二、_弹性力学有限元法基本原理(一)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二单元,弹性力学有限元法基本原理（一）,第一节,里兹法的有限元形式,由于需要在整个求解区域上假设试探函数，经典里兹法在解决实际问题时，尤其是几何形状复杂的二、三维问题，具有局限性。,解决上述问题的办法是在求解区域上分片假设试探函数。,下面以一维直杆的分析为例子，研究基于里兹法的有限元位移法基本原理和求解过程。,离散化,考虑图,2-1,（,a,）,所示的一维直杆结构，杆的总长度为,3L,。,载荷与图,1-4,相同。杆分为三个子区域，称为,单元,。单元之间的连接点称为,节点,。这一步骤称为,离散化,。节点位移是问题的基本未知量。,（,a,）,一维直杆的分域（截面积,A,，,弹性模量,E,，,轴向受力）,（,b,）,杆的有限单元,图,2-1,分片假设单元上位移试探函数,是待定常数。,首先按如下形式假定分片位移场,为了使得上述假设位移场是,“许可位移”,，上述多项式待定系数必须满足一定约束关系（,3,个），显然，该问题的独立参量（广义坐标）只有,3,个。,把上述假设的分段线性位移场代入势能泛函：,分段计算上式积分，再应用驻值条件，可立即求出待定系数，位移场就完全确定，进而可求出各单元应力。,上述是原理上的里兹法有限元形式求解过程，其关键是采用分片多项式拟合全域上的可能位移场,分片试探函数。,这个做法正体现了有限元法的实质。,上面形式的分片位移试探函数有下列缺点：,必须对它进行调整，使其满足连续条件和边界约束条件；,多项式系数作为广义坐标缺乏明显的物理意义。,因此，上述不是通常意义上标准的有限元形式，仍然具有局限性，如对于二维以上的问题使各单元之间分片多项式保持连续性很难处理。,下面用节点位移未知量作为待定参数（广义坐标），得到其标准有限元形式。,重新构造单元内位移试探函数,矩阵形式为：,是插值基函数矩阵，称为“形函数”矩阵。,称为单元,1,的节点位移列阵。,对单元,1,有：,其中：,离散结构中，节点位移分量是问题的基本未知量。,在每个单元内通过对节点位移插值，分片建立位移试探函数：,其它两个单元也有同样的插值位移试探函数：,单元,2,：,单元,3,：,同上,每个单元中，位移试探函数是位置坐标的简单函数（线性），任意一点函数值取决于单元节点位移，且在单元节点上试探函数值等于待定节点位移。,单元上的位移试探函数又称为单元位移模式。,显然，在使用插值试探函数情况下，整个杆上，由各单元位移函数拼接而成的试探位移场是连续的。只要我们记住 ，得到的就是可能位移场。这样的位移试探场以未知节点位移作为待定参量（广义坐标）。,下面进一步实施里兹法求解。,计算离散系统的势能泛函,单元应变表达式：,得到单元上应变表达式：,由应变,位移关系：,上式就是用节点位移表达单元应变的公式。,称为单元应变矩阵,其中,或,计算一个单元内应变能,(,单元,1,）：,其中：,称为杆单元刚度矩阵。,由于单元的几何、物理参数相同，上述单元应变能表达式对于,3,个单元相同，只是节点位移列阵的分量不同。,载荷与上节例题相同：,载荷在三个单元内局部坐标下的表达式分别为：,， ，,按外力功的积分式，分别计算三个单元的外力功,第,1,单元外力功为：,同理，第,2,、,3,单元外力功分别为：,和,计算单元上外力的功：,为了适应矩阵形式运算，将单元势能矩阵表达式中的 用整体节点位移向量 代替，同时单元刚度矩阵扩展成总体规模（,4,4,）。则各单元相加后系统总势能为：,系统总势能等于三个单元应变能之和减去三个单元外力功。,应用势能驻值条件：,即划去第一个方程，解出其余三个方程得到：,即：,引入约束条件：,简写为：,得到有限元求解方程,系统平衡方程：,单元应力由公式 得到。,结合单元位移模式 就得到整体上近似位移场。,图,2-2,受轴向力杆的精确结果和有限元结果,本问题有限元解与精确解的比较如图,2-2,所示。