差分方程-基础知识--课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,ppt课件,*,差,分,方,程,(1),基础知识,1,ppt课件,差 分 方 程(1) 基础知识 1pp,一、差分,二、差分方程的概念,三、一阶常系数线性差分方程,四、二阶常系数线性差分方程,2,ppt课件,一、差分二、差分方程的概念三、一阶常系数线性差分方程四、二阶,一、差分,微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的,.,例如,经济变量收入、储蓄等都是时间序列,自变量,t,取值为,0, 1, 2,数学上把这种变量称为离散型变量,.,通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度,.,定义,1,设函数,y,=,f,(,x,),记为,y,x,则差,y,x,+1,y,x,称为函数,y,x,的一阶差分,记为,y,x,即,y,x,=,y,x,+1,y,x,.,3,ppt课件,一、差分 微分方程是自变量连续取值的问题, 但在,(,y,x,) = ,y,x,+1, ,y,x,= (,y,x,+2,y,x,+1,) (,y,x,+1,y,x,),=,y,x,+2, 2,y,x,+1,+,y,x,为二阶差分,记为,2,y,x,即,3,y,x,=,(,2,y,x,),同样可定义三阶差分,3,y,x,四阶差分,4,y,x,即,4,y,x,=,(,3,y,x,) .,2,y,x,=,(,y,x,) =,y,x,+2, 2,y,x,+1,+,y,x,4,ppt课件,(yx) = yx+1 yx,例,1,求,(,x,3,), ,2,(,x,3,), ,3,(,x,3,), ,4,(,x,3,).,解,(,x,3,),= (,x,+ 1),3,x,3,= 3,x,2,+ 3,x,+ 1,2,(,x,3,),=,(,3,x,2,+ 3,x,+ 1),= 3(,x,+ 1),2,+ 3(,x,+ 1) + 1 (3,x,2,+ 3,x,+ 1),= 6,x,+ 6,3,(,x,3,),=,(6,x,+ 6) = 6(,x,+ 1) + 6 (6,x,+ 6),= 6,4,(,x,3,),=,(6,), 6 = 0.,5,ppt课件,例1 求(x3), 2(x3), 3,二、差分方程的概念,定义,2,含有自变量、未知函数及其差分的方程,称为差分方程,.,差分方程的一般形式为,F,(,x,y,x,y,x, ,n,y,x,) = 0. (1),差分方程中可以不含自变量,x,和未知函数,y,x,但必须含有差分,.,式,(1),中,当,n,= 1,时,称为一阶差分方程；当,n,= 2,时,称为二阶差分方程,.,6,ppt课件,二、差分方程的概念 定,例,2,将差分方程,2,y,x,+ 2,y,x,= 0,表示成不含差分的形式,.,解,y,x,=,y,x,+1,y,x, ,2,y,x,=,y,x,+2, 2,y,x,+1,+,y,x,代入得,y,x,+2,y,x,= 0.,由此可以看出,差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程,.,7,ppt课件,例2 将差分方程,定义,3,含有未知函数几个时期值的符号的方程,称为差分方程,.,其一般形式为,G,(,x,y,x,y,x,+1,y,x,+,n,) = 0. (2),定义,3,中要求,y,x,y,x,+1,y,x,+,n,不少于两个,.,例如,y,x,+2,+,y,x,+1,= 0,为差分方程,y,x,=,x,不是差分方程,.,差分方程式,(2),中,未知函数下标的最大差数为,n,则称差分方程为,n,阶差分方程,.,8,ppt课件,定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程,定义,4,如果一个函数代入差分后,方程两边恒等,则称此函数为该差分方程的解,.,例,3,验证函数,y,x,= 2,x,+ 1,是差分方程,y,x,+1,y,x,= 2,的解,.,解,y,x,+1,= 2(,x,+ 1) + 1 = 2,x,+3,y,x,+1,y,x,= 2,x,+ 3, (2,x,+1) = 2,所以,y,x,= 2,x,+ 1,是差分方程,y,x,+1,y,x,= 