光在晶体中传播的几何法描述课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,*,光在晶体中的传播规律除了利用上述进行严格的讨论外，还可以利用一些,几何图形,描述。,5.2.2,光在晶体中传播的几何法描述,(,Geometric description of transmission of light in crystals),光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,几何图形能使我们,直观地看出晶体中光波,的各个矢量场间的方向关系，以及与各传播方向相应的,光速或折射率的空间取值分布,。,5.2.2,光在晶体中传播的几何法描述,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,5.2.2,光在晶体中传播的几何法描述,x,1,x,2,x,3,n,1,n,2,n,3,几何方法仅仅是一种,表示方法,，它的基础仍然是上面所给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,5.2.2,光在晶体中传播的几何法描述,人们引入了,折射率椭球、折射率曲面、波法线曲面、菲涅耳椭球、射线曲面、相速卵形面,等六种三维曲面,.,折射率椭球,折射率曲面,菲涅耳椭球,射线曲面,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,1.,折射率椭球,1),折射率椭球方程,由光的电磁理论知道，在主轴坐标系中，,晶体中的电场储能密度为,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,1),折射率椭球方程,故有,在给定能量密度,e,的情况下，,该方程为,D,(,D,1,、,D,2,、,D,3,),空间的椭球面,。,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,1),折射率椭球方程,若令,则有,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,1),折射率椭球方程,或,它就是在主轴坐标系中的,折射率椭球方程,。对于任一特定的晶体，折射率椭球由其光学性质,(,主介电常数或主折射率,),唯一地确定。,x,1,x,2,x,3,n,1,n,2,n,3,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,2),折射率椭球的性质,若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量,k,，再过坐标原点作一平面,(,k,),与,k,垂直。,x,3,x,1,k,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,2),折射率椭球的性质,(,k,),与椭球的截线为一椭圆，椭圆的半长轴和半短轴的矢径分别记作,r,a,(,k,),和,r,b,(,k,),，,则可以证明折射率椭球具有下面两个重要的性质：,x,3,x,1,k,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,2),折射率椭球的性质,x,3,x,1,k,与波法线方向,k,相应的两个特许线偏振光的折射率,n,和,n,，分别等于这个椭圆的两个主轴的半轴长,，即,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,2),折射率椭球的性质,与波法线方向,k,相应的两个特许线偏振光,D,的振动方向,d,和,d,，分别平行于,r,a,和,r,b,，即,这里，,d,是,D,矢量方向上的单位矢量,。,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,2),折射率椭球的性质,只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量，就可以作出相应的折射率椭球。,x,3,x,1,k,从而就可以通过上述的几何作图法定出与,波法线矢量,k,相应的两个特许线偏振光的折射率和,D,的振动方向,。,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,现在证明上述结论,:,由空间解析几何理论，与波法线,k,垂直的中心截面,(,k,),上的椭圆，,应满足下面两个方程,：,x,3,x,1,k,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,由于椭圆的长半轴和短半轴是椭圆矢量的两个极值,所以，可以通过对满足,(73),式、,(74),式的,r,2,x,1,2,x,2,2,+,x,3,2,求极值来确定,r,a,(,k,),和,r,b,(,k,),。,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,根据,拉格朗日待定系数法,，引入两个乘数,2,l,和,2,，构成一个函数,:,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,求解,r,a,(,k,),和,r,b,(,k,),的问题就变成了对,F,求,极,值的问题。,而,F,取极值的必要条件是它对,x,1,、,x,2,、,x,3,的一阶导数为零，即,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,将,(76),式的三个式子分别乘以,x,1,、,x,2,、,x,3,，然后相加，利用,(73),式和,(74),式关系，得,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,再将,(76),式的,三个式子分别乘以,k,1,、,k,2,、,k,3,，然后相加，并再次利用,(73),式关系，得到,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,将,(77),式、,(78),式得出的,1,和,2,关系代入,(76),式，,可得,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,这三个方程就是与,k,垂直的椭圆截线矢径,r,为极值时所满足的条件,也就是椭圆两个主轴方向的矢径,r,a,和,r,b,所满足的条件,。