,有限元解与经典里兹解对比,第二节 常应变三角形单元解平面问题,上一节以受轴向力的弹性杆为例讨论了有限元位移法的基本原理和步骤，揭示了有限元法的本质特征。,本节讨论将该方法推广到解决弹性力学平面问题。弹性区域离散化采用,3,节点三角形单元（,T3,单元）。,1,、结构离散化,连续求解区域划分为有限个三角形区域（单元）；,或者连续体离散为有限个小单元的结合体，单元之间在节点处连接。,问题的未知量转化为节点位移。,图,2-3,二维区域离散化,2,、单元位移模式及插值函数,从离散结构中取出一个典型的分片区域（单元），研究二维区域上分片多项式假设位移场（单元位移模式）。,单元如图,2-4,所示。单元节点采用局部编号,i,，,j,，,m,（,逆时针旋转），每个节点两个自由度（位移分量）：,图,2-4,三节点三角形单元,称为单元节点位移列阵。,（i,j,m）,则每个单元六个节点位移分量：,在单元的三角形区域构造简单位移试探函数。,采用,x,，,y,的一次多项式：,是待定系数，称为广义坐标。,显然，用这种形式的单元位移模式构造整个求解区域上的许可位移场将非常困难。,解决办法：将上述多项式系数广义坐标代换为单元节点位移广义坐标（插值法,）。,将三个节点坐标分别代入上述位移多项式：,解上述方程，用节点位移表达多项式系数：,（,A,为三角形单元的面积。）,定义上面方程的系数行列式为,D,：,用公式法（克莱姆法则）解出广义坐标 得：,上式中， 系数 分别是行列式,D,第,i,j,m,行第,1,，,2,，,3,列元素的代数余子式，其值取决于节点坐标。,将求得的广义坐标 代回前面位移多项式，整理得到以单元节点位移分量表示的位移模式：,其中,（i，j，m）,称为单元的插值基函数或形函数。,同理，对,y,方向位移函数作代换，可求得广义坐标,：,每个节点对应一个形函数。,位移模式的矩阵形式为：,式中：,称为单元的形函数矩阵,3,、形函数的性质和几何意义,1,）相应于某节点,i,的形函数在,i,节点上值为,1,，在,j,，,m,节点上值为,0,。,2,）单元中任一点各形函数之和等于,1,，即：,提示：三个形函数只有两个独立。该性质保证各节点函数值相同时，插值得到单元上任意一点函数值亦相同。,3,）推论：,对三节点单元，形函数在单元内部和边界上均为线性函数，形函数在单元一条边上的值，只跟边端点位置有关，与第三点位置无关；某节点的形函数在对边上 恒为,0,。,4,）形函数的几何意义,图,2-5,形函数的几何意义,根据三角形单元形函数的上述性质也可以推断，单元的假定位移在内部和边界上都线性分布，边界上的位移只跟两端节点位移有关，保证了整个求解区域上位移的连续性。,4,、用节点位移表达单元应变和应力,矩阵 称为单元应变矩阵，其子块为：,单元位移模式确定后，很容易得到用节点位移表示单元应变和应力的表达式。,应用弹性力学平面问题几何方程的矩阵形式，得到：,将形函数分别代入上式，最后求得应变矩阵如下：,（i, j, m）,该应变矩阵的元素取决于节点坐标，是常数矩阵。因此，单元内应变、应力是常数。该单元称为常应变单元。,单元应力根据平面问题的物理方程得到：,其中：,称为应力矩阵。将平面应力或平面应变问题的弹性矩阵代入，就可以具体计算出应力矩阵。,至此，已完成在二维弹性体区域上构造位移试探函数，并做好计算系统总势能的准备。,5,、利用最小势能原理建立有限元求解方程,弹性力学平面问题的总势能泛函表达式如下：,其中：,t,弹性体厚度；,平面问题体积力向量；,边界面力向量。,应用前面在整个求解区域上分片假设的位移场（位移模式），在有限元离散模型上对上述总势能泛函进行分片计算（对各单元区域积分）并求和：,单元刚度矩阵；,单元体力等效节点力列阵；,单元面力等效节点力列阵；,单元等效节点载荷列阵,在上式中定义：,参考前面受轴向力杆的例题，对上式作如下形式上的处理，把单元相关的矩阵（列阵）变换到整体规模，即：,把上面定义的矩阵符号代入势能表达式得到：,对单元刚度矩阵 和单元等效节点载荷列阵 ，根据单元局部节点编号,i, j, m,所对应的整体节点号，重新产生具有结构总自由度规模的相应矩阵： 和 ；,势能表达式中的单元节点位移列阵 换成结构整体位移列阵 。