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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,等 积 变 换,天门市石河中学 谈平忠,等积变换的基本原理：,等底等高,的两个三角形面积相等。,不等底但等高,的两个三角形面积的比等于底边的比,等底但不等高,的两个三角形面积的比等于高的比,等积变换的基本图形,等积变换的基本图形,根据等积关系，可以使某些作图题较快地得到解答。,例1.用三种方法把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。,ABC，过A点的中线能把三角形分成面积相同的两部分。你能过AB边上一点E作一条直线EF，使它也将这个三角形分成两个面积相等的部分吗？,过梯形中位线中点且与上下底相交的任意直线,（西城08一模）如图，梯形纸片ABCD中，ADBC且ABDC.设AD=a,BC=b.过AD中点和BC的中点的直线可将梯形纸片ABCD面积分成面积相等的两部分.请你再设计一种方法:,只须用剪子剪一次将梯形纸片ABCD分割成面积相等的二部分，画出设计的图形并简要说明你的分割方法.,例3.有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分成两等份，请你设计一种方案把它分成所需要的份数如果只允许引一条直线，你能办到吗？,例,4,有一块形状如图的耕地，兄弟四人要把它分成四等份，请你设计一种方案把它分成所需要的份数,比较两个图形的面积大小，常常以求一个图形的面积占另一个图形面积的几分之几的形式出现。,例1.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点。求AEF是平行四边形的几分之几？,所有空白部分占整个平行四边形面积的分数求出来了,于是阴影部分AEF的面积所占的分数便是,例2.如图任意ABCD.求四边形EFGH与ABCD面积之比.,连结E、D和B、D，,用等积变换求图形的面积，是常用的技巧之一。它能使分散的图形集中，使生疏、麻烦的题目转化为熟悉、简单的题目。,例1如图这是个直角梯形。求阴影部分的面积,这道题可以直接解答，也可以把两个阴影部分集中，连结AC，因为AB平行于DC，所以DAE的面积=CAE的面积，两个阴影部分的面积就换成一个 CAB的面积了。,例2如图，已知，正方形ABCD的边长是a，正方形CEFG 的边长为b，且点B、C、E在一条直线上.连结AG、GE、AE，求,例3.,如图，在四边形ABCD中，M是AB的中点，N是CD的中点。如果四边形ABCD的面积是20，那么BNDM的面积是多少？,M,D,N,C,B,A,两个白色的四边形ANCQ、BPDM的面积相等，故有y=x,例5四边形ABCD,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知ABD+BDC=90度,求ABCD的面积,如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做ABD关于L的对称图形BD.连接C,如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程,因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如图 图中有ECA=110度,所以CED=110度.易证CDA=40度.,四. 用等积变换证题,如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的边上任意一点，DEAB，DFAC，CG是AB边上的高。证明：CG=DEDF。,已知：如图，以矩形ABCD的顶点A为顶点，以AD为角平分线作两射线，分别与BC与CD的延长线交于点E和F，连结EF。求证：.,又如四中这次提招中有这么一道题,连A,D.由等积关系易知DF=2DE,设DE=x,则DF=2x,由勾股定理易得,X=1,从而得到EF的,平方为5,算出EF.,已知矩形,ABCD,和点,P,，当点,P,在图1中的位置时，则有结论： 。 理由：过点,P,作,EF,垂直,BC,，分别交,AD,、,BC,于,E,、,F,当点,P,分别在图2、图3中的位置时，上面三个三角形的面积又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明,（丽水08）.如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线X=2与X轴相交于点B，连结OA，抛物线Y=X2从点O沿OA方向平移，与直线X=2交于P点，顶点M到点A时停止移动,（1）求线段OA所在直线的函数解析式；,（2）设抛物线顶点M的横坐标为m,用m的代数式表示点P的坐标；,当m为何值时，线段PB最短；,（3）当线段PB最短时，相应的抛物线,上是否存在点Q，使 PMA 的面积与,QMA的面积相等，若存在，请求出,点Q的坐标；若不存在，请说明理由,直角三角形通过怎样的剪切可以拼成一个与之面积相等的矩形 ？任意的三角形呢？,对任意四边形，你能设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形吗？,用等积变换来分割拼图,用等积变换来分割拼图,分割图形的应用很多。如下图，大家应该非常熟悉了，在此不在赘述。,谢谢同仁！,
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