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2.3,数学归纳法,第二章推理与证明,1.,了解数学归纳法原理,.,2.,掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题,.,学习目标,栏目索引,知识梳理,自主学习,题型探究,重点突破,当堂检测,自查自纠,知识梳理,自主学习,知识点一归纳法及分类,答案,由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为,归纳法和,归纳法，,完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；,不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段,.,用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径,.,完全,不完全,完全归纳法是一种在研究了解事物的所有,(,有限种,),特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法,.,与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的,.,通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法,.,思考,下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数,.,(1)1,5,9,13,17,，,(,),；,答案,21,8,21,知识点二数学归纳法,答案,1.,数学归纳法,证明一个与正整数,n,有关的命题，可按下列步骤进行：,(,归纳奠基,),证明当,n,取第一个值,n,0,(,n,0,N,*,),时命题成立；,(,归纳递推,),假设,n,k,(,k,n,0,，,k,N,*,),时命题成立，证明当,n,k,1,时命题也成立,.,2.,应用数学归纳法时注意几点：,(1),用数学归纳法证明的对象是与,有关的命题,.,(2),在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可,.,(3),步骤,的证明必须以,“,假设,n,k,(,k,n,0,，,k,N,*,),时命题成立,”,为条件,.,正整数,n,答案,不能保证猜想一定正确，需要严密的证明,.,(2),多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？,答案,第一块骨牌倒下；,任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下,.,条件,事实上给出了一个递推关系，,换言之就是假设第,K,块倒下，,则相邻的第,K,1,块也倒下,.,返回,答案,题型探究,重点突破,题型一用数学归纳法证明恒成立,解析答案,反思与感悟,例,1,求证：,(,n,1)(,n,2),(,n,n,),2,n,13,(2,n,1)(,n,N,*,).,反思与感悟,证明,(1),当,n,1,时，左边,1,1,2,，右边,2,1,1,2,，左边右边，等式成立,.,(2),假设当,n,k,(,k,N,*,),时等式成立，,即,(,k,1)(,k,2),(,k,k,),2,k,13,(2,k,1),，那么，当,n,k,1,时，,左边,(,k,2)(,k,3),(,k,k,)(,k,k,1)(,k,k,2),2,k,13,(2,k,1)(2,k,1)2,2,k,1,13,(2,k,1),2(,k,1),1,右边,.,当,n,k,1,时，等式也成立,.,由,(1)(2),可知，对一切,n,N,*,，原等式均成立,.,反思与感悟,用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于,“,先看项,”,，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与,n,的取值是否有关，由,n,k,到,n,k,1,时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项,.,解析答案,解析答案,题型二证明不等式问题,解析答案,反思与感悟,解析答案,证明,由已知条件可得,b,n,2,n,(,n,N,*,),，,不等式成立,.,(2),假设当,n,k,(,k,N,*,),时，不等式成立,.,则当,n,k,1,时，,反思与感悟,要证当,n,k,1,时，不等式成立，,反思与感悟,当,n,k,1,时，不等式成立,.,由,(1)(2),可知，对一切,n,N,*,，原不等式均成立,.,用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用,.,反思与感悟,解析答案,解析答案,(2),假设当,n,k,时，不等式成立，,则当,n,k,1,时，,解析答案,所以当,n,k,1,时不等式成立,.,由,(1)(2),知，不等式对一切,n,N,*,都成立,.,题型三用数学归纳法证明整除问题,解析答案,反思与感悟,例,3,求证,n,N,*,时，,a,n,1,(,a,1),2,n,1,能被,a,2,a,1,整除,.,反思与感悟,证明,(1),当,n,1,时，,a,1,1,(,a,1),2,1,1,a,2,a,1,，命题显然成立,.,(2),假设当,n,k,(,k,N,*,，,k,1),时，,a,k,1,(,a,1),2,k,1,能被,a,2,a,1,整除，,则当,n,k,1,时，,a,k,2,(,a,1),2,k,1,a,a,k,1,(,a,1),2,(,a,1),2,k,1,a,a,k,1,(,a,1),2,k,1,(,a,1),2,(,a,1),2,k,1,a,(,a,1),2,k,1,a,a,k,1,(,a,1),2,k,1,(,a,2,a,1)(,a,1),2,k,1,.,由归纳假设，上式中的两项均能被,a,2,a,1,整除，,故当,n,k,1,时命题成立,.,由,(1)(2),知，对任意,n,N,*,，命题成立,.,用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当,n,k,1,时的式子中拼凑出当,n,k,时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子,.