导数与函数的极值最值课件

双基巩固,典型例题,易错辨析,提升训练,知识要点,双基巩固,典型例题,易错辨析,提升训练,知识要点,双基巩固,典型例题,易错辨析,提升训练,知识要点,双基巩固,典型例题,易错辨析,提升训练,知识要点,双基巩固,典型例题,易错辨析,提升训练,知识要点,双基巩固,典型例题,易错辨析,提升训练,知识要点,第三节导数与函数的极值、最值,第三节导数与函数的极值、最值,一、函数的极值,1,定义：设函数,f,(,x,),在点,x,0,附近有定义，如果对,x,0,附近所有的点，,都有,f,(,x,),f,(,x,0,),，就说,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),的一个极大值，记作,y,极大值,f,(,x,0,),；如果对,x,0,附近所有的点，都有,f,(,x,),f,(,x,0,),，就说,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),的一个极小值，记作,y,极小值,f,(,x,0,),极大值和极小值统称为极值,2,求函数,y,f,(,x,),在某个区间上的极值的步骤：,(1),求导数,f,(,x,),；,(2),求方程,f,(,x,),0,的根,x,0,；,(3),检查,f,(,x,),在方程,f,(,x,),0,的根,x,0,的左右,的符号；,“,左正右负,”,f,(,x,),在,x,0,处取极大值；,“,左负右正,”,f,(,x,),在,x,0,处取极小值,(,注：导数为零的点未必是极值点,),一、函数的极值1定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如,3,特别提醒：,(1),x,0,是极值点的充要条件是,x,0,点两侧导数异号，,而不仅是,f,(,x,0,),0,，,f,(,x,0,),0,是,x,0,为极值点的必要而不充分条件,(2),给出函数极大,(,小,),值的条件，一定要既考虑,f,(,x,0,),0,，又要考虑,检验,“,左正右负,”,(,“,左负右正,”,),的转化，这一点一定要切记！,(3),在求函数极值的步骤中，第二步，蕴含着比较根的大小问题，,第三步，通常总结成表,二、函数的最大值和最小值,1,定义：函数,f,(,x,),在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极,大值与其端点值中的,“,最大值,”,；函数,f,(,x,),在一闭区间上的最小值,是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的,“,最小值,”,3特别提醒：(1)x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异,2,求函数,y,f,(,x,),在,a,，,b,上的最大值与最小值的步骤：,求函数,y,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内的极值,(,极大值或极小值,),；,将,y,f,(,x,),的各极值,与,f,(,a,),，,f,(,b,),比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小,值,(,注：第一步中其实不必求出极值，只要找到导数为零点处的函,数值即可；闭区间上的连续函数必有最值,),3,特别提醒：,利用导数研究函数的单调性与最值,(,极值,),时，,要注意列表！,要善于应用函数的导数，考察函数单调性、,最值,(,极值,),，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等,相关问题,2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：,三、解决优化问题的基本思路,三、解决优化问题的基本思路,1,函数,f,(,x,),x,3,3,x,2,3,x,5,的极值点的个数是,(,),A,0,B,1 C,2 D,3,解析：,f,(,x,),3,x,2,6,x,3,3(,x,1),2,0,对,x,R,都成立，,f,(,x,),在,R,上是增函数，故无极值,答案：,A,1函数f(x)x33x23x5的极值点的个数是(,2,函数,f,(,x,),的定义域为,(,a,，,b,),，导函数,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内的图象如图所示，则函数,f,(,x,),在开区间,(,a,，,b,),内极小值点的个数为,(,),A,1,B,2,C,3,D,4,解析：,极值点在,f,(,x,),的图象上应是,f,(,x,),的图象与,x,轴的交点的横坐标，且极小值点的左侧图象在,x,轴下方，右侧图象在,x,轴上方，故函数,f,(,x,),只有一个极小值点,(,图中,B,点,),答案：,A,2函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在(a,答案：,D,答案：D,4,函数,f,(,x,),x,3,4,x,4,的极大值点是,_,解析,：,f,(,x,),x,2,4,(,x,2)(,x,2),，令,f,(,x,),0,得，,x,1,2,，,x,2,2.,当,x,2,时，,f,(,x,),0,，,2,x,2,时，,f,(,x,),0,，,f,(,x,),在,x,2,处取,得极大值,答案：,2,4函数f(x) x34x4的极