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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二重积分的概念及计算,二重积分的概念及计算,主要内容：,二重积分的定义,。,二重积分的性质,。,直角坐标系下二重积分的计算,。,主要内容：二重积分的定义。,一、二重积分的概念,1.,曲顶柱体体积,曲顶柱体的体积可以这样来计算,:,设,z = f,(,x,y,),是定义在可求面积的有界闭区域,D,上的非负连续函数。,称以曲面,z = f,(,x,y,),为顶，,xy,面上的区域,D,为底，,以通过区域,D,的边界且平行于,z,轴的柱面为侧面的柱体为,曲顶柱体,。,用任意平行于坐标轴的直线网将区域,M,分成,n,个小区域,i,以,i,表示第,i,个小区域,i,的面积。,则直线网把所求的曲顶柱体分成,n,个小的曲顶柱体，,在,i,内任取一点,(,i,i,),，,以,f,(,i,i,),为高的小平顶柱体体积为,f,(,i,i,) ,i,，,当,i,的直径足够小，,即分割无限细时，,f,(,i,i,) ,i,就近似等于以,i,为底的小曲顶柱体的体积。,从而有：,一、二重积分的概念1.曲顶柱体体积曲顶柱体的体积可以这样来计,如右图所示：,令,=max,d,i,|,d,i,为,i,的直径,，,0,时，,若,极限存在，,其极限值就是曲顶柱体体积,，,即,此类和式极限问题在物理学和工程技术中经常遇到，,称为二重积分问题。,下面给出二重积分定义：,如右图所示：令=maxdi | di为i的直径，,2.,二重积分的定义,即,设,z = f,(,x,y,),是有界闭区域,D,上的二元函数,将区域,D,任意分成个,n,小区域,(,简称子域,),i,，,以,i,表示第,i,个子域,i,面积。,在每个,i,上任取一点,(,i,i,),，,作和式 。,如果当各子域的直径中的最大,值趋于零时，,此和式的极限存在，,则称此极限为函数,z = f,(,x,y,),在闭区域,D,上的,二重积分,，,记作 ，,叫做,积分和,。,其中,z = f,(,x,y,),叫做,被积函数,f,(,x,y,),d,叫做,被积表达式,d,叫做,面积元素,x,与,y,叫做,积分变量,D,叫做,积分区域,称为,二重积分号,2.二重积分的定义 即设z = f (x, y)是有界闭区域,与被积函数和积分区域有关。,二重积分也可记为,有界闭区域上的连续函数一定可积。,注,1:,二重积分与积分与区域,D,的分法无关，,与,(,i,i,),点取法无关，,注,2,：,注,3,：,与被积函数和积分区域有关。二重积分也可记为有界闭区域上的连续,二、二重积分的性质,(4),如,f,(,x,y,),g,(,x,y,),且都可积，,(5),若,f,(,x,y,),可积，则,|,f,(,x,y,)|,可积，,二、二重积分的性质 (4) 如f (x, y)g (,(,其中,是积分区域,D,的面积,),(6),若,f,(,x,y,),在,D,上可积，,(7),二重积分的中值定理,设函数,f,(,x,y,),在闭区域,D,上连续,在圆域,1,x,2,+,y,2, 4,上根据中值定理有关系：,且,m,f,(,x,y,),M,，,则,则在,D,上至少存在一点,(,),是,D,的面积,使得,例如：,(其中是积分区域D的面积)(6)若f (x, y)在D上可,三 二重积分的计算方法,1.,矩形区域上的二重积分,设,f,(,x,y,),在矩形区域 上是连续且可积，,解：,则有,= 43,三 二重积分的计算方法 1.矩形区域上的二重积分设f (x,2.,一般区域的的二重积分：,(1),积分区域,D,为,X,型,：,1,(,x,),2,(,x,),在区间,a,b,上连续。,则,(2),积分区域,D,为,Y,型,：,1,(,y,),2,(,y,),在区间,c,d,上连续。,X,型区域的特点：,穿过区域且平行于,y,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,Y,型区域的特点：,穿过区域且平行于,x,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,.,2.一般区域的的二重积分： (1)积分区域D为X型： ,X,型区域,图示：,Y,型区域,图示：,然后利用积分区域可加性求之。,若积分区域,D,既不是,X,型区域，,又不是,Y,型区域，,则可把,D,分成几部分，,使每个部分是,X,型区域或是,Y,型区域,，,X型区域 图示：Y型区域 图示：然后利用积分区域可加性求之。,解：,例,5,计算 ，其中,D,是由直线,y,=,x,y,= 1,与,x,= 0,所围成的区域。,解：,易求出由直线,y,=,x,y,= 1,与,x,= 0,交点坐标为,A,(1,1),B,(0,1),C,(0,0),若先对,y,积分，,显然 无法积分，,因此先对,x,积分,解：例5 计算 ，其中D是由,例,6,计算,，其中,D,是由直线,y,= 2,x,x,= 2,y,与,y,= 3 ,x,所围成的区域,。,可将区域划分分两个子区域积分：,解：,例6 计算 ，其中D是由直线 y = 2,改变积分 的次序。,解：,有时借助图形较方便。,补充例题,注意：,在化二重积分为二次积分时，,为了计算简便，,需要选择恰当的二次积分的次序。,这时，,即要考虑积分区域,D,的形状，,又要考虑被积函数,z =,f,(,x,y,),的特性。,解决此类问题，,改变积分,小结：,1.,二重积分定义。,2.,二重积分性质。,3.,直角坐标系下二重积分的计算。,(1),矩形区域上的积分。,(2)X,型区域上的积分。,(3)Y,型区域上的积分。,小结：1.二重积分定义。2.二重积分性质。3.直角坐标系下二,
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