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练,3,用数学归纳法证明对于任意非负整数,n,，,A,n,11,n,2,12,2,n,1,能被,133,整除,.,证明,(1),当,n,0,时，,A,0,11,2,12,133,，能被,133,整除,.,(2),假设当,n,k,(,k,0),时，,A,k,11,k,2,12,2,k,1,能被,133,整除，,那么当,n,k,1,时，,A,k,1,11,k,3,12,2,k,3,1111,k,2,12,2,12,2,k,1,1111,k,2,1112,2,k,1,(12,2,11)12,2,k,1,11(11,k,2,12,2,k,1,),13312,2,k,1,，,能被,133,整除,.,由,(1)(2),可知，对于任意非负整数,n,，,A,n,都能被,133,整除,.,题型四用数学归纳法解决平面几何问题,解析答案,反思与感悟,例,4,已知,n,个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这,n,个平面把空间分成,f,(,n,),n,(,n,1),2,部分,.,反思与感悟,证明,(1),当,n,1,时，,1,个平面把空间分成,2,部分，,而,f,(1),1,(1,1),2,2(,部分,),，所以命题正确,.,(2),假设当,n,k,(,k,N,*,),时，命题成立，,即,k,个符合条件的平面把空间分为,f,(,k,),k,(,k,1),2(,部分,),，,当,n,k,1,时，第,k,1,个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加,2,部分，所以共增加,2,k,部分，,故,f,(,k,1),f,(,k,),2,k,k,(,k,1),2,2,k,k,(,k,1,2),2,(,k,1)(,k,1),1,2(,部分,),，,即当,n,k,1,时，命题也成立,.,根据,(1)(2),，知,n,个符合条件的平面把空间分成,f,(,n,),n,(,n,1),2,部分,.,用数学归纳法证明几何问题的关键是,“,找项,”,，即几何元素从,k,增加到,k,1,时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立,k,与,k,1,之间的递推关系,.,反思与感悟,解析答案,解析答案,证明,(1),当,n,2,时，两条直线的交点只有一个，,当,n,2,时，命题成立,.,(2),假设当,n,k,(,k,N,*,，,k,2),时命题成立，,那么，当,n,k,1,时，,l,与其他,k,条直线的交点个数为,k,，,从而,k,1,条直线共有,f,(,k,),k,个交点，,当,n,k,1,时，命题成立,.,由,(1)(2),可知，对任意,n,N,*,(,n,2),命题都成立,.,解析答案,因弄错从,n,k,到,n,k,1,的增加项致误,防范措施,返回,易错易混,错解,当,n,1,时，,解析答案,防范措施,即,n,1,时不等式成立,.,假设,n,k,(,k,1,，且,k,N,*,),时不等式成立，,那么，当,n,k,1,时，,即,n,k,1,时，不等式成立,.,正解,当,n,1,时，,即,n,1,时不等式成立,.,解析答案,防范措施,防范措施,假设,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时不等式成立，,那么，当,n,k,1,时，,所以,n,k,1,时，不等式成立,.,防范措施,当,n,k,1,时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明,.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,A.1 B.1,a,C.1,a,a,2,D.1,a,a,2,a,4,B,解析答案,解析,当,n,1,时，左边的最高次数为,1,，即最后一项为,a,，左边是,1,a,，故选,B.,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,答案,C,比较,可知,C,正确,.,1,2,3,4,5,解析答案,2,k,解析,观察,f,(,n,),的表达式可知，右端分母是连续的正整数，,因此,f,(2,k,1,),比,f,(2,k,),多了,2,k,项,.,1,2,3,4,5,解析答案,4.,用数学归纳法证明,3,n,n,3,(,n,3,，,n,N,*,),第一步应验证,_.,n,3,时是否成立,解析,n,的最小值为,3,，所以第一步验证,n,3,时是否成立,.,1,2,3,4,5,解析答案,5.,已知数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，且,a,1,1,，,S,n,n,2,a,n,(,n,N,*,).,依次计算出,S,1,，,S,2,，,S,3,，,S,4,后，可猜想,S,n,的表达式为,_.,课堂小结,1.,数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可,.,有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础,.,2.,归纳假设的作用,.,在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：,(1),归纳假设就是已知条件；,(2),在推证,n,k,1,时，必须用上归纳假设,.,返回,3.,利用归纳假设的技巧,.,在推证,n,k,1,时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设,.,此时既要看准目标，又要掌握,n,k,与,n,k,1,之间的关系,.,在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用,.,4.,数学归纳法的适用范围,.,数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前,n,项和等问题中,.,
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