数理统计8假设检验

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、单个正态总体均值和方差,一 、参数的假设检验,第四章,假设检验,的假设检验,三、两个正态总体均值相等和方差相等,的假设检验,1,例,怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？,罐装可乐的容量按标准应是355毫升.,通常的办法是进行抽样检查.,每隔一定时间，抽查若干罐 .,如每隔1小时，抽查5罐，得5个容量的值,X,1,，,X,5,，根据这些值来判断生产是否正常.,很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产,不正常，,也不能总认为正常，,有了问题不能及时发现，这也要造成损失.,2,如何处理这两者的关系，假设检验面对的就是这种矛盾.,在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动. 这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位. 因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的.,现在我们就来讨论这个问题.,3,称,H,0,为原假设,（或零假设）；,H,1,为备选假设,（或对立假设）.,在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设.,H,0,：,（ = 355）,H,1,：,X,1, ,X,5,是取自正态总体,的样本，,是一个常数.,当生产比较稳定时，,检验假设：,可从历史资料获得,的值 .,那么，如何判断原假设,H,0,是否成立呢？,4,较小时，可以认为,H,0,是成立的；,当,-,|,|,生产已不正常.,当,较大时，应认为,H,0,不成立，即,-,|,|,问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质.,差异可能是由抽样的随机性引起的，称为,“抽样误差”或 随机误差,这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动.,然而，这种随机性的波动是有一定限度的，,5,如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的随机性来解释了.,必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常.,这种差异称作,“系统误差”,是“抽样误差”还是“系统误差”所引起的？,根据所观察到的差异，,这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：,小概率事件在一次试验中基本上不会发生 .,6,实际推断原理（小概率原理）,通过大量实践，,人们对小概率事件（即在一次试验中发,生的概率很小的事件）总结出一条原理：,小概率事件在一次试验中几乎不会发生,并称此为实际推断原理，,其为判断假设的根据。,在假设检验时，,若一次试验中小概率事件发生了，就,认为是不合理的。,小概率事件在一次试验中发生的概率,记为，一般取,在假设检验中，称小概率为显著水平、检验水平。,一、假设检验的思想方法,7,信息看在H,0,成立下会不会发生矛盾。,最后对H,0,成立,与否作出判断：,中居然发生，,若小概率事件发生了，,则否定H,0,。,若不发生，则接受H,0,，,并称 H,0,相容。,概率反证法的逻辑是：,如果小概率事件在一次试验,我们就以很大的把握否定原假设.,假设检验使用的方法是概率论的反证法：,即先对所关心的问题提出原假设 H,0,然后运用样本,8,不否定,H,0,并不是肯定,H,0,一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定,H,0,的程度 .,所以假设检验又叫,“显著性检验”,9,由于作出结论的依据是下述,小概率原理,小概率事件在一次试验中基本上不会发生 .,不是一定不发生,如果,H,0,成立，但统计量的实测值落入否定域，从而作出否定,H,0,的结论，那就犯了“以真为假”的错误 .,如果,H,0,不成立，但统计量的实测值未落入否定域，从而没有作出否定,H,0,的结论，即接受了错误的,H,0,，那就犯了“以假为真”的错误 .,两类错误：假设检验会不会犯错误呢,10,假设检验的两类错误,H,0,为真,实际情况,决定,拒绝,H,0,接受,H,0,H,0,不真,弃真,正确,正确,取伪,P,拒绝,H,0,|,H,0,真= ,P,接受,H,0,|,H,0,不真= .,犯两类错误的概率:,显著性水平 为犯第一类错误的概率.,P,第一类错误=,P,第二类错误=,11,对给定的显著性水平,，H,0,关于 的接受域：,H,0,关于 的拒绝域：,12,把本来正确的东西给丢弃了这就范了“弃真”的错误，,其概率是,P,拒绝,H,0,|,真=,而结论是：若 落在H,0,的接受域内，就接受H,0，,但结论是：若 落在H,0,的拒绝域内，就拒绝H,0，,（1）在H,0,正确的情况下， 落在R上的每一点都是可能的,范了“取伪”的错误，,13,注意：积分区间长度不变：,但积分区间的中心,14,（2）,要同时降低两类错误的概率 或者要在 不变的条件下降低 ，需要增加样本容量.,（1）当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致,另一类错误概率的增加.,因,减少，积分区间长度：,15,实际问题中，我们希望两类错误都能得到控制。一般多是控制第I类错误的概率到适当程度而不管第II类错误的大小，这种检验叫显著性检验。,16,8.2 单个正态总体均值与方差的假设检验,设总体,为X的样本。,我们对,2,作显著性检验,一、总体均值,的假设检验,1、已知,2,，检验,（H,1,可以不写）,其中,0,是已知常数，,在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设.,17,提出原假设和备择假设,第一步：,1.已知,已知，,第二步：,取统计量，在H,0,成立下求出它的分布,第三步：,查表确定临界值,使,对给定的显著性水平,检验假设,的过程分为五个步骤：,或,得,H,0,否定域,第四步：,将样本值 代入算出统计量,18,选择假设,H,1,表示Z可能大于,0,，也可能小于,0。,这称为双边假设检验。,由于取用的统计量服从 Z(U)分布，,第五步：判断,则否定H,0,，接受H,1,则H,0,相容，接受H,0,故称其为,Z(U) 检验法。,0,19,例1 某车间生产铜丝，,X的大小。,铜丝的主要质量指标是折断力,由资料可认为,今换了一批原料，,从性能上看，,估计折断力的方差不会有变换，,但不知,折断力的大小有无差别。,解 方差已知,抽出10个样品，测得其折断力（斤）为,进行检验。,提出假设,（=0.05）,第一步：,20,第二步：,取统计量，在H,0,成立下求出它的分布,第三步：,查表确定临界值,使,对给定的显著性水平,得,H,0,否定域,第四步：,将样本值 代入算出统计量,21,第五步：判断,说明小概率事件竟在一次试验中发生了，,故否定H,0,.,可以接受H,1,。,22,2、未知,2,，检验,（H,1,可以不写）,未知,2,，可用样本方差,代替,2,检验步骤,提出原假设和备择假设,第一步：,第二步：,取一检验统计量，在H,0,成立下求出它的分布,第三步：,查表确定临界值,使,对给定的显著性水平,确定H,0,的否定域。,23,即“ ”是一个小概率事件 .,或,由于取用的统计量服从t分布，,第四步：,得,H,0,否定域,将样本值 代入算出统计量,第五步：判断,则否定H,0,，接受H,1,则H,0,相容，接受H,0,故称其为t 检验法。,24,抽取6件, 得尺寸数据如下:,32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03,问这批产品是否合格?,某工厂生产的一种螺钉，,标准要求长度是32.5,毫米.,实际生产的产品其长度 X 假定服从正态分布 ，,未知，,现从该厂生产的一批产品中,例2,（=0.01）,提出假设,解 已知,未知.,25,取一检验统计量，在,H,0,成立下求出它的分布,得否定域,对给定的显著性水平,查表确定,故不能拒绝,H,0,.,将样本值代入算出 T,0,的值,没有落入,拒绝域,26,正态总体均值的假设检验小结,H,0,接受域,27,H,0,接受域,0,28,测量值X服从正态分布,取,=0.05,)?,解: 提出假设 H,0,：,=,112.6,；H,1,：,112.6,用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度,重复测量7次，测得温度():,112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6,而用某种精确办法测得温度为112.6(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差(设温度,因为未知方差,2,，故采用t检验法。