点线面投影（改）课件

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第3章 点、直线、平面的投影,3.1 点的投影,3.2 直线的投影,3.3 平面的投影,3.4 直线与平面及两平面的,相对位置,本章小结,结束放映,第3章 点、直线、平面的投影 3.1 点的投影 3.2,1,P,b,A,P,采用多面投影,。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,B,3,B,2,B,1,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,3.1,点的投影,解决办法？,PbAP采用多面投影。 过空间点A的投射线与投,2,H,W,V,二、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正,面或V面）,水平投影面（简称水,平面或H面）,侧面投影面（简称侧,面或W面）,投影轴,O,X,Z,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,Y,HWV二、点的三面投影投影面正面投影面（简称正水平投影面,3,W,H,V,O,X,Z,Y,空间点A在三个投影面上的投影,a,点A的正面投影,a,点A的水平投影,a,点A的侧面投影,注意：,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,a,a,a,A,WHVOXZY空间点A在三个投影面上的投影a点A的正面投影,4,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,x,a,a,z,a,y,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,W,V,H,a,a,x,a,z,Z,a,a,y,a,y,a,X,Y,Y,O,XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不,5,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:,a,a,OX,轴,aa,x,=,a,a,x,=,aa,y,=,x,a,a,z,a,y,Y,Z,a,z,a,X,Y,a,y,O,a,a,x,a,y,a,a,a,OZ,轴,=y,=,A,a,（,A,到V面的距离）,a,a,z,=x,=,A,a,（A,到W面的距离,）,a,a,y,=z,=,A,a,（,A,到H面的距离,）,a,a,z,XYZOVHWAaaa点的投影规律: aa,6,点线面投影（改）课件,7,点线面投影（改）课件,8,( ),a,c,c,空间两点在某一投影面上的,投影重合为一点,时，则称此两点为,该投影面,的重影点。,a,a,c,被挡住的投影加,( ),A、C为哪个投影面的重影点呢？,A、C为H面的重影点,重影点：,( )a cc 空间两点在某一投影面上的投影重合,9,结束？,继续？,结束？继续？,10,a,a,a,b,b,b,两点确定一条直线，将两点的,同名投影,用直线连接，就得到直线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,B,A,a,b,直线垂直于投影面,投影重合为一点,积 聚 性,直线平行于投影面,投影反映线段实长,ab,=,AB,直线倾斜于投影面,投影比空间线段短,ab,=,AB,.cos,A,B,a,b,A,M,B,a,b,m,3.2 直线的投影,aa abbb 两点确定一条直线，,11, 直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,平行于某一投影面而,与其余两投影面倾斜,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般,位置,直线,与三个投影面都倾斜的直线,统称特殊,位置,直线,垂直于某一投影面,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。, 直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面,12,投影面平行线,X,Z,b,a,a,a,b,b,O,Y,Y,水平线,实长,在其平行的那个投影面,上的投影反映实长，并,反映直线与另两投影面,倾角的实大。,另两个投影面上的投影,平行于相应的投影轴，,其到相应投影轴距离反,映直线与它所平行的投,影面之间的距离。,投影特性：,V,H,a,b,A,a,a,B,b,b,W, 投影面平行线XZbaaabbOYY水平线实长,13,判断下列直线是什么位置的直线？,侧平线,正平线,与H面的夹角,:,与V面的角:,与W面的夹角:,实长,实长,b,a,a,b,a,b,b,a,a,b,b,a,直线与投影面夹角的表示法：,判断下列直线是什么位置的直线？侧平线正平线与H面的夹角:,14,反映线段实长，且垂直,于相应的投影轴。,投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,另外两个投影,，,在其垂直的投影面 上，,投影有积聚性,。,投影特性:,a,b,a,(,b,),a,b,c,(,d,),c,d,d,c,e,f,e,f,e,(,f,),反映,15, 一般位置直线,Z,Y,a,O,X,a,b,b,a,Y,b,三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。,投影特性,H,a,a,A,b,V,B,b,W,a,b, 一般位置直线ZYaOXabbaYb 三个投,16,c,a,c,X,a,b,c,Y,Y,b,O,a,Z,b,c,A,H,a,c,a,V,b,B,a,b,c,C,b,W,二、,直线与点的相对位置,若点在直线上, 则点的投影必在直线的,同名投影,上。,点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：,AC:CB=,ac,:,cb,=,a,c,:,c,b,=,a,c,:,c,b,定比定理,cacXabcYYbOaZbcAHacaVbBa,17,例,1,：判断点C是否在线段AB上。