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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,(1),定义,3.4.1 函数的最值,最值的定义,如果函数f（x）在其定义域a，b上的函数值满足,其中 则称 为函数的最小值， 为函数的最大值。,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,3.4 函数的最值与导数在经济中的应用,(1),定义,3.4.1 函数的最值,我们知道，连续函数 在闭区间 上一定存在最大值和最小值，且最大值和最小值只可能在区间 内的极值点和端点处得到因此可直接求出一切可能的极值点（驻点及个别不可导点）和端点处的函数值，比较这些数值的大小，即可得出函数的最大值和最小值。,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(2),引子,3.4.1 函数的最值,如果函数 在 上单调增加，则函数的最大值,和最小值分别是什么？,?,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(2),引子,3.4.1 函数的最值,如图所示，如果在,上单调增加，则函,数的最小值是，,最大值是。,x,y,o,a,b,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(2),引子,3.4.1 函数的最值,如果函数 在 上单调减少，则函数的最大值,和最小值分别是什么？,?,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(2),引子,3.4.1 函数的最值,如右图所示，如果在,上单调减少，则函,数的最小值是，,最大值是。,x,y,o,a,b,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(2),引子,3.4.1 函数的最值,在什么情况下函数 的极大值一定是最大值，在什么情,况下函数 的极小值一定是最小值,?,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(2),引子,3.4.1 函数的最值,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,如果连续函数 在,上仅有一个极大值而,没有极小值，则此极大值就,是 在 上的最大值，,如右图所示。,x,y,o,a,b,x,0,f,(,x,0,),(2),引子,3.4.1 函数的最值,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,如果连续函数 在,上仅有一个极小值而,没有极大值，则此极小值就,是 在 上的最小值，,如右图所示。,x,y,o,a,b,x,0,f,(,x,0,),(3),举例,3.4.1 函数的最值,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,例,求函数 在上的最值。,解：,因为,令,得驻点,（不合题意舍去）,由于,比较各值，,得函数的最大值为,最小值为,(3),举例,3.4.1 函数的最值,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,例,求函数 在上的最大值和最小值。,解：,因为,显然 与 是 的不可导点，令 ，,得驻点为 ，,比较各值，得函数最大值为 ，最小值为 。,(4),训练题一,3.4.1 函数的最值,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,1 . 求函数 在 上的最大值和最小值。,答案：最大值f（-1）=10，最小值f（3）=-22,(1),举例,3.4.2 最值在经济问题中的应用举例,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,设某产品的总成本函数为 （元）（为产品的产量），求当产量为多少时，该产品的平均成本最小，并求最小平均成本？,解：,该产品的平均产品函数为,令 ，即,求得唯一驻点 ，,所以 在 处取得最小值，最小值为,例,又因为,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(2),训练题二,3.4.2 最值在经济问题中的应用举例,1. 设某产品的价格与需求的关系为 ，总成本函数 （元），求当产量和价格分别是多少时，该产品的利润最大，并求最大利润,答案：当产品为250个单位，价格为175元/单位时，,利润最大，最大利润为16950元,(1),定义,3.4.3 导数在经济分析中的应用,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,1.边际与边际分析,定义3.2,边际函数 反映了函数 在点 处的变化率。,设函数 在点 处可导，则导函数 称为函数 的边际函数。 也称为函数在 处的边际函数值。,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(1),定义,3.4.3 导数在经济分析中的应用,1.边际与边际分析,因为 ，当 ， 时有,因此，函数 在点 处的边际函数值的具体意义是，,当 在点 处改变一个单位时，函数 近似地改变,个单位。,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(2) 举例,3.4.3 导数在经济分析中的应用,1.边际与边际分析,例,求函数 在点 处的边际函数值。,解:,即边际函,数值为14。,它表示函数在 处，当 改变一个单位时，函数近似地改变14个单位。,因为,所以,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(1),定义,3.4.3 导数在经济分析中的应用,2.边际函数在经济学中的应用,边际需求的定义,设需求函数 在点 处可导（其中 为需求量，为价格），则其边际函数 称为边际需求函数。简称边际需求。