,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,将,(79),式与,(38),式进行比较可见，,二式的差别只是符号不同,。,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,如果我们进行如下的代换：,并注意到,D,i,/,0,i,E,i,，则,(79),式可以写成,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,这组关系式就是晶体中与,k,相应的两个特许线偏振光的,D,矢量和折射率所遵从的关系,(38),式。,考虑到,x,1,:,x,2,:,x,3,D,1,:,D,2,:,D,3,和,r,n,，,r,的方向就是满足,(80),式的,D,方向，,r,的长度就是满足,(80),式的,n,。,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,通过中心与,k,垂直的椭圆截面两个主轴矢径,r,a,和,r,b,的方向,，就是波法线矢量为,k,的两个特许编振光,D,矢量的振动方向,，两个半轴长,r,a,和,r,b,就是分别与这两个线偏振光相应的折射率,。,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,椭球的,三个半轴长分别等于三个主介电系数的平方根,，其方向分别与介电主轴方向一致。,x,1,x,2,x,3,n,1,n,2,n,3,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,通过椭球中心的每一个矢径方向，代表,D,的一个振动方向，其长度为,D,在此方向振动的光波折射率,故矢径可表示为,r,n,d,。所以，,折射率椭球有时也称为,(,d,，,n,),曲面,。,x,3,x,1,k,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,3),利用折射率椭球确定,D,、,E,、,k,、,s,方向的几何方法,利用折射率椭球除了确定相应于,k,的两个特许线偏振光,D,矢量的,振动方向和折射率,外，还可以借助于下述几何方法，,确定,D,、,E,、,k,、,s,各矢量的方向,。,x,3,x,1,k,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,3),利用折射率椭球确定,D,、,E,、,k,、,s,方向的几何方法,D,、,E,、,k,、,s,矢量都与,H,矢量垂直，因而同处于一个平面内，,这个平面与折射率椭球的交线是一个椭圆,。,x,3,x,1,k,D,O,D,E,B,法线,T,切平面,R,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,3),利用折射率椭球确定,D,、,E,、,k,、,s,方向的几何方法,如果相应于波法线方向,k,的一个电位移矢量,D,确定了，与该,D,平行的矢径端点为,B,，,则椭球在,B,点的法线方向平行于与该,D,矢量相应的,E,矢量方向,。,O,D,E,B,法线,T,切平面,R,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,曲面,f,(,x,1,，,x,2,，,x,3,),C,上某点处的,法线方向平行于函数,f,在该点处的梯度矢量,f,。由,(69),式，折射率椭球方程可写成,所以，,现证明如下：,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,若将,x,i,D,i,n,/,D,和,i,D,i,/,0,E,i,代入，上式变为,因而,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,这说明，与折射率椭球上某点所确定的,D,矢量相应的,E,矢量方向，平行于椭球在该点处的法线方向,。,3),利用折射率椭球确定,D,、,E,、,k,、,s,方向的几何方法,O,D,E,B,法线,T,切平面,R,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,几何方法,：先过,B,点作椭圆的切线,BT,，再由,O,点向,BT,作垂线,OR,则,OR,的方向即是,B,点的法线方向,也,就是与,D,相应的,E,的方向。,3),利用折射率椭球确定,D,、,E,、,k,、,s,方向的几何方法,O,D,E,B,法线,T,切平面,R,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,另外，过,O,点作,BT,的平行线,OQ,，则,OQ,的方向就是,s,的方向,，而垂直于,OB,的方向,OJ,就,k,的方向,。,3),利用折射率椭球确定,D,、,E,、,k,、,s,方向的几何方法,O,D,E,B,法线,T,切平面,R,Q,J,k,s,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,4),应用折射率椭球讨论晶体的光学性质,(1),各向同性介质或立方晶体,(2),单轴晶体,(3),双轴晶体,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,(1),各向同性介质或立方晶体,在各向同性介质或立方晶体中，主介电系数,1,2,3,主折射率,n,1,n,2,n,3,n,0,，,折射率椭球方程为,这就是说，各向同性介质或立方晶体的,折射率椭球是一个半径为,n,0,的球。,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,(1),各向同性介质或立方晶体,不论,k,在什么方向,垂直于,k,的中心截面与球的交线均是半径为,n,0,的圆，不存在特定的长、短轴，因而光学性质是,各向同性,的。