有理函数积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,第四节,基本积分法,:,直接积分法,;,换元积分法,;,分部积分法,初等函数,求导,初等函数,积分,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容,:,第,四,章,一、 有理函数的积分,有理函数,:,时,为假分式,;,时,为真分式,有理函数,相除,多项式,+,真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,1.,有理函数的分解,（,1,）,分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,其中 都是常数,注,:,关于部分分式分解,如对,进行分解时,例如,一项也,不能少，因为通分后分子上是 的 次,多项式，可得到,个方程，定出 个系数，否则,将可能会得到矛盾的结果,.,但若,矛盾,（,2,）,分母中若有因式 ，其中,则分解后为,特殊地：,分解后为,其中 都是常数,例,1.,将下列真分式分解为部分分式,:,解,:,(,1),用拼凑法,(2),用赋值法,故,(3),比较系数法,原式,=,2.,有理函数的积分,变分子为,再分项积分,四种典型部分分式的积分,:,讨论积分,令,则,记,这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,.,结论,有理函数的原函数都是初等函数,.,递推公式,注意,以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对,一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法,.,如,使用凑微分法比较简单,基本思路,尽量使分母简单,降幂、拆项、同乘等,化,部分分式，写成分项积分,可,考虑引入变量代换,例,2.,求积分,解：,例,3.,求,解,:,已知,例,4.,求,解,:,原式,思考,:,如何求,提示,:,变形方法同例,4,例,5.,求,解,:,说明,:,将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法,.,例,6.,求,解,:,原式,例,7.,求,解,:,原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解,:,第一步 令,比较系数定,a , b , c , d .,得,第二步 化为部分分式,.,即令,比较系数定,A , B , C , D,.,第三步 分项积分,.,此解法较繁,!,二 、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t,的有理函数的积分,1.,三角函数有理式的积分,则,令,（万能置换公式）,例,8.,求,解,:,令,则,例,9.,求,解,:,说明,:,通常求含,的积分时,往往更方便,.,的,有理式,用代换,例,10.,求积分,解法,1,：,解法,2,：,令,解法,3,：,可以不用万能置换公式,.,结论,比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换,.,如,若用万能代换，则,化,部分分式比较困难,但,若是凑微分，则比较简单,基本思路,2.,简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分,.,例如,:,令,例,13.,求,解,:,令,则,原式,例,14.,求,解,:,为去掉被积函数分母中的根式,取根指数,2 , 3,的,最小公倍数,6 ,则有,原式,令,例,15.,求,解,:,令,则,原式,例,16.,求积分,解：,先对分母进行有理化,原式,内容小结,1.,可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.,特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算,.,简便,思考与练习,如何求下列积分更简便,?,解,:,1.,2.,原式,