弧长曲线公式

YANGZHOU UNIVERSITY,YANGZHOU UNIVERSITY,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章,积分学,定积分二重积分三重积分,积分域,区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对弧长的曲线积分,第十章,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,弧段为,AB,其线密度为,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,可得,为计算此构件的质量,1.引例,:,曲线形构件的质量,采用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,是空间中一条有限长的光滑曲线,义在,上的一个有界函数,都存在,上,对弧长的曲线积分,记作,若通过对,的,任意分割,局部的,任意取点,2,.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为,被积函数，,称为,积分弧段 .,曲线形构件的质量,和对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果,L,是,xoy,面上的曲线弧 ,如果,L,是闭曲线 , 则记为,则定义对弧长,的曲线积分为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,(1) 若在,L,上,f,(,x,y,),1,(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?,否!,对弧长的曲线积分要求 d,s, 0 ,但定积分中,d,x,可能为负.,3. 性质,（,k,为常数),(,由 组成),(,l,为曲线弧,的长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,转 化,定理:,且,上的连续函数,证,:,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,根据定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,因此积分限必须满足,(2) 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果曲线,L,的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广,:,设空间曲线弧的参数方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,计算,其中,L,是抛物线,与点,B,(1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点,O,(0,0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,计算半径为,R,中心角为,的圆弧,L,对,于它的对称轴的转动惯量,I,(设线密度,=,1).,解:,建立坐标系如图,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,计算,其中,L,为双纽线,解:,在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,计算曲线积分,其中,为螺旋,的一,段弧.,解:,线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,计算,其中,为球面,被平面 所截的圆周.,解:,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,例5中,改为,计算,解:,令, 则,圆,的形心在原点, 故, 如何,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,计算,其中,为球面,解:,化为参数方程,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,有一半圆弧,其线密度,解,:,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的,引力.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 定义,2. 性质,(,l,曲线弧,的长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 已知椭圆,周长为,a, 求,提示:,原式 =,利用对称性,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,设均匀螺旋形弹簧,L,的方程为,(1) 求它关于,z,轴的转动惯量,(2) 求它的质心 .,解:,设其密度为,(常数).,(2),L,的质量,而,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,故重心坐标为,作业,P131 3,(3) , (4) , (6) , (7),5,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,P131 3,(3) , (4) , (6) , (7) ,5,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,作业,备用题,1.,设,C,是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界, 求,提示:,分段积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,L,为球面,面的交线 ,求其形心 .,在第一卦限与三个坐标,解:,如图所示 , 交线长度为,由对称性 , 形心坐标为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,