大值点是_,答案：,3,答案：3,利用导数求函数极值、最值,【例,1,】已知,x,3,是,f,(,x,),x,3,ax,2,3,x,的极值点，求,f,(,x,),在,x,1,，,a,上的最小值和最大值,【思路点拨】,利用,x,3,是极值点进行求解,利用导数求函数极值、最值【例1】已知x3是f(x)x3,导数与函数的极值最值课件,x,1,3),3,(3,4,f(x),0,f(x),单调递减,极值,单调递增,x1,3)3(3,4f(x)0f(x)单调递减极值,解：,因,f,(,x,),x,2,4,ax,3,a,2,，且,0,a,1,，,当,f,(,x,),0,时，得,a,x,3,a,；当,f,(,x,),0,时得,x,a,或,x,3,a,.,f,(,x,),的单调递增区间为,(,a,3,a,),，单调递减区间为,(,，,a,),和,(3,a,，,),故当,x,3,a,时，,f,(,x,),有极大值，其极大值为,f,(3,a,),1.,解：因f(x)x24ax3a2，且0a1，,方法技巧：,（,1,）熟悉函数极值点叙述中的隐含条件,.,如“,f(x),在,x=a,时取得极大值,b”,即“,f(a)=0,，,f(a)=b”,；“,x=a,是函数,f(x),的极值点”也即“,f(a)=0”,；“,x=a,是,f(x),在,m,，,n,上的极值点，”也即“,f(a)=0,，或,x=a,是方程,f(x)=0,在,m,，,n,上的一个根”等,.,（,2,）求,f(x)=0,的根，列表呈现,x,在不同区间变化时，,f(x),的符号与函数,f(x),的函数值变化情况是求函数极值、最值的基本步骤，也是关键步骤；当方程,f(x)=0,的根中含有字母或给定区间端点处含有字母时，求解的基本步骤不变，只是增添了讨论或运算量增大了,.,方法技巧：（1）熟悉函数极值点叙述中的隐含条件.如“f(x),可化为讨论一元二次方程解的问题,【例,2,】已知函数,f,(,x,),x,3,3,ax,2,3,x,1.,(1),设,a,2,，求,f,(,x,),的单调区间；,(2),设,f,(,x,),在区间,(2,3),中至少有一个极值点，求,a,的取值范围,【思路点拨】,求函数的单调区间和极值，都应从研究函数的导函数入手,可化为讨论一元二次方程解的问题【例2】已知函数f(x)x,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,【,变式探究,】,2.,已知函数,f,(,x,),x,3,(1,a,),x,2,a,(,a,2),x,b,(,a,，,b,R,),在区间,(,1,1),上有极值，求,a,的取值范围,【变式探究】2.已知函数f(x)x3(1a)x2a(,导数与函数的极值最值课件,方法技巧：,函数的导函数是二次函数时，函数的单调性，极值问题，常化为二次函数的根的讨论问题，如“函数有无极值或有极值时应满足的条件”化为“二次函数有无实根或有实根时应满足的条件”；也有化为“二次函数的根的分布问题”,.,解题时应注意，当导函数的判别式等于零时，导函数虽然有根，但导函数在除该点外的其他点函数值是同号的，则函数在该点处仍无极值,.,方法技巧：函数的导函数是二次函数时，函数的单调性，极值问题，,导数与函数的最值,导数与函数的最值,【思路点拨】,(1),求,f,(,x,),；,(2),转化为求,f,(,x,),在,1,，,e,1,的最大值；,(3),转化为,f,(,x,),x,2,x,a,恰有两根问题求解,【思路点拨】(1)求f(x)；(2)转化为求f(x)在,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,【,变式探究,】,3.,设函数,f,(,x,),2,x,3,3,ax,2,3,bx,8,c,在,x,1,及,x,2,时取得极值,(1),求,a,、,b,的值；,(2),若对任意的,x,0,3,，都有,f,(,x,)0,；,当,x,(1,2),时，,f,(,x,)0.,所以，当,x,1,时，,f,(,x,),取得极大值,f,(1),5,8,c,.,又,f,(0),8,c,，,f,(3),9,8,c,，,则当,x,0,3,时，,f,(,x,),的最大值为,f,(3),9,8,c,.,因为对于任意的,x,0,3,，有,f,(,x,),c,2,恒成立，,所以,9,8,c,c,2,，解得,c,9.,因此,c,的取值范围为,(,，,1),(9,，,),(2)由(1)可知，f(x)2x39x212x8c，,方法技巧：,(1),不等式恒成立问题可转化为函数的最值问题求解；,(2),方程的解可转化为图象交点问题，图象零点问题也可转化为方程解的个数问题，这些问题可利用导数，通过研究函数的极值或最值求解,方法技巧：(1)不等式恒成立问题可转化为函数的最值问题求解；,生活中的优化问题,生活中的优化问题,【思路点拨】,(1),易知,Q,P,St,，根据函数,Q,(,t,),的解析式，用适当的方法求,Q,(,t,),的最大值,(2),将甲方净收入表示成,S,的函数，再用求函数最值的方法解决,【思路点拨】(1)易知QPSt，根据函数Q(t)的解析,导数与函数的极值最值课件,【变式探究】,4.(2011,年江苏卷,),请你设计一个包装盒，如图所示，,ABCD,是边长为,60 cm,的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得,A,，,B,，,C,，,D,四个点重合于图中的点,P,，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,，,F,在,AB,上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设,AE,FB,x,(cm),(1),某广告商要求包装盒的侧面积,S,(cm,2,),最大，试问,x,应取何值？