,则上面势能表达式立刻成为：,式中定义 ：,系统节点载荷列阵,则总势能写成：,系统整体刚度矩阵（总刚度矩阵）,上式就是用有限元模型上所有离散节点未知场函数值（节点位移）表达的系统总势能泛函。,应用最小总势能原理，由驻值条件：,系统有限元平衡方程,该方程反映了有限元离散结构的总体平衡。其物理解释是,:,离散结构所有节点的平衡,节点所受弹性力和外力之间的平衡。,对于平面应力问题，刚度矩阵一个子块计算如下：,( r,s=i, j, m),6,、单元刚度矩阵及其性质,对于三节点三角形单元，应变矩阵是常数，所以单元刚度矩阵计算如下：,由上述刚度矩阵子块计算公式，立刻得到：,其中：,讨论：单元刚度矩阵的物理意义,为了考察单元刚度矩阵的物理意义，用最小势能原理建立一个单元的平衡方程：,式中，单元节点位移和单元节点载荷分量为：,因此导出单元刚度矩阵的一个重要性质：,性质,1,：对称性,方程反映了单元节点上力的平衡,节点外力,(,方程右端,),和节点内力,(,方程左端,),的平衡。,上式节点平衡方程中如果令 ，,则得到：,因此，单元平衡方程的展开形式为：,所以，单元刚度矩阵第一列元素的物理意义是，第一个自由度位移为,1,，其它自由度位移为,0,时，要保持平衡须加在单元各节点上的节点力分量。显然，单元刚度矩阵元素表征单元刚性的大小，称为刚度系数。,由于这些节点力组成平衡力系，因此有：,其它各列元素的物理意义可以用同样的方法理解，都代表一个平衡力系。因此单元刚度矩阵的行列式值为,0,。得到单元刚度矩阵的另一个性质：,性质,2,：奇异性,奇异性的物理解释：单元受节点力作用平衡时,不能确定单元的节点位移。因为单元上可以叠加任意的刚体位移。,单元刚度矩阵的另一个性质：,性质,3,：主对角元素恒正,物理含义：使单元的某节点在某自由度方向产生一定位移，必须在该节点上施加相同方向的力。,7,、单元等效节点载荷列阵,对于弹性力学有限元法，单元载荷主要有两类：体力和面力,平面问题相应的等效节点力计算式已从势能表达式中得到：,体力：,面力：,需要针对不同分布形式的单元力，具体计算上述积分。,计算要点：形函数、体力、面力用与积分变量相同的参数表示。,其中， 和 分别为平面问题的体力集度分量列阵和面力集度分量列阵。,8,、系统总刚度矩阵和总节点载荷列阵的组集,依据下列公式：,关键是如何把单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵转换成其扩大形式： 和 ：,举例如下：,根据单元局部节点号,i,j,m,对应的整体节点号，将单元刚度矩阵、单元等效节点载荷列阵的各节点相关子块在扩大后的矩（列）阵中重新“对号入座”。,有限元模型中某单元,i,j,m,为,3,，,8,，,2,。单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵的分块形式为：,扩大后的单元刚度矩阵和单元等效节点载荷列阵分别为：,实际程序实施时，根据上述原理，直接将单元信息的各个“子块”“对号入座”到结构总刚度阵和结构总载荷列阵中：,单元,l,m,n,1,1,2,3,2,2,5,3,3,2,4,5,4,3,5,6,单元,2,：,9,、系统总刚度矩阵的性质,结构总刚度矩阵又称整体刚度矩阵或总刚度矩阵。由前面知它是由单元刚度矩阵扩大后叠加（相加）而成。因此，结构刚度矩阵必然具有与单元刚度矩阵相一致的物理意义。,1,）结构总刚度矩阵元素的物理意义,结构刚度矩阵任一元素 的物理意义：结构第,j,个自由度位移分量为,1,，而其他位移分量皆为,0,时，需在第,i,个自由度方向施加的力。,结构总刚度矩阵每一列元素代表有限元结构上某一个作用在所有自由度上的平衡力系的所有分量。