交,由于一般位置直线和一般位置平面的投影都没有 积聚性，因此，求交点的时候没有积聚性可以利用，因此通常采用辅助平面法求其交点，一般的步骤为：,1、作包含已知直线的特殊位置的平面（铅垂面或正垂面）；,2、求辅助面与已知平面的交线；,3、求交线与已知直线的交点；,A,B,C,M,N,E,F,K,R,14,例5.8 一般位置直线与一般位置平面的交点,P,H,15,两个一般位置的平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,M,B,C,A,F,K,N,L,16,例5.9 求两平面的交线,步骤：,1用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点,K,、,E,。,l,l,n,m,m,n,P,V,Q,V,1,2,2,1,k,k,e,e,2连接两个共有点，画出交线,KE,。,17,两平面相交，判别可见性,利用重影点判别可见性,3,4,( ),3 4,2,1,( ),1,2,18,例5-10求三角形和三角形两平面的交线。,在三角形中，边线为侧垂线，故三角形为侧垂面。,分析：,19,（ ）,20,3、直线与平面垂直，两平面垂直；,1、直线与平面垂直,几何条件：,若直线垂直于平面内二相交直线，则直线与平面垂直；,若直线垂直于平面，则直线垂直于平面内所有直线；,2、两平面垂直,几何条件：,若直线垂直平面，包含此直线的所有平面均垂直于该平面；,21,1、直线与平面垂直,几何条件：,1、若直线垂直于平面内二相交直线，则直线与平面垂直；,2、若直线垂直于平面，则直线垂直于平面内所有直线；,3、直线垂直平面，则直线的三面投影分别垂直于该平面内平行线的相应投影；,22,1、直线与平面垂直,a,b,c,b,c,a,A,B,C,k,k,L,K,正平线,水平线,23,直线与平面垂直,k,k,a,b,c,a,c,b,P,V,水平线,正平线,24,1.( ) 2.( ) 3.( ),相交两直线（几何元素）表示的平面,例5.11 判定下列图中直线与平面的相对位置（从属、平行、相交、垂直相交）,25,题解,1. (相交) 2. (平行) 3. (相交),26,例5.12 判定下列图中直线与平面的相对位置,27,平行 从属 相交,28,2、若直线垂直于平面，则直线垂直于平面内所有直线；,29,3、直线垂直平面，则直线的三面投影分别垂直于该平面内平行线的相应投影；,k,n,k,n,30,例题5.13 平面由,BDF,给定，试过定点,K,作平面的法线。,a,c,a,c,n,n,k,k,31,例5.14 试过点,N,作一平面，使该平面与,V,面的夹角为60 ，与,H,面的夹角为45 。,32,分析,：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角,步骤：,作平面的法线,由法线作平面,33,作图过程,直径任取,NM,|,y,M,-y,N,|,|,z,M,-z,N,|,m,h,m n,m,k,|,z,M,-z,N,|,|,y,M,-y,N,|,30,45,m n,m,n,k,h,n,n,34,2、两平面垂直,几何条件：,1、若直线垂直于平面，则包含直线的所有平面都垂直于该平面；,2、若两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。,3、反之，若属于第一个平面的任意一点向第二平面作的垂线不在第一平面上，则两平面不垂直,35,1、若直线垂直于平面，则包含直线的所有平面都垂直于该平面；,A,D,36,2、若两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。3、反之，若属于第一个平面的任意一点向第二平面作的垂线不在第一平面上，则两平面不垂直,两平面垂直,两平面不垂直,37,g,例题5.15 平面由,BDF,给定，试过定点,K,作已知平面的垂面。,h,a,c,a,c,h,g,无穷解,38,例题5.16 试过定点,A,作直线与已知直线,EF,正交。,39,分析,过已知点,A,作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。,E,Q,F,A,K,40,2,1,a,e,f,a,f,e,1,2,2,1,P,V,1,2,k,k,题解,1、作直线的垂直面,2、作直线与垂直面的交点,41,4、空间几何元素的综合解题,根据已知的点、线、面等的几何元素及其之间的相对位置的投影特性与图示方法，解决几何元素的定位关系（从属、平行、相交、垂直等）与度量关系（距离，角度、实形）等图解问题。,综合题解是包含需要满足的多个要求来进行求解的题型；,解决步骤：,1、明确题目的要求；,2、进行空间综合分析；,3、确定解题的步骤；,4、投影作图求解；,解决的方法：,1、轨迹法,依次求解满足条件的轨迹，最后根据所求的轨迹的关系来确定解；,2、逆推法；,先假设所求结果已经满足，发过来推断得到该结果应具备的几何条件，然后进一步分析这些条件与已知条件的关系，从而获得求解途径与方法；,42,例5.17 如图，过已知点A作直线，使与已知直线CD垂直，并与已知平面,EFG平行。,e,f,a,g,d,c,f,g,e,a,c,d,43,轨迹法分析,空间过A点与直线CD的垂直的直线有无数条，其轨迹线构成了过A点与CD垂直的平面,AKL,；而过A点与已知平面,EFG平行的直线同样有无数条，其轨迹线构成了过A点且平行与EFG的平面AMN；这样，两轨迹平面的交线必满足条件，作水平辅助面，三面公点求出另一点B，连接AB即为所求；,A,D,C,F,G,B,E,N,M,L,K,P,44,题解,1、作CD直线的垂直面,AKL；,2、作平行于,平面,EFG的平面AMN；,3、用辅助水平面P，求交点B；,4、连AB为所求；,e,f,a,g,d,c,f,g,e,a,c,d,m,n,m,n,k,l,k,l,o,x,P,v,b,b,45,
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