电磁场序矢量分析与场论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,updated date,2009.9.12,1,场 论 复 习,2,0.1 标量场和矢量场,场是一个标量或一个矢量的,位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量,.,例1,在直角坐标下,标量场,如温度场,电位场,高度场等;,矢量场,如流速场,电场,涡流场等.,3,形象描绘场分布的工具-,场线,矢量场-,矢量线,标量场-,等值线(面),.,其方程为,其方程为,三维场,在直角坐标下:,二维场,图0.1.2 矢量线,图0.1.1 等值线,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？,4,例,2,求矢量场 通过点,M,(2,-1,1),的,矢量线方程.,解:,矢量线应该满足的微分方程为,由上面第一个方程得 。另一方面,将坐标,M,(2,-1,1),代入，得最终方程为,5,矢量线的推广:,矢量面:,对于场中任意一条曲线C(非矢量线),在其上的每一点处,必然有一条矢量线通过,这些矢量线的全体就构成一张通过曲线C的曲面,称为,矢量面,.,矢量管:,如果C是一条封闭曲线时,通过C的矢量面就构成一管形曲面,称为,矢量管,.,图0.1.3 矢量面与矢量管,例,2,求矢量场 通过曲线,的矢量管方程.,(自己认真思考和推导!),6,0.2 标量场的梯度,一. 梯度,设,当 ,即 与 方向一致时, 为最大.,设一个标量函数,(x,y,z),若函数,在点,P,可微,则,在点,P,沿任意方向,l,的方向导数为:,梯度(gradient),哈密顿算子,式中,则有:,式中 ， ， ，分别是与,x, y, z,轴的夹角,7,例1,三维高度场的梯度,例2,电位场的梯度,高度场的梯度,与过该点的等高线垂直；,数值等于该点位移的最大变化率；,指向地势升高的方向。,电位场的梯度,与过该点的等位线垂直；,指向电位增加的方向。,数值等于该点的最大方向导数；,二.,梯度的物理意义,标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数,;,梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向,.,梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数,;,图0.2.1 三维高度场的梯度,图0.2.2 电位场的梯度,8,0.3 矢量场的通量与散度,一、通量,矢量,E,沿有向曲面,S,的面积分,0,(有正源), 0,(有负源),=,0,(无源),图0.3.1 矢量场的通量,图0.3.2 矢量场的通量,若,S,为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:,9,二、散度,如果包围点P的闭合面,S,所围区域,V以任意方式缩小为点,P,时, 通量与体积之比的极限存在，即,散度(divergence),计算公式,三、散度的物理意义,散度代表矢量场的通量源的分布特性,A,= 0,(,无源,）,A,= ,0,(,负,源,),A,= 0,(,正源,),在矢量场中，若, A= 0,，称之为有源场，,称为(通量)源密度；若矢量场中处处, A=0,，称之为无源场。,矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；,10,四、高斯公式(散度定理,),高斯公式,该公式表明了区域,V,中场,A,与边界,S,上的场,A,之间的关系。,矢量函数的面积分与体积分的互换。,图0.3.3 散度定理,由于,是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面,S,的通量,11,0.4 矢量场的环量与旋度,一、环量,该环量表示绕线旋转趋势的大小。,水流沿平行于水管轴线方向流动,=0,，无涡旋运动,流体做涡旋运动,0,，有产生涡旋的源,矢量,A,沿空间有向闭合曲线,L,的线积分,环量,例：,流速场,图0.4.2 流速场,图0.4.1 环量的计算,12,二、旋度,1.,环量密度,过点P作一微小曲面,S,它的边界曲线记为,L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当,S,点P时,存在极限,环量密度,取不同的路径，其环量密度不同。,2.,旋度,旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。,旋度(curl),它与环量密度的关系为,在直角坐标系下,13,三、旋度的物理意义,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,点,P,的旋度的大小是该点环量密度的最大值。,在矢量场中，若,A=J0,称之为,旋度场,(,或涡旋场,),，,J,称为,旋度源,(,或涡旋源,),；,点,P,的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。,四、,斯托克斯(Stockes)定理,A,是,环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为,Stockes定理,在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。,矢量函数的线积分与面积分的互换。,该公式表明了区域,S,中场,A,与边界,L,上的场,A,之间的关系,若矢量场处处,A=0,，,称之为无,旋场,。,图 0.4.3 斯托克斯定理,14,0.5 亥姆霍茨定理,亥姆霍茨定理：,在有限区域内，矢量场由它的,散度、旋度,及,边界条件,唯一地确定。,已知,矢量,A,的通量源密度,矢量,A,的旋度源密度,场域边界条件,在电磁场中,电荷密度,电流密度,J,场域边界条件,（,矢量,A,唯一地确定）,例：,判断矢量场的性质,=,0,=,0,=,0,0,0,=,0,15,0.6 三种特殊形式的场,1.,平行平面场：,如果在经过某一轴线(设为,Z,轴)的一族平行平面上，场,F,的分布都相同，即,F=f(x,y),，则称这个场为平行平面场。,2.,轴对称场：,如果在经过某一轴线(设为,Z,轴)的一族子午面上，场,F,的分布都相同，即,F=f(r,),，则称这个场为轴对称场。,3,球面对称场：,如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场,F,的分布都相同，即,F=f(r),，则称这个场为球面对称场。,16,作业,.,2.,3.,式中：,试证明下列各题,1.,17,