,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(1),定义,3.4.3 导数在经济分析中的应用,边际供给的定义,若供给函数 在点 处可导（其中 为供给量，为价格），则其边际函数 称为边际供给函数。简称边际供给。,2.边际函数在经济学中的应用,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(1),定义,3.4.3 导数在经济分析中的应用,边际成本的定义,设成本函数 可导（其中 表示总成本， 表示产量），则其边际函数 称为边际成本函数，简称边际成本。 称为当产量为 时的边际成本。,其经济意义为：当产量达到 时，如果增减一个单位产品，则成本相应增减个单位。,2.边际函数在经济学中的应用,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(1),定义,3.4.3 导数在经济分析中的应用,边际收益的定义,设收益函数 可导（其中 表示收益，表示商品销售量），则其边际函数 称为边际收益函数，简称边际收益。,称为当商品销售量为 时的边际收益。,经济意义：销售量达到 时，如果销售量增减一个单位产品，则收益相应增减个单位。,2.边际函数在经济学中的应用,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(1),定义,3.4.3 导数在经济分析中的应用,边际利润的定义,设利润函数 可导，则其边际函数 称为边际利润。称为当产量为 时的边际利润。,经济意义：当产量达到 时，如果增减一个单位产品，则利润相应增减 个单位。,2.边际函数在经济学中的应用,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(2),举例,3.4.3 导数在经济分析中的应用,2.边际函数在经济学中的应用,例,设总成本函数 （元），求： 边际成本函数； 生产50个单位时的平均单位成本，和边际成本值，并解释后者的经济意义。, q=50时的平均单位成本为, 边际成本函数为,解：,q=50时的边际成本为,经济意义：当生产达到50个单位产品时，如果再多生产1个产品所最加的成本为17.5元。,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(3),训练题三,3.4.3 导数在经济分析中的应用,2.边际函数在经济学中的应用,某工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本C（元）是日产量x（吨）的函数：,求当日产量为100吨时的边际成本，并解释经济意义。,答案：,边际成本：,经济意义是：当产量是100吨时，每增加1吨产量，成本增加9.5元。,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(1),定义,3.4.3 导数在经济分析中的应用,3.弹性函数,定义3.3,设函数 在点 处可导，称极限 为函数的弹性函数，记为 ，即,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(1),定义,3.4.3 导数在经济分析中的应用,3.弹性函数,在点 处，弹性函数值 称为函数,在点 处的弹性值，简称弹性。它表示在点 处，当,变动1%时， 的值近似地变动 。,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(2),举例,3.4.3 导数在经济分析中的应用,3.弹性函数,例,设函数 ，求其弹性函数以及在 处的弹性。,解：因为,所以弹性函数,于是，,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(1),定义,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,定义3.4,设需求函数 在 处可导，则,称为该商品在 处的需求弹性，记作 或 ，即,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(1),定义,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,定义3.5,设供给函数 在 处可导，则,称为该商品在 处的供给弹性，记作 或 ，即,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(2),举例,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,例,设某商品的需求函数为 ，求, 需求弹性函数；, 时的需求弹性，并说明其经济意义；, 时，价格上涨1%，其总收益增加还是减少？变化的幅度是多少？, 当 取多少时，总收益最大？,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(2),举例,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性, 需求弹性函数：,解：因为需求函数为,，总收益函数为, 当p=4时的需求弹性,这说明，在p=4时，价格每上涨1%，则需求减少0.54%；而价格若下降1%,则需求增加0.54%。,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(2),举例,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,解：, 当p=4时的收益弹性：,所以，当P=4时，价格上涨1%，总收益增加0.46% 。, 要使总收益R（p）最大，应有需求弹性 ，即,得p=5，p=-5（舍去），故当p=5时，总收益取得最大值。,3.4 函数的最值与,导数在经济中的应用,(3),训练题四,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,1. 设某商品的供给函数为s=2+3p，求供给弹性函数以及p=3 时的供给弹性,2. 某产品的销售量x与价格p之间的关系式为 ，求需求弹性。如果价格为0.5，试确定此时需求弹性的值。,答案：1.,2.,
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