[数学]数学建模 微分方程模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,人口模型,在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特征往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是非常广泛的。,从现在起，我们将向大家介绍一些很著名的微分方程模型，它们中，最简单，也是最直观的，就是人口模型。对于人口模型，我们向大家介绍两个模型。,、MALTHUS模型,世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在人口自然增长过程中，净相对增长率出生率减去死亡率为净增长率是常数。,设时刻t的人口为t，净相对增长率为r，我们把t当作连续变量来考虑。按照Malthus的理论，在t到t+t时间内人口的增长量为,令t，那么得到微分方程、,设t时人口为,，即有,我们易求得微分方程在上面的初始条件下的解为,如果r0，上式那么说明人口以指数规律无限增长。特别地，当t，我们将会有(t) , 这似乎不太可能。,这个模型可以与世纪以前欧洲一些地区的统计资料很好地吻合，但是后来人们用它来与世纪的人口资料比较时却发现了相当大的差异。人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口比较符合指数模型，而同一血统的法国外乡居民人口的增长却与指数模型大相径庭。分析说明，以上这些现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率根本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。因此，我们将对指数模型关于净增长率是常数的根本假设进行修改，以得到与实际情况相符合的某些结论。,这个修改后的关于人口增长问题的数学模型就是我们现在称之为逻辑斯蒂模型Logistic模型，这个数学模型与现有的人口增长数据能够充分吻合。,下面，我们就简单地介绍一下修改后的人口增长的数学模型，即Logistic模型。,、Logistic模型,荷兰生物数学家Verhulst引入常数,m,表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口，并假定增长率等于,即净增长率随着t的增加而减少。当t m时，净增长率等于,零。这样，上面模型中的方程就变为,仍给出与Malthus模型相同的初始条件，即,那么上面微分方程的解为,易看出，当t时，当t m。这个模型称为Logistic模型，其结果,经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是Logistic模型的的图形。,你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。,捕鱼问题,在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，会造成鱼量的急剧下降，势必影响日后鱼的总量。因此，我们希望在鱼的总量保持稳定的前提下，到达最大捕鱼量或者最多的经济效益。,设时刻t鱼场中的鱼量为x(t)，鱼场资源条件所限制的x的最大值为xm，类似人口模型中的Logistic模型，我们得到在无捕捞情况下的关于x(t)的微分方程,其中r为鱼量的自然增长。假设单位时间内捕捞量与渔场的鱼量成正比，捕捞率为K，那么在有捕捞的情况下，x(t)应满足,我并不去求解上面的方程以了解x(t)的性质。下面我们介绍一种方法，可以利用上面的微分方程得到x(t)的平衡点，从而研究其稳定性。,对于方程,我们把代数方程f(x)=0的的实根x,0,称为上面方程的平衡点。显然，x=x,0,是它的一个解。另外，在点x,0,附近，有,所以，假设f(x0)x0时，dx/dt0，那么x0是稳定的不平衡点。,我们不难求出方程的平衡点为,假设在上面的微分方程中，令,那么易求得,根据上面关于平衡点的讨论易知，当Kr时，上面所求的x0即为平衡的稳定点。换句话说，只要不是“竭泽而鱼，Kr就是鱼业生产所必须遵守的根本条件。,下面我们用图解法讨论在保持鱼量稳定的前提下，如何选取捕捞率使捕捞量最大。设,由上图可知，f1(x)在原点处的切线为y=rx，从而，当Kr时，曲线f1(x)与f2(x)必相交，其交点的横坐标为x0，也就是说，使渔场内捕鱼量保持稳定Kr)即意味着曲线f1(x)与f2(x)必相交。由此不难看出，在所有与抛物线相交的直线中，选择过抛物线的顶点的直线将得到最大的捕捞量ym , 此时，稳定平衡点x0=xm/2，因此我们可得到,故我们得到结论：控制捕捞率r/2，或者说，控制使渔场内渔量保持在最大值xm的一半时，就可保持鱼量稳定的条件下使捕捞量最大。,下面我们还是在保持鱼场渔量稳定的前提下做进一步分析，如何使经济利润最大。设鱼的单价为p，设开支与捕捞率成正比，比例系数为c，那么在保持鱼量稳定的条件下单位时间内捕捞利润是,请注意，上面我们所得到的式子,表示在K等四幅画都是他伪造的。同时伪造的还有世纪荷兰另一位画家de Hooghs的作品。为了证实这一切，他在狱中开始伪造Vermeer的画?耶稣在学者中间?。,当他的工作几乎要完成时，他得悉他可能以伪造罪被判刑。于是，他拒绝将他的画老化。为了解决这一问题，一个由著名化学家，物理学家和艺术史学家组成的国际调查小组受命调查此时。调查小组用X射线透视等现代手段来分析检验绘画所用的颜料，从而检验某些年代迹象。尽管Van Meegeren千方百计地去掩饰，专家调查小组还是在油画中发现了现代物质诸如钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立。Van Meegeren也因此被判处一年徒刑。年月他在狱中心脏病发作死去。,但是，许多人还是不相信? Emmaus的信徒们?等名画是伪造的。他们的理由是，Van Meegeren在狱中快要完成的画?耶稣在学者们中间?的质量很差。调查小组解释说，由于Van Meegeren对他在艺术界的三流画家地位很不满，因此带着狂热的决心临摹了那副画。当他看到自己的“杰作未被识别而轻易出手后，他的决心也随之消失了。,下面，我们需了解一些颜料方面的知识。画家曾用白铅作颜料已有年的历史了，而白铅中含有少量的铅和更少的镭。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿石中提炼出来的。在铅矿中铅210和镭226本是处在放射平衡中，而在上述提取过程中，铅210随铅金属被提取出来，不过，90%-95%的镭以及它的派生物都随着炉渣中的废物排出了，从图3 6可以看出，铅210的提取物都被排掉了。为了使镭226与铅210 在到达放射平衡，铅210开始迅速衰减，其半衰期为22年。,为了使模型简化，我们作如下假定：,1由图36可知，镭的半衰期为1600年，而我们只对300年这一段时间感兴趣，所以每分钟镭的衰变数可以近似看作常数。,(2)铅210的衰变大致为,3.6,作战模型,混合型常规游击战,抛物律,3.8 地中海鲨鱼问题,20世纪20年代中期，意大利生物学家Umberto DAncona偶然注意到第一次世界大战期间在原南斯拉夫的里耶卡港，人们捕获的鱼类中，鲨鱼等软骨鱼的百分比大量增加见表3-2，而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降。显然，战争使捕鱼量下降，食用鱼应该增加，鲨鱼等软骨鱼也随之增加，但为何其比例大幅度增加呢？,