大学数学 导数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导数,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数可导性与连续性的关系,导数概念的物理背景,变速直线运动的即时速度,极限思想：,令,t t,0,，,取平均速度的极限，则可得到在,t,0,时刻的即时速度即,直观想法,：,时间间隔越小，平均速度越接近即时速度。,如果质点做匀速直线运动，则任意时刻的速度也就是平均,速度,;,如果质点做变速直线运动，该如何确定某一时刻的,即时,速度,呢？,问题：,设某质点做直线运动，运动方程为,S=,S(t,),我们可用一段时间内,质点所发生的位移 除以所花的时间,t,得到平均速度，即,导数概念的几何背景,曲线的切线问题,问题：,如右图所示，已知曲线及曲线上的一点,M,如何确定曲线在点,M,处的切线？,过点,M,作曲线的割线,MN,，,当动点,N,沿曲线向定点,M,靠拢时，割线,MN,则绕定点,M,旋转而趋于极限位置,MT ,得到曲线在点,M,的,切线,。,M,N,T,M,N,x,y,o,T,切线：割线的极限位置。,上述过程可用极限式表示如下：,导数,Derivative,的概念,也可记作,若这个,极限不存在,，则称在点,x,0,处,不可导,。,设函数,y,=,f,(,x,),在点,x,=,x,0,的某个邻域内有定义，当自变量,x,在,x,0,处取得增量,x,(,点,x,0,+,x,仍在该邻域内）时， 相应地函数,y,取得增量,y,=,f,(,x,0,+,x,),- f,(,x,0,),，若,y,与,x,之比当,x,0,的极限存在，则称函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处,可导,(derivable),，,并称这个,极限,为函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处的,导数,(,d,eriva,记为,即,在引例中有,导数定义的不同形式,导数是函数变化率的精确描述，从数量方面刻画了变化率的本质,差商,解答,变化率问题,设某个变量,Q,随时间,t,的变化而变化，时刻,t,取值,Q,(t),从时刻,t,经过,t,时间， 量,Q,的改变量为,量,Q,的,平均变化率,为,(1),求增量,(2),求增量比,(3),取极限,导数是平均变化率的极限,导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时速度。,导数的几何意义,M,x,y,o,T,法线是过切点且与切线垂直的直线,的切线方程为,法线方程为,求导数步骤：,(1),求增量,(2),算比值,(3),求极限,例题,设 ，求,解,所以,如果将式中的定点,x=2,改为任意点,x,则有如下结果,其结果表示是,x,的函数，称之为,导函数,。,若函数,y=f (x),在开区间,I,内的每点处都可导，就称函数,y=f (x),在,开区间,I,内,可导。这时，对于任意,x I,都对应着一个确定的导数值，这样构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数,y=f (x),的,导函数,（,简称,导数,d,erivative,），,记作：,把,x,0,换成,x,可得,或,导函数的概念,点导数与导函数的关系,如上例中,利用定义求导数举例,例,1,求常值函数 的导数。,解,所以常数的导数等于零，即,例,2,求正弦函数 的导数。,所以,同理可求得,解,对一般的幂函数有,例,3,求幂函数 的导数。,解,所以,例如,例,4,求对数函数 的导数。,解,所以,特别,解,根据导数的几何意义，所求切线的斜率为,所以，所求切线方程为,所求法线的斜率为,所求法线方程为,例,5,求双曲线 在点 处的切线的斜率，并写出曲 线在该点处的切线方程和法线方程。,即,即,单侧导数,左导数,（,derivative on the left,）,右导数,（,derivative on the right,）,函数在点,x,0,处可导 左导数和右导数都存在，并且相等。,例,6,已知,解,因为,所以,，从而,函数的可导性与连续性的关系,函数,f,(x),在某点可导，则在该点连续。,证明,设函数,在点 可导,注意,:,该定理的逆定理不成立,.,例,7,讨论函数,f,(x),= |x|,在点,x=0,的连续性和可导性。,x,y,O,故函数,f,(x),= |x|,在点,x=0,连续,故函数,f,(x),= |x|,在点,x=0,不可导,连续是可导的,必要非充分条件,解,函数,f (x),在某点连续，却不一定在该点可导。,解,例,8,在,x,=0,处不可导,例,9,求曲线 的通过点,（,0,，,4,）,的切线方程,解 设切点为 ，则切线的斜率为,于是所求切线方程可设为,切点 在曲线 上，故有,切线通过点（,0,，,4,），故有,解由上述两个方程组成的方程组得,即得所求切线方程为,3,x,-,y,-4=0,