,x,3,x,2,x,1,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,(2),单轴晶体,在单轴晶体中，,1,=,2,3,，,或,n,1,=,n,2,=,n,o,，,n,3,=,n,e,n,o,，因此折射率椭球方程为,显然这是一个旋转椭球面，旋转轴为,x,3,轴,。,x,3,x,2,x,1,x,3,x,2,x,1,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,(2),单轴晶体,若,n,e,n,o,称为,正单轴晶体,，折射率椭球是,沿着,x,3,轴拉长了的旋转椭球,；若,n,e,n,o,，称为,负单轴晶体,，折射率椭球是,沿着,x,3,轴压扁了的旋转椭球,。,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,设晶体内一平而光波的,k,与,x,3,轴夹角为,，则过椭球中心作垂直于,k,的平面,(,k,),与椭球的,交线必定是一个椭圆,。,下面讨论波法线方向为,k,的光波传播特性,:,x,3,x,2,k,x,1,(,k,),n,o,n,o,n,e,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,由于旋转椭球的,x,1,(,x,2,),轴的任意性，,可以假设,(,k,，,x,3,),面为,x,2,Ox,3,平面。若建立新的坐标系,O,x,1,x,2,x,3,，,使,x,3,轴与,k,重合，,x,1,轴与,x,1,轴重合，则,x,2,轴在,x,2,Ox,3,平面内,。,x,3,x,2,x,2,x,3,k,x,1,x,1,(,k,),n,o,n,e,n,o,n,e,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,这时，,(,k,),截面即为,x,1,Ox,2,面，其方程为,x,3,x,2,x,2,x,3,k,x,1,x,1,(,k,),n,o,n,e,n,o,n,e,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,新旧坐标系的变换关系为,x,2,x,2,x,3,x,3,O,(,x,1,x,2,x,3,),(,x,1,x,2,x,3,),光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,将上面关系代入,(82),式，再与,(83),式联立，就有,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,其中,经过整理，可得出截线方程为,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,或表示为,根据折射率椭球的性质，椭圆截线的长半轴和短半轴方向就是相应于波法线方向,k,的两个待许线偏振光的,D,矢量振动方向,d,和,d,两个半轴的长度等于这,两个特许线偏振光的折射率,n,和,n,。,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,由,(84),式可见,这个椭圆有一个半轴的长度为,n,o,方向为,x,1,轴方向,.,如果,k,在,x,2,Ox,3,平面内,不论,k,的方向如何，它总有一个特许线偏振光的折射率不变,相应的,D,方向垂直于,k,与,x,3,轴所构成的平面,这就是,o,光。,x,3,x,2,x,2,x,3,k,x,1,x,1,(,k,),n,o,n,e,n,o,n,e,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,通过作图法，即可确定,o,光的,E,D,，,s,k,。,x,2,x,1,x,3,D,e,E,e,E,o,D,o,k,s,o,s,e,x,3,x,2,x,2,x,3,k,x,1,x,1,(,k,),n,o,n,e,n,o,n,e,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,对于椭圆的另一个半轴，其长度为,n,e,，且在,x,2,Ox,3,平面上。相应于波法线方向,k,的另一个特许的线偏振光的,D,矢量在,(,k,x,3,),面内，,相应的折射率,n,e,随,k,的方向变化,，,这就是,e,光。,x,3,x,2,x,2,x,3,k,x,1,x,1,(,k,),n,o,n,e,n,o,n,e,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,通过作图法可以看出，,e,光的,D,方向,不在主轴方向,因而,E,与,D,不平行，,s,与,k,也不平行,。这些结果与解析法得到的结论完全一致。,x,2,x,1,x,3,D,e,E,e,E,o,D,o,k,s,o,s,e,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,下面讨论两种特殊情况,：,0,时，,k,与,x,3,轴重合,，这时，,n,e,n,o,，中心截面与椭球的截线方程为,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,这是一个半径为,n,o,的圆。沿,x,3,轴方向传播的光波折射率为,n,o,，,D,矢量的振动方向除与,x,3,轴垂直外，没有其它约束，,故,x,3,轴为光轴,。,x,3,x,2,x,1,k,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,/2,时，,k,与,x,3,轴垂直，这时，,n,e,n,e,，,e,光的,D,与,x,3,轴平行。中心截面与椭球的截线方程为,x,3,x,2,x,1,k,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,对于,正单轴晶体,，,e,光有最大折射率；而对于,负单轴晶体,，,e,光有最小折射率。运用几何作图法，可以得到,D,E,，,k,s,。,x,3,x,2,x,1,x,3,x,2,x,1,光在晶体中传播的几何法描述优秀课件,