,c,a,b,c,a,b,a,b,c,a,b,c,在,不在,a,b,c,a,a,b,c,b,c,不在,应用定比定理,另一判断法?,例1：判断点C是否在线段AB上。cabcabab,18,例,2,：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：,（应用第三投影）,解法二：,（应用定比定理）,a,a,b,b,k,a,b,k,k,a,a,b,b,k,k,例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。解法一：解法二：,19,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：,平行,、,相交,、,交叉（异面）,。, 两直线平行,空间两直线平行，则其各,同名投影,必相互平行，反之亦然。,b,c,d,H,A,d,a,C,c,V,a,D,b,B,a,c,d,b,c,d,a,b,O,X,三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为： 两直线平行,20,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,a,b,c,d,c,b,a,d,d,b,a,c,b,d,c,a,a,b,c,d,c,a,b,d,例：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，只要,21, 两直线相交,若空间两直线相交，,则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性,。,交点是两直线的共有点,a,c,V,X,b,H,D,a,c,d,k,C,A,k,K,d,b,O,B,c,a,b,d,b,a,c,d,k,k, 两直线相交 若空间两直线相交，则其同名投影必相交，,22,c,d,k,k,d,例,1,：过C点,作水平线,CD与AB相交。,先作正面投影,a,b,b,a,c,cdkkd例1：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面,23,例,2,：判断直线AB、CD的相对位置。,c,a,b,d,a,b,c,d,相交吗？,不相交！,为什么？,交点不符合空间一个点的投影特性。,判断方法？, 应用定比定理, 利用侧面投影,例2：判断直线AB、CD的相对位置。cabdabcd,24, 两直线交叉,为什么？,两直线相交吗？,不相交！,交点不符合一个点的投影规律！,c,a,c,a,b,d,d,b,O,X,a,c,c,A,a,C,V,b,H,d,d,D,B,b, 两直线交叉为什么？两直线相交吗？不相交！ 交点不符,25,a,c,c,A,a,C,V,b,H,d,d,D,B,b,c,a,c,a,b,d,d,b,O,X,1(2),2,1,投影特性,：, 同名投影可能相交，但,“交点”,不符合空间一个点的投影规律,。,“交点”,是两直线上的一 对,重影点的投影,，用其可帮助判断两直线的空间位置。,2,1,1(2),4,3(4 ),3,3(4 ),3,4,accAaCVbHddDBbcacabddbOX,26,结束？,继续？,结束？继续？,27,一、,平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,a,b,c,a,b,c,d,d,两平行直线,a,b,c,a,b,c,两相交直线,平面图形,c,a,b,c,a,b,c,a,b,a,b,c,b,a,c,a,b,c,3.3 平面的投影,一、平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点abca,28,二、平面的投影特性,垂直,倾斜,投 影 特 性,平面平行投影面投影就把实形现,平面垂直投影面投影积聚成直线,平面倾斜投影面投影类似原平面,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,平行,二、平面的投影特性垂直倾斜投 影 特 性平面平行投影面,29, 平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类,：,投影面垂直面,投影面平行面,一般,位置,平面,特殊,位置,平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，,垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,正垂面,侧垂面,铅垂面,正平面,侧平面,水平面, 平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分,30,c,c, 投影面垂直面,为什么？,是什么位置的平面？,a,b,c,a,b,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影为类似形。,cc 投影面垂直面为什么？是什么位置的平面？abca,31,a,b,c,a,b,c,a,b,c, 投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,abcabcabc 投影面平行面积聚性积聚性实,32,a,b,c,a,c,b,a,b,c, 一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,abcacbabc 一般位置平面三个投影都类似,33,a,c,b,c,a,a,b,c,b,例,：正垂面ABC与H,面的夹角为45，已知其水平投影,及顶点B的正面投影，求ABC的正面投影及侧面,投影。,思考：此题有几个解？,45,acbcaabcb例：正垂面ABC与H面的夹角,34,三、平面上的直线和点,位于平面上的直线应满足的条件：,平面上取任意直线,M,N,A,B,M,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,三、平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件： 平面上,35,a,b,c,b,c,a,d,d,例,1,：已知平面由直线AB、AC所确定，试在,平面内任作一条直线。