近代量子力学疑难问题课件

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,近代量子力学疑难问题,专题讲座,张 永 德,中国科学技术大学近代物理系,1,第 二 讲,无限深方阱中粒子,动量波函数的争论,2,目 录,一，,Pauli,和,Landau,的矛盾“量子力学的,数学是错的”？！,二，无限深方阱模型及基态动量波函数,1）无限深方阱模型,2）两种基态动量波函数表达式,三，矛盾分析与结论,四，设想实验的佐证,五，问题的根源,附录,3,一， Pauli 和 Landau 的矛盾 “量子力学的数学是错的”？ ！,最简单的势阱束缚态模型，一种近似数学模写：,势能不可能真为无限大，也不会严格的阶跃。,此模型的动量波函数先由Pauli，后由Landau等人给出了,不同的结果。此后，这个模型动量波函数及其衍生问题先在国,外少数学者中有过讨论，接着被引进国内。近数年有过不大不,小的争论，并还导致严重误解：,“,中国数学家挑战物理学,量子力学逻辑自相矛盾,”,“文汇报”1997年12月10日，,头版重要通讯报导,。,以及不少文章、著作对量子力学的否定或曲解。,4,5,二，无限深方阱模型及基态动量波函数,1）无限深方阱模型,相应的一维,Schrdinger,方程,，,Schrdinger,方程,应当定义在整个,x,轴上。分为三个区域 ：,第,I,、,III,区,V(x)=+,。,边界条件,(x),0 (|,x,|a),；,求解坐标波函数只需对第,II,区进行。,有时这种边界条件被简单地写为,(x),0 (|,x,|=a),。这时,对阱外情况未作规定，提法含混。矛盾即源生于此处,7,：,坐标波函数边条件这两种不同提法，不影响求,解阱内坐标波函数，但却影响阱内粒子动量波函数！,6,阱中粒子能级和波函数为,将正弦波函数,n,(x),用复指数表示，并近似配以,exp(-iE,n,t/h),仅就阱内说，阱中粒子波函数是两个反向传播的de Broglie行,波叠加而成的驻波，类似于两端固定的一段弦振动。,但这种说法虽然形象却是近似的！ 因为这两个行波,仅仅,存在于有限区间,-a, a,内，,有限长度光波波列不会是严格单色波（5，也见4）,。,7,2）两种基态动量波函数表达式,坐标波函数边界条件设定的分歧,Landau,和,Pauli,等人给出了不同结果。由此引发了混乱。,Pauli,等人求解,1、2,。求解,基态粒子的动量波函数,1,(,p,),时，直接采用前面,n=1,基态两个“单色波”的两个“动量”。,表明：阱中粒子动量谱是两个（此式实际对应全实轴相向运,动的）单色,de Broglie,波叠加而成的驻波。,8,L.D,.,Landau,等人,做法,3、5,：将上面定义在全实轴上的,基态坐标波函数作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒,子的动量波函数,1,(,p,),：,代入,1,(,x,),表达式，注意阱外,1,(,x,),为零，即得阱中粒子动量,概率是连续分布,两种结果很不同！ 那个正确？！,两个都对？ 两个都错？,按几年来文献讨论情况，4 种观点全有表述，分歧明显、争,论热烈 6,。,9,三，矛盾分析与结论7,按QM基本原理，波函数、动量算符及,Schrdinger,方程,都应当定义在整个（空间）实轴上，而不是只定义在（有限,空间的）势阱内。事实上，,正确的边界条件应当是,(x,),0(|,x|,a,),；,而不是,(x,),0(|,x|=a,),。,如果相反，认为边界条件可以用后者，并认为物理量算符,可以“只”定义在势阱,|x|a,内，这不仅会给QM基本原理解,释以及很多算符（比如，动量算符及相关的动能算符、轨道,角动量算符等）厄密性、完备性带来许多不必要的混乱和麻,烦，理论处理很烦琐；而且动量波函数的解有两种了结果！,边界条件的两种不同提法，对求解阱内坐标波函数没甚么,影响，因为阱内坐标波函数是定域解； 但对求解阱内粒子的,动量波函数却有影响。,10,问题的关键是：,不象坐标波函数是定域的，,动量波函数是非定域的,！,即,阱内动量波函数分布不仅仅依赖于阱,内坐标波函数的形状，而且依赖于阱外,坐标波函数的形状。换句话说，它还取,决于对阱外坐标波函数的处理坐标,波函数边界条件的正确拟定。