12数学预备知识

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矢量简介,微积分简介,数学基础知识,1,、,矢量与标量,2,、矢量的,表示,3,、矢量的,运算,(1),矢量的加法,(2),矢量的减法,(3),矢量的乘法,标积,矢积,矢量的简介,矢量既有,大小,又有,方向,，,如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电场强度等。,1,、物理量可分为标量和矢量两种,如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。,标量只有,大小,，,2,、,矢量的表示,几何表示：有方向的线段,解析表示,书写：字母上方用箭头符号标记,或,印刷：用黑体字表示矢量，,F,，,r,，,v,，,a,矢量的大小：线段的长度或 的模，,单位矢量：长度为一个单位的矢量,矢量相等： 大小相同，方向相同,平行移动不会改变一个矢量,对一般矢量，其,单位矢量,可,用字母上方的尖符表示，如,如沿,x, y, z,轴正方向的单位矢量可表示为：,3,、矢量的运算,(1),矢量的加法,平行四边形法则,三角形法则,B,的尾端接到,A,的箭头顶端，两个矢量的和矢量为,A,的尾端指向,B,的顶端的矢量,A,B,C,多个矢量的合成：,合成矢量的解析表示：,Mg,T,1,T,1,力的合成,A,y,A,x,B,x,B,y,X,y,(2),矢量的减法,矢量,A-B,等于从,B,的顶端指向,A,的顶端,-,B,B,A,C,B,C,A,2 2,2 cos,AB,a,= + -,C,A,B,交换律,结合律,(3),矢量的乘法,与标量相乘,与矢量相乘,标积,(,点积,),矢积,(,叉积,),-,结果为标量,-,结果为矢量,矢量的标积（点积）,A,B,两矢量点积得标量,上式含意？,矢量的标积（点积）,矢量的点乘表示一个,矢量的模,乘上,另一个矢量在这一矢量上的分量（投影）,。这一分量（投影）可正可负。,若,可能,矢量的标积（点积）,A,B,交换律：,标积计算,：,分配律：,若一个物体在力,F,作用下移动位移,r,F,r,则力,F,所作的功：,记为标积形式，则为：,标积的应用,:,矢量的矢积（叉积）,是一个矢量,大小：平行四边形面积,A,B,C,方向：右手螺旋法则，,要求四指绕过的角度小于,矢积的性质：,特殊情况：,*,若 ，,则 最大,*,若 ，则,矢积的应用：,洛仑兹力：,求,（,1,） （,2,）,例,1,已知,解,（,1,）,（,2,）,作 业（,9,月,12,日,）,1 .,矢量,a,的大小为,5.0m,，方向正东，矢量,b,的大小为,4.0m,，方向北偏西,35,度。求,a + b,及,a b,的大小及方向。,444,4,一、函数的极限,二、函数的导数,三、函数的微分,四、积分,导数与微分运算,一、函数的极限,对任意函数,f,(,x,),，当自变量,x,无限趋于,某一数值,x,0,（记作,x,x,0,）时，函数值无限趋于,某一确定,的数值,a,，则,a,称为,x,x,0,时函数,f,(,x,),的极限值，记作：,例：,注意,即使,(,x,),在,x,0,点没有定义，或,，上面关于极限的陈述仍可以是对的。,例：,二、函数的导数,1,、问题的提出,2,、导数的定义,3,、导数的意义,4,、导数的求解,5,、导数的运算规则,加减,积,商,复合函数求导,矢量求导,运动时间,自由落体运动的,瞬时速度,问题,1,、问题的提出,瞬时速度,如何由,s,(,t,),求,v,(,t,)?,平均速度,取极限,当 时,取一邻近,t,的时刻,t,如图，,2,2,1,),(,gt,t,s,=,当以上极限存在时，则此极限称为函数,f(x),在点,x0,处的导数。,(,显然，这是一个特殊的极限,),函数,导数又可记为：,2,、导数的定义,自由落体问题中,:,一、 矢量,回顾,A = AA,r,或,（1）点积：,（2）叉积：,A,B,C,(0,),p,sin,AB,q,=,r,r,r,C,AB,=,二、导数的定义,导数是一个特殊的极限！,关于导数的说明：,（导数）则是当区间间隔,x, 0,时的,f(x),在,x,0,处的变化率。,是 在以某 和 为端点的区间上的,平均变化率,。,x,到底有多小？,它的绝对值比你想到的任何一个小的正数还要小。,小量乘上有限数仍是小量。,在许多物理问题中，需要研究变量的瞬时变化率，,如物体的运动速度、加速度、电流强度等,。在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。,x,y,y,x,0,f,(,x,),x,0,y,0,y,1,x,1,3,、导数的意义,函数在某一点的导数值，表示函数曲线上该点的切线斜率。,几何意义：,切线,t,1,t,3,t,2,x,1,x,3,x,2,t,越小，平均速率越接近瞬时速度。,平均速度：,瞬时速度,X,对,t,的导数。,导数物理意义：,非均匀变化量在某点,的变化率。,步骤,:,4,、导数的求解：,由定义求导数（三步法）,(1),求函数增量,例,1,解,例,2,解,例,3,解,匀加速直线运动,解：,求瞬时速度,例,4,常见函数的求导公式：,(1),(2),(4),(5),(3),(6),导数的运算法则：,加减,积,商,5,、导数的常用公式及运算规则,例,5,：求,y,=,x,sin,x,的导数。,解：,例,6,： ， 求 导数。,解：,复合函数求导：,二阶导数：,N,阶导数：,d f,( ),n,x,n,dx,y f,(,x,),n,=,n,=,例7,解：,矢量的导数：,几点推论：,注意：对矢量的求导有,两项,：一是大小的变化产生的，二是,方向的变化,产生的。,三、函数的微分,在实际应用中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当,自变量,有一个,微小,的,增量,时，要求计算,函数的相应的增量,。