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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,SUMMER TEMPLATE,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,傅里叶函数习题,傅里叶函数习题傅里叶函数习题习题课级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数,展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法 第十一章 (在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数) 时,时为数项级数;时为幂级数;机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,若级数,均收敛 , 且,证明级数,收敛 .,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,练习题:,P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示:,P257,题2,. 判别下列级数的敛散性:,提示:,(1),据比较判别法, 原级数发散 .,因调和级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用比值判别法, 可知原级数发散.,用比值法, 可判断级数,因,n,充分大时,原级数发散 .,用比值判别法可知:,时收敛 ;,时, 与,p,级数比较可知,时收敛;,时发散.,再由比较法可知原级数收敛 .,时发散.,发散,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P257 题3.,设正项级数,和,也收敛 .,提示:,因,存在,N, 0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.,都收敛, 证明级数,当,n N,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P257 题4.,设级数,收敛 , 且,是否也收敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛 .,问级数,提示:,对,正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛 ,收敛,级数,发散 .,例如, 取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P257 题5.,讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示:,(1),P,1,时, 绝对收敛 ;,0 ,p,1,时, 条件收敛 ;,p,0,时, 发散 .,(2) 因各项取绝对值后所得强级数,原级数绝对收敛 .,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因,单调递减, 且,但,所以原级数仅,条件收敛,.,由Leibniz判别法知级数,收敛,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因,所以原级数绝对收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数: 先求收敛半径,R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,P257 题7,. 求下列级数的敛散区间:,练习:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,当,因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .,故收敛区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,解:,分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在, 原级数 =, 其收敛半径,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,难,直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值,求部分和等,初等变换法: 分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数,求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,求幂级数,法1,易求出级数的收敛域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解:,(1),显然,x,= 0,时上式也正确,故和函数为,而在,x,0,P258 题8,. 求下列幂级数的和函数：,级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,x,= 0,时, 和为 0 ;,根据和函数的连续性 , 有,x,=,1,时,级数也收敛 .,即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解:,原式=,的和 .,P258 题9(2),. 求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、函数的幂级数和付式级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习:,1.,将函数,展开成,x,的幂级数., 利用已知展式的函数及幂级数性质, 利用泰勒公式,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 函数的幂级数展开法,2.,设, 将,f,(,x,)展开成,x,的幂级数 ,的和.,( 01考研 ),解:,于是,并求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 函数的付式级数展开法,系数公式及计算技巧;,收敛定理;,延拓方法,练习:,上的表达式为,将其展为傅氏级数 .,P258 题11,. 设,f,(,x,)是周期为2,的函数,它在,解答提示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,如何利用本题结果求级数,根据付式级数收敛定理 , 当,x,= 0 时, 有,提示:,P257 6,(2),; 7,(3),; 8,(2),(3) ;,9,(1) ;,10,(1) ;,12,作业,机动 目录 上页 下页 返回 结束,谢谢！,21,、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。,培根,22,、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。,韩愈,23,、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。,马克思,24,、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。,莎士比亚,25,、学习是劳动，是充满思想的劳动。,乌申斯基,供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎,(,讲课,2019),脊髓灰质炎,(,讲课,2019),
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