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,第二章 分离变量法,一、有界弦的自由振动,二、有限长杆上的热传导,三、拉普拉斯方程的定解问题,四、非齐次方程的解法,五、非齐次边界条件的处理,六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,第二章 分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传,基本思想：,（,1,）求出具有变量分离形式且满足边界条件的,解,;,特点：,偏微分方程化为常微分方程,（,2,）由,叠加原理,作出这些解的,线性组合,；,特点：,叠加原理,（,3,）由其余的定解条件,确定叠加系数,。,适用范围：,波动问题、热传导问题、稳定场问题等,基本思想：适用范围：,实根,特 征 根,通 解,求方程的通解的步骤为：,(1),写出微分方程的,特征方程,(2),求出特征根 ，,(3),根据特征根的情况按下表写出所给微分方程,的通解。,二阶常系数齐次线性微分方程,实根 特 征 根通 解求方程的通解,特 征 根,通 解,求方程的通解的步骤为：,(1),写出微分方程的,特征方程,(2),求出特征根 ，,(3),根据特征根的情况按下表写出所给微分方程,的通解。,二阶常系数齐次线性微分方程,特 征 根通 解求方程的通解的步,解,：步骤,1,，,求出具有变量分离形式且满足边界条件的,解,。,令,带入方程：,令,带入边界条件,1,求两端固定的弦自由振动的规律,一 有界弦的自由振动,解：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件的解。带入方程,分情况讨论：,1,）,2,）,3,） 令 ， 为非零实数,特征值问题,特征值与特征函数,分情况讨论：1）2）3） 令,步骤,2,，,叠加原理做出,解的线性组合,。,步骤2，叠加原理做出解的线性组合。,步骤,3,，,其余的定解条件求出,系数,。,步骤3，其余的定解条件求出系数。,分离变量,求特征值和特征函数,求另一个函数,求通解,确定常数,分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。,分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常,2,解的性质,x=x,0,时：,其中,：,驻波法,t=t,0,时：,2 解的性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：,例,1,：,设有一根长为,10,个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。,解：,例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移,二初始条件与边界条件课件,二初始条件与边界条件课件,二初始条件与边界条件课件,弦的振动,振幅放大,100,倍，红色、蓝色、绿色分别为,n=1,2,3,时的驻波。,弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,解：,例,2,求下列定解问题,解：例2求下列定解问题,二初始条件与边界条件课件,二初始条件与边界条件课件,初始条件,初始条件,若,l=,1,a=,10,时的震动。,若l=1,a=10时的震动。,例,3,求下列定解问题,解：,例3 求下列定解问题解：,二初始条件与边界条件课件,二初始条件与边界条件课件,二初始条件与边界条件课件,令,带入方程：,令,例,4,求下列定解问题,解：,二 有限长杆上的热传导,令带入方程：令例4 求下列定解问题解：二 有限长杆上的,二初始条件与边界条件课件,二初始条件与边界条件课件,三 拉普拉斯方程的定解问题,1,直角坐标系下的拉普拉斯问题,解：,矩形区域,三 拉普拉斯方程的定解问题1 直角坐标系下的拉普拉斯问,二初始条件与边界条件课件,二初始条件与边界条件课件,二初始条件与边界条件课件,解：令，,2,圆域内的拉普拉斯问题,圆形区域,解：令，2 圆域内的拉普拉斯问题圆形区域,第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解,把上式代入,微分方程,可得：,即,从而，我们可得到常微分方程：,第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离,与,：,周期本征值问题,欧拉方程,再利用定解条件可得：,与：周期本征值问题欧拉方程再利用定解条件可得：,第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程,第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程,第三步：利用叠加原理和边界条件求得原定解问题的解,再利用边界条件，有,:,第三步：利用叠加原理和边界条件求得原定解问题的解再利用边界条,例,5,求下列定解问题,解：,例5 求下列定解问题解：,欧拉方程,令,欧拉方程 令,其它为零,其它为零,二初始条件与边界条件课件,四 非齐次方程的解法,求下列定解问题,方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？,非齐次方程的求解思路,用分解原理得出对应的齐次问题,解出齐次问题,求出任意非齐次特解,叠加成非齐次解,思考,四 非齐次方程的解法求下列定解问题方程是非齐次的，是否可以,令：,令：,令：,为什么？,令：为什么？,二初始条件与边界条件课件,例,6,求下列定解问题,解：,先解对应的齐次问题,例6 求下列定解问题解：先解对应的齐次问题,二初始条件与边界条件课件,二初始条件与边界条件课件,
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