,解法一：,解法二：,有多少解？,有无数解！,n,m,n,m,a,b,c,b,c,a,abcbca dd例1：已知平面由直线AB、AC所确,36,例,2,：在平面,ABC,内作一条水平线，使其到,H面的距 离为,10mm,。,n,m,n,m,10,c,a,b,c,a,b,唯一解！,有多少解？,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到nmnm10c,37,平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例,1,：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,b,a,c,a,k,b,c,面上取点的方法：,d,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,首先面上取线,k,a,b,c,a,b,k,c,k, 平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为,38,b,c,k,a,d,a,d,b,c,k,b,例,2,：已知AC为正平线，补全平行四边形,ABCD的水平投影。,解法一：,解法二：,c,a,d,a,d,b,c,bckadadbckb例2：已知AC为正平线，补全,39,d,e,d,e,10,10,m,m,例3：在ABC内取一点M，并使其到H面V面的,距离均为10mm。,b,c,X,b,c,a,a,O,dede1010mm例3：在ABC内取一点M，并,40,结束？,继续？,结束？继续？,41,3.4,直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括,平行,、,相交,和,垂直,。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,包括,直线与平面平行,若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。,3.4 直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和,42,n,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例,1,：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,有多少解？,d,d,nacbmabcmn例1：过M点作直线MN平行,43,正平线,例,2,：过M点作直线MN平行于V面和平面,ABC。,唯一解,c,b,a,m,a,b,c,m,n,n,d,d,正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面唯一解cb,44,两平面平行, 若一平面上的,两相交直线,分别平行于另一平面上的,两相交直线,，则这两平面相互平行。, 若两,投影面垂直面,相互平行，则它们,具有积聚性,的那组投影必相互平行。,c,f,b,d,e,a,a,b,c,d,e,f,f,h,a,b,c,d,e,f,h,a,b,c,d,e, 两平面平行 若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上,45,a,c,e,b,b,a,d,d,f,c,f,e,k,h,k,h,O,X,m,m,由于,ek,不平行于,ac,故两平面不平行。,例：判断平面,ABDC,与平面,EFHM,是否平行，,已知,ABCDEFMH,acebbaddfcfekhkhOXmm由,46,直线与平面相交，其,交点是直线与平面的共有点。,直线与平面相交,平面与平面相交,直线与平面相交,要讨论的问题：,求,直线与平面的,交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即,判别可,见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,二、相交问题,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。直线与平,47,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与,mn,的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，,KN段在平面前，故正面投影上,k,n,为可见。,还可通过重影点判别可见性。,作图,用线上取点法,平面为特殊位置,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,k,k,1,(,2,),2,1,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分,48,1,(,2,),k,m,(,n,),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故,k,2,为不可见,。,k,2,1,作图,用面上取点法,1(2)km(n)bmncbaac 直线为,49,两平面相交,两平面相交其交线为直线，,交线是两平面的共有线，,同时,交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求,两平面的,交线,方法：, 确定两平面的,两个共有点。, 确定,一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,判别两平面之间的相互遮挡关系，即：,判别可见性。, 两平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的,50,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m,(,n,),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为,正垂面,，它们的,交线为一条正垂线,，两平面,正面投影的交点即为交线的正面投影，,交线的水平投影垂直于OX轴,。