这一函数的增量称为微分。,实例,:,正方形金属薄片受热后面积的改变量,.,问题的提出,的二阶项，可以忽略。,(,相对,x,0,很小,),。,既简化了计算又,有很好的近似值,在计算函数增量时，当自变量增量很小时，,自变量增量的高阶项一般可以忽略,，这样得到的函数增量是其精确值的较好近似。,这是微分的一个很重要的应用,。,若函数,f,(,x,),在,x,处有导数,f ,(,x,),则,微分的定义：,dy,称为函数,f,(,x,),在点,x,处的微分。,dx,称为自变量的微分。,即导数等于函数的微分与自变量的微分之商,所以导数又称微商,计算函数的导数,乘以自变量的微分,.,微分的求法：,基本初等函数的微分公式,函数的微分法则（与导数的相同）,例,2,解,例,1,解,函数的变化率问题,导数,函数的增量问题,微分,求导数与微分的方法,叫做,微分法,。,微分在近似计算中的应用,这里 不是严格意义的无穷小，但,仍然较小,。,这个式子可方便地计算一个函数在某点,x,0,附近的近似值。,例,3,：为使摆长为,20cm,的单摆振动周期增大,0.05s,，则摆长应增加多少？,（,g=981cm/s2,）,解,;,即，摆长应调整为,22.23 cm,例,4,一个半径为,1,厘米的球，为了提高表面的光洁度，需要镀上一层铜，铜层厚度为,0.01,厘米，估计每只球需要用铜多少克（铜的密度为,8.9g/cm,3,）,解：,每只球需用铜约,以下是常用的,近似公式（,|,x|,很小时,),:,(,x,为弧度,),(,x,为弧度,),四、积分,问题的提出,定积分、不定积分的定义,定积分的几何意义,定积分的计算,不定积分的计算,如何求图形中的面积？,数方格。,x,0,y,x,y=f(x),面积？,如何求,x,0,x,区间内曲线下的面积？,问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积。,求曲边梯形的面积,a,b,x,y,o,（四个小矩形）,a,x,y,o,b,a,b,x,y,o,（九个小矩形）,显然,小矩形越多,小矩形,上边界带来的近似越小,，,得到的总面积,越接近,曲边梯形的,精确面积,.,如何减小这个差别？,曲边梯形总面积的近似值为：,上面方法的一般化：,将区间,a,b,分,n,等份，,每一个小区间宽度为,区间,x,i,x,i+1,对应的小矩形高取为,，其面积为：,所得到的,矩形求和面积,即为曲边梯形的,精确面积,：,当分割无限加细，,即小区间的宽度,时，,（,1,）,分割,变速直线运动中由速度求路程,t,v,t,0,0,i,上述思路完全适用变速直线运动中,由速度求路程问题,（,2,）,求和,路程的精确值,（,3,）取极限,问题：,共性：,它们求的都是在某个区间上的总量（总面积或总路程）。,解决方法：,通过无限分割的方法，把总量归结为求一种特定和式的极限。,以上两个例子，一个是,几何问题,，求的是曲边梯形的面积；一个是,物理问题,，求的是变速直线运动的物体在一定时间内所走过的路程。,被积函数,被积表达式,积分变量,积分下限,积分的定义,这种给出积分上、下限的积分称为,定积分,；,不给出积分上、下限的积分称为,不定积分,。,积分上线,f(x),对,x,的积分,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,定积分的几何意义,定积分的计算,如果函数,f,(,x,),在,a,b,区间是,连续的,，且如果在,a, b,区间内,，则 称为 的,原函数,。,即，求一个函数的定积分关键是要,找出其原函数,，原函数,在积分区间的增量,即为其定积分值。,牛顿,-,莱布尼兹公式,),(,),(,),(,a,b,dx,f,b,a,x,j,j,-,=,有,如：,所以，积分是微分的无限求和，它是微分的逆运算。,2,、积分的性质,解,原函数式,例,1,求,解 面积,例,2,计算曲线 在 上与,x,轴所围成的平面图形的面积。,0 x,A B,dx,例,3,棒,AB,长,6,厘米，与棒,A,端相距,x,处的分布密度为,求棒总质量。,解：,例,4,弹簧从原有长度被拉长,a,，求拉力做功。,解：,X,F,0 a,x,第二次作业（,9,月,14,日）,4,回顾,一、导数,常用公式,解析：当区间间隔,x, 0,时的,f(x),在,x,0,处的变化率。,物理:,非均匀变化量在某点,的变化率,。,几何:函数在某一点的导数值，表示函数曲线上该点的切线斜率。,运算法则,复合函数求导,N,阶导数,矢量的导数：,微分公式,微分法则,二、微分：,解决,函数的增量问题,微分在近似计算中的应用,微分公式及微分法则与求导相似,例,2,解,例,1,解,三、积分,通过无限分割的方法，把总量归结为求一种 特定和式的极限,几何意义：,曲边梯形的面积（有正、负）,1、定积分,如果函数,f,(,x,),在,a,b,区间是,连续的,，且,2,、积分的性质,不定积分的计算,不定积分是,不定出上、下限,的积分,（,2,）,C,是常数，可由积分上、下限或初始条件确定。,（,1,）求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数,C,即可。,如 则：,即,常见积分公式：,(a,-1),(,k, C:,const.),矢量积分公式：,（线积分）,（面积分）,例,1,求,解,求不定积分时一定要加上积分常数，它表明一个函数的,原函数可以有无穷多个,，即要求的是全体原函数，若不加积分常数则表示只求出了一个原函数。,例,2,设曲线通过点,(1, 2),，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（,1,，,2,）,所求曲线方程为,9,月,19,日作业,