,2,）对称性,由单元刚度矩阵组集成结构总刚度矩阵的方法可以看出，单刚扩大到整体规模后对称性保持不变。因此总刚度矩阵对称性保持不变。,3,）奇异性,由,总刚矩阵元素物理意义或,总刚度矩阵的集成原理，单元刚度矩阵的奇异性必然导致总刚度矩阵的奇异性。,力学意义：推导有限元平衡方程过程中，没有考虑节点位移约束，其平衡构形可以迭加任意刚体位移。所以节点外力给定，不能从该方程求出唯一的节点位移。必须对方程进行约束处理，引入位移边界条件。,一般而言，总刚度矩阵中非零元素很少，大多数元素为零，称为稀疏矩阵。有限元模型的节点数越多，非零元素所占比例越小。,有限元模型中属于同一单元的节点称为相关节点。,稀疏性的原因：从单元刚度矩阵叠加成总刚度矩阵的过程或从总刚度矩阵元素的物理意义看，只有相关节点之间才有非零刚度关联，而无论有限元模型规模大小，一个节点的相关节点数量总是有限的。因此，总刚度矩阵中大量的元素必然为零，稀疏性是必然的。,4,）稀疏性,如果模型的节点编号有规则，非零元素将分布在以主对角线为中心的带状区域内。显然，对有限元方程的求解，这个性质非常重要。,衡量带状特性的指标是半带宽。,半带宽在有限元方程求解技术中是一个重要参数，它关系到求解中的存储量和计算时间。半带宽越小越好。,图,2-6,、图,2-7,分别为一个有限元结构和相应结构刚度矩阵非零元素分布。,5,）非零元素带状分布,图,2-6,有限元网格,图,2-7,总刚度矩阵非零元素的稀疏性,和带状分布,总之，有限元结构刚度矩阵的上述性质是有限元法固有的特点，也是有限元法的优越性在计算技术上的体现，没有这些特性，就不会有有限元如今的发展和广泛应用。,应用基于最小势能原理的里兹法求解位移近似解的前提是假设位移场是许可位移，必须满足边界位移约束。前面导出有限元方程过程中，尚未引入边界节点的约束条件，这也导致了结构刚度矩阵的奇异性。,引入位移边界条件最直接的方法是在势能表达式中进行。从数学上看，与在有限元方程中引入位移边界条件是等价的。,有限元法中位移边界条件的形式是边界节点上的给定位移值（零值或非零值）。,10,、系统有限元平衡方程引入位移边界条件,在方程中引入位移边界条件的方法（,P52,或,P,73),直接代入法。该方法可处理零位移或非零位移约束。但需要对方程重新组合，编程困难。,总刚对角元素置“,1”,法。处理简单方便，但只能处理零位移约束。,总刚对角元素乘大数法。可以处理任何给定位移（零值和非零值），方程次序、阶数不变，编程方便。,按节点自由度建立平衡方程。组集总刚度矩阵和总载荷列阵时，按节点序号、节点自由度序号，并考虑节点自由度约束情况对单元刚度矩阵元素和单元等效节点力分量进行“对号入座”。跳过被约束自由度相关的单元刚度元素和单元等效节点力分量，总刚矩阵、总载荷列阵、总体位移列阵中对这些自由度不安排位置。,直接解法,基于高斯消去法的带状稀疏矩阵求解算法系列：,（,1,）带状存储消去法,（,2,）带状矩阵三角分解法,（,3,）分块法,（,4,）波前法,迭代解法,（,1,）高斯,-,赛德尔迭代法,（,2,）预条件共轭梯度法（,PCG,）,11,、系统有限元平衡方程（线性代数方程组）的求解,第二单元学习目标,1,、结合杆单元例题，熟练掌握里兹法有限元形式的解题原理和过程。对例题进行详细推演，总结思考。,2,、对照一维杆问题的有限元法，来理解弹性力学平面问题的求解思路。,3,、要求熟练掌握和深刻理解平面问题有限元法中正式导出的基本概念，包括：单元位移模式、插值函数（形函数）及其性质；有限元结构系统总势能；离散系统总势能表达式与系统平衡方程的联系；单元刚度矩阵、整体刚度矩阵的物理意义及其性质，单元刚度矩阵与整体刚度矩阵的联系，整体刚度矩阵非零元素分布与有限元网格的关系；单元等效节点力的物理意义及计算方法；引入位移边界条件的原因和原理。,4,、能熟练计算单元等效节点力、根据有限元模型写出整体刚度矩阵非零元素分布。,