,11,Pauli,错误处理了阱外坐标波函数：由于并不影响阱内坐,标波函数求解，含糊的“两端点为零”边界条件被下意识地推,广为“周期零点”边界条件，得到了坐标波函数的周期解。,Pauli,解,正是此周期解的动量分布这等于将阱内坐标波函,数向全实轴作了周期性延拓。此周期解的阱外部分显然不符合,现在阱外要求，其动量分布当然也就不符合阱内现在问题。,可证（见后面附录）：,当,比值 很大（或,n,很大）向经典趋近时，,Landau,解将,逐渐演变为,Pauli,解,。这充分说明,Pauli,解是对大阱宽、高激发态时的近似解,。,显然，指数上的量,n,h/2a,也不是严格的物理动量（特别,当,a,或,n,较小时）。,12,四，设想实验的佐证,一块无穷大并足够厚的,平板，取厚度方向为,z,轴，板,上沿,y,方向开一条无限长的缝，,沿x轴的缝宽为,2,a,。电子束由,板的下方入射。分离掉电子,在,y,和,z,方向的自由运动，单,就电子在,x,方向运动而言，,便是一个（沿x方向）无限深方阱问题。在板上方放一接收,电子的探测屏，观察狭缝穿出的电子在此探测屏上沿x方向,的偏转，偏转大小将和电子在,x,方向的动量,p,x,数值有关。由,此知：,如a 值较小,，必定是一个单缝衍射分布,。,只当,a,值较大向宏观过渡时，分布才逐渐过渡到两条（平行,y,轴的）细线。,13,五，问题的根源,无限深阱问题只是个模型而已。此模型中用到位势,的突变和无穷高势垒假设。,其实，物理学中许多常用的,数学和物理概念，如：质点、无头无尾巴的平面波、其,小无内的点、其大无外的,，等等，都只是一些人为抽,象出来的、理想化的、绝对化的概念。虽然用起来时常,是简便的，但其实它们在自然界中并不真实存在，有时,甚至还会惹出麻烦。,Henri Poincare,说：,几何点其实是人的幻想,。甚至,说：“,几何学不是,真实的，但是有用的,。,”,8,14,按照他对几何学的深刻认识，我们也可以说,：,V,= 不是真实的，但是有用的,。,从思想方法来说，全部困惑的根源正在此处：将势,垒,V,= ,这件事看成是物理真实的了。对它过度的,执着干扰了我们对实际物理问题的认识，并且带来,许多不必要的困惑和烦恼。,文小刚,也,说,9,：,理论物理中的很多概念并不代表真实,。,所以，,每当遇到由数学简单化、绝对化带来问,题的时候，注重物理、返回自然界的物理真实，再,行考察。记住这点有时是很重要的。,15,附录,当 时，,Landau,结果趋近于,Pauli,结果,证：利用 -函数的一个表达式：,由,Landau,结果出发(注意最后极限时 )：,16,参考文献,1,W. Pauli,，,Handbuch der Physik,eds. by H. Geiger,and,K. Scheel,Vol,.,24/1,Springer, Berlin, 1933,。 中译本,“Pauli物理学讲义”，第五卷：波动力学,。洪铭熙等,译，人民教育出版社，1983年。他于1956-1958年在苏黎世,联邦工业大学物理学位课程两次授课中，依然如此讲法。,2,L.N.Cooper,物理世界（上、下）,，杨基方等译，海洋,出版社，1984。第184页，,3,.,朗道,，,E.M.,栗弗席茨，,非相对论量子力学,，俄,文第一版为,1947,年。,4,W. Pauli,，,“Pauli物理学讲义”，第五卷：波动力学,。,洪铭熙等译，人民教育出版社，1983年。第15页及注1。,5,Fermi,于1954年所写的,量子力学讲稿,，罗吉庭译，西,安交大出版社，1984。 第60-61页。,17,6,国内自,1983.6起,，见大学物理、光子学报等杂志：,一维无限深势阱内粒子的动量分布,，两篇文章，,1994，7,；,关于同一问题的不同解法,； ,编者的话,； ,谈谈量子力学中的动量算符,； ,也谈正则动量算符之争,； ,编者的话,； ,也谈一维无限深势阱内粒子（基态）的动量概率分布, ，,1998，7,；,关于量子力学基础的一个质疑,，光子学报，,1997，9,；,也谈量子力学的基础,，光子学报，,1998，4,；,。,7,张永德，,量子力学,，科学出版社，2004。,8,Henri Poincare,，,科学与假设,，科学出版社，,1989,。第,63、65,页。,9,文小刚，,量子多体理论,，高教出版社,，2005。,第,19页,18,谢谢！,19,