,(2),某厂商要求包装盒的容积,V,(cm,3,),最大，试问,x,应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值,【变式探究】4.(2011年江苏卷)请你设计一个包装盒，如,导数与函数的极值最值课件,方法技巧：,利用导数解决生活中的优化问题时：,(1),认真审题,构建函数模型,并确定函数的定义域,;,(2),注意求得结果的实际意义,不符合实际的值应舍去；,(3),如果目标函数在定义域内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点,.,方法技巧：利用导数解决生活中的优化问题时：,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,类型误认为导数为零的点就是极值点,【例】已知函数,f,(,x,),x,3,ax,2,bx,a,2,在,x,1,处有极值,10,，求,f,(2),的值,类型误认为导数为零的点就是极值点【例】已知函数f(x)x,导数与函数的极值最值课件,【,分析,】,本题求出,a,b,的值后,如不对点,x=1,两侧导数符号进行检验,就易出现增根,导致解答看似完美,实则错误,.,因此,在求出导数为,0,的点后,一定要对该点,(,驻点,),两侧导数符号作进一步研究,才能确定是否是极值点,.,因此,导数为,0,的点不一定是极值点,可导函数在某点处取得极值的充要条件是其导数在极值点的两侧异号,.,【分析】本题求出a,b的值后,如不对点x=1两侧导数符号进行,一、选择题,1,(2011,年重庆卷改编,),函数,y,x,3,3,x,2,的极小值为,(,),A,0,B,4 C,4 D,2,解析：,f,(,x,),3,x,2,6,x,3,x,(,x,2),，,f,(,x,),在,(,，,0),和,(2,，,),递减，在,(0,2),递增,f,(,x,),极小值,f,(0),0.,答案：,A,一、选择题解析：f(x)3x26x3x(x2),2,(2011,年浙江卷,),设函数,f,(,x,),ax,2,bx,c,(,a,，,b,，,c,R,),，若,x,1,为函数,f,(,x,)e,x,的一个极值点，则下列图象不可能为,y,f,(,x,),的图象是,(,),2(2011年浙江卷)设函数f(x)ax2bxc(a,解析：,令,g,(,x,),f,(,x,)e,x,，则,g,(,x,),f,(,x,)e,x,f,(,x,)e,x,，,x,1,为函数,g,(,x,),的一个极值点，,g,(,1),f,(,1)e,1,f,(,1)e,1,0.,f,(,1),f,(,1),D,选项中，,f,(,1)0,，,f,(,1),f,(,1)0,，,b,0,，且函数,f,(,x,),4,x,3,ax,2,2,bx,2,在,x,1,处有极值，则,ab,的最大值等于,(,),A,2 B,3 C,6 D,9,答案：,D,4(2011年福建卷)若a0，b0，且函数f(x)4,导数与函数的极值最值课件,答案：,C,答案：C,二、填空题,答案：,2,二、填空题答案：2,7,f,(,x,),x,(,x,c,),2,在,x,2,处有极大值，则常数,c,的值为,_,答案：,6,7f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c的值,三、解答题,8.,如图所示，三次函数,f,(,x,),x,3,ax,2,x,在区间,(,1,1),内有极大值,和极小值，求实数,a,的取值范围是,三、解答题8.如图所示，三次函数f(x)x3ax2x在,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,(2),y,6,x,2,66,x,108,6(,x,2,11,x,18),6(,x,2)(,x,9),令,y,0,得,x,2(,x,6,，舍去,),或,x,9.,显然，当,x,(6,9),时，,y,0,，,当,x,(9,，,),时，,y,0.,函数,y,2,x,3,33,x,2,108,x,108,在,(6,9),上是关于,x,的增函数，,在,(9,，,),上是关于,x,的减函数,当,x,9,时，,y,取最大值，且,y,max,135.,售价为,9,元时，年利润最大，最大年利润为,135,万元,(2)y6x266x108,11,(2011,2012,惠安高级中学高三第三次月考,),设函数,f,(,x,),x,2,m,ln,x,，,h,(,x,),x,2,x,a,.,(1),当,a,0,时，,f,(,x,),h,(,x,),在,(1,，,),上恒成立，求实数,m,的取值范围；,(2),当,m,2,时，若函数,k,(,x,),f,(,x,),h,(,x,),在,1,3,在上恰有两个不同零点，求实数,a,的取值范围；,(3),是否存在实数,m,，使函数,f,(,x,),和函数,h,(,x,),在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出,m,的值，若不存在，说明理由,11(20112012惠安高级中学高三第三次月考)设函数,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,导数与函数的极值最值课件,