,求交线,判别可见性,作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,n,m,能!,如何判别？,例：求两平面的交线,MN并判别可见性。,能否不用重影点判别？,可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbe,51,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m,(,n,),例：求两平面的交线,MN并判别可见性。,空间及投影分析,求交线,判别可见性,作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,m,n,平面ABC与DEF都为,正垂面,，它们的,交线为一条正垂线,，两平面,正面投影的交点即为交线的正面投影，,交线的水平投影垂直于OX轴,。,abcdefcfdbeam(n)例：求两平,52,a,a,b,d,(,e,),e,b,d,h,(,f,),c,f,c,h,1,(,2,),空间及投影分析,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与,ac,、,bc,的交点,m,、,n,即为两个共有点的水平投影，故,mn,即为交线MN的水平投影,。,求交线,判别可见性,点在MC上，点在FH上，,点在前，点在后，故,m,c,可见。,作图,2,1,m,m,n,n,aa bd(e)ebdh(f)cfch1(2,53,a,b,d,(,e,),e,b,d,h,(,f,),c,f,c,h,m,n,n,m,空间及投影分析,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与,ac,、,bc,的交点,m,、,n,即为两个共有点的水平投影，故,mn,即为交线MN的水平投影,。,求交线,判别可见性,点在MC上，点在FH上，,点在前，点在后，故,m,c,可见。,作图,abd(e)ebdh(f)cfchmnn,54,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影,n,位于,def,的外面，,说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。,所以ABC和DEF的交线应为MK。,n,n,m,k,m,k,互交,cdefababcdef投影分析 N点的,55,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影,n,位于,def,的外面，,说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。,所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,m,k,k,m,cdefababcdef投影分析 N点的,56,结束？,继续？,结束？继续？,57,a,b,c,a,b,c,直线为一般位置时,直线为特殊位置时,b,a,b,k,a,k,小 结,点、直线、平面的投影特性，尤其是,特殊位置直线,与平面的投影特性,。,重点掌握：,点、直线、平面的,相对位置的判断方法及投影特性,。,一、直线上的点,点的投影在直线的同名投影上。,点的投影必分线段的投影成定比定比定理。,判断方法:,abcabc 直线为一般位置时 直线为特殊位置时b,58,二、两直线的相对位置,平行,同名投影互相平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,a,b,c,d,c,a,b,d,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,c,b,d,d,b,a,c,a,二、两直线的相对位置 平行同名投影互相平行。 对于一,59,相交,交叉（异面）,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,c,a,b,b,a,c,d,k,k,d,c,a,b,d,a,b,c,d, 相交 交叉（异面） 同名投影相交，交点是两直线的,60,三、点与平面的相对位置,面上取点的方法:,b,a,c,a,k,b,c,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,a,b,c,a,b,k,c,三、点与平面的相对位置面上取点的方法:bacakb,61,四、直线与平面的相对位置,直线与平面平行,直线平行于,平面内,的一条直线。,直线与平面相交,投影面垂直线与一般位置,平面求交点，利用交点的,共有性和直线的积聚性，,采取平面上取点的方法求,解,。,一般位置直线与特殊位置,平面求交点，利用交点的,共有性和平面的积聚性，,采用直线上取点的方法求,解。,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,m,(,n,),b,m,n,c,b,a,a,c,四、直线与平面的相对位置 直线与平面平行 直线与平面相交,62,五、两平面的相对位置,两平面平行, 若一平面上的,两相交,直线,分别平行于另一,平面上的,两相交直线,，,则这两平面相互平行,。, 若两,投影面垂直面,相,互平行，则它们,具有,积聚性,的那组投影必,相互平行。,c,f,b,d,e,a,a,b,c,d,e,f,f,h,a,b,c,d,e,f,h,a,b,c,d,e,五、两平面的相对位置 两平面平行 若一平面上的两相交,63, 两平面相交, 两特殊位置平面相交，分,析交线的空间位置，有时,可找出两平面的一个共有,点，根据交线的投影特性,画出交线的投影。, 一般位置平面与特殊位置,平面相交，可利用特殊位,置平面的积聚性找出两平,面的两个共有点，求出交,线。,a,a,b,d,(,e,),e,b,d,h,(,f,),c,f,c,h,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a, 两平面相交 两特殊位置平面相交，分 一般位置平面与特,64,END,END,65,