,取统计量,例3,查表,29,由样本算得,这里,H,0,相容，接受H,0。,即,用热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差。,30,由于S,2,为,2,的无偏估计，自然想用,S,2,与,2,进行比较,若,过大或过于接近0，,则说明,2,偏离,0,2,较大。,因此有理由否定H,0,。,三、关于,2,假设检验,在显著性水平,条件下检验假设,其中,0,是已知常数，,取统计量,31,提出原假设和备择假设,第一步：,第二步：,取一检验统计量，,第三步：,查表确定临界值,对给定的显著性水平,确定H,0,的否定域。,或,H,0,否定域,32,第四步：,在样本值,下计算,第五步：判断,若,或,则否定H,0,。,若,则接受H,0,。,33,例1 已知某种延期药静止燃烧时间T,今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位,秒）数据为,问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为,我们的任务是根据所得的样本值检验,34,提出假设,第一步：,第二步：,取统计量，,第三步：,查表确定临界值,对给定的显著性水平,或,得,H,0,否定域,解,35,根据样本值算得,则H,0,相容，接受H,0,。,可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为,显然,第四步：,第五步：判断,36,（=0.05）,解: 提出假设,某次统考后随机抽查26份试卷,测得平均成绩:,试分析该次考试成绩标准差是否为,已知该次考试成绩,取统计量,例2,查表,37,根据样本值算得,则H,0,相容，故接受H,0,。,显然,表明考试成绩标准差与12无显著差异。,38,关于,2,假设检验,已知，,其中,0,是已知常数，,取统计量,或,H,0,否定域,39,分别是,且,X,与,Y,独立,X,1,X,2,是取自,X,的样本,取自,Y,的样本,分别是样本方差,均值,1.,Y,1,Y,2,是,样本,提出假设,H,0,：,1,=,2,；H,1,：,1,2,四. 检验两正态总体均值相等,40,取统计量，,拒绝域的形式,对给定,查表确定,1.,提出假设,H,0,：,1,=,2,；H,1,：,1,2,41,则否定H,0,，接受H,1,则接受H,0,即认为两个正态母体均值无显著差异,即认为两个正态母体均值有显著差异，显著性水平为,由样本值 代入算出统计量,42,H,0,：,1,=,2,；H,1,：,1,2,取统计量,提出假设,拒绝域的形式,给定显著性水平,43,且,X,与,Y,独立,1.,提出假设,检验两正态总体均值之差,取统计量,拒绝域的形式,给定,44,算出统计量,则否定H,0,，接受H,1,则接受H,0,即认为两个正态母体均值无显著差异,注意 在关于,的假设检验中, 通常遇到的情况是,，即检验,与,是否相等.,45,例3 某苗圃用两种育苗方案对杨树进行育苗试验,已知在两组育苗试验中苗高的标准差分别为,cm,cm.,cm,设杨树苗高服从正态分布, 试在显著性水平,下, 判断两种试验方案对平均苗高有无显著影响？,现各抽取80株树苗作为样本, 算得苗高的样本均值分别为,cm.,46,解 设第一种方案的苗高为,第二种方案的苗高为,则,检验假设,选取检验统计量,该拒绝域为,47,现在, 统计量,的值,因为,所以拒绝原假设,即这两种试验方案对苗高有显著影响.,48,五、 检验两正态总体方差相等 F检验,取统计量,分别是样本方差,49,由样本值算出统计量F的值，并查表得,判断,拒绝域的形式,给定,50,例4 为比较两台自动机床的精度，分别取容量为10和8的两个样本，测量某个指标的尺寸(假定服从正态分布)，得到下列结果：,在 =0.1时， 问这两台机床是否有同样的精度?,车床甲：1.08, 1.10, 1.12, 1.14, 1.15, 1.25,1.36, 1.38,1.40,1.42,车床乙:1.11,1.12,1.18,1.22,1.33,1.35,1.36,1.38,51,解:设,两台自动机床的方差分别为,在 =0.1下检验假设:,取统计量,拒绝域为,或,分别是样本方差,由样本值可计算得,F,的实测值为:,F,=1.51,52,由于 0.3041.513.68， 故接受,H,0,.,查表得,53,