2,的解,.,定义,5,差分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与差分方程的阶数相等,这样的解称为差分方程的通,解,.,9,ppt课件,定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒,三、一阶常系数线性差分,方程,一阶常系数线性差分方程的一般形式为,y,x,+1,ay,x,=,f,(,x,),. (3),其中,a,为不等于零的常数,.,称为齐次差分方程,;,当,f,(,x,) 0,时,称为非齐次差分方程,.,当,f,(,x,) = 0,时,即,y,x,+1,ay,x,= 0,(4),10,ppt课件,三、一阶常系数线性差分方程 一阶,先求齐次差分方程,y,x,+1,ay,x,= 0,的解,设,y,0,已知,代入方程可知,y,1,=,ay,0,y,2,=,a,2,y,0, ,y,x,=,a,x,y,0,令,y,0,=,C,则得齐次差分方程的通解为,y,x,=,Ca,x,. (5),11,ppt课件,先求齐次差分方程 yx+1 ayx = 0的解设 y0,例,4,求差分方程,y,x,+1,+ 2,y,x,= 0,的通,解,.,解,这里,a,=,2,由公式,(5),得,通解为,y,x,=,C,(,2),x,.,12,ppt课件,例4 求差分方程 yx+1 + 2yx =,定理,设,y,0,*,是非齐次差分方程,(3),对应的齐次差分方程,(4),的通解,再讨论非齐次差分方程,y,x,+1,ay,x,=,f,(,x,),解的结构,是,(3),的一个特解,则,程,(3),的通解,.,是方,下面用待定系数法来求两种类型函数的特解,.,(1),令,f,(,x,) =,b,0,+,b,1,x,+ +,b,m,x,m,设特解的待定式为,或,(6),(7),其中,B,0,B,1, ,B,m,为待定系数,.,13,ppt课件,定理 设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的,例,5,求差分方程,y,x,+1, 2,y,x,= 3,x,2,的一个特,解,.,解,这里,a,=,2,设,代入差分方程,得,B,0,+,B,1,(,x,+1)+,B,2,(,x,+1),2,2(,B,0,+,B,1,x,+,B,2,x,2,)=3,x,2,.,整理,得,(,B,0,+,B,1,+,B,2,)+,(,B,1,+2,B,2,),x,B,2,x,2,=3,x,2,.,比较系数,得,B,0,+,B,1,+,B,2,=0,B,1,+2,B,2,= 0,B,2,= 3.,解出,B,0,=,9,B,1,= 6,B,2,= 3,故所求特解为,14,ppt课件,例5 求差分方程 yx+1 2yx =,例,6,求差分方程,y,x,+1,y,x,=,x,+1,的通,解,.,解,对应的齐次方程,y,x,+1,y,x,= 0,的通解为,这里,a,= 1,设,(,x,+1),B,0,+,B,1,(,x,+1),x,(,B,0,+,B,1,x,) =,x,+1.,整理,得,2,B,1,x,+,B,0,+,B,1,=,x,+1.,比较系数,得,2,B,1,= 1,B,0,+,B,1,= 1,解出,故所求通解为,代入差分方程,得,15,ppt课件,例6 求差分方程 yx+1 yx =,(2),f,(,x,) =,Cb,x,设特解的待定式为,或,(8),(9),其中,k,为待定系数,.,16,ppt课件,(2) f (x) = Cbx,例,7,求差分方程,的通,解,.,解,对应的齐次方程,的通解为,因为,故可设特解为,则,17,ppt课件,例7 求差分方程,解出,则所求通解为,18,ppt课件,解出则所求通解为18ppt课件,四、二阶常系数线性差分方程,形如,y,x,+2,+,ay,x,+1,+,by,x,=,f,(,x,),. (10),(,其中,a,b, 0,且均为,常数,),的方程,称为二阶常系数线性差分方程,.,称为齐次差分方程,;,当,f,(,x,) 0,时,称为非齐次差分方程,.,当,f,(,x,) = 0,时,即,y,x,+2,+,ay,x,+1,+,by,x,= 0,(11),类似于二阶线性常微分方程,二阶线性差分方程与其有相同的解的结构,.,故先求齐次方程,(11),的通解,.,19,ppt课件,四、二阶常系数线性差分方程 形如,当,为常数时,y,x,=,x,和它的各阶差商有倍数关系,所以可设,y,x,=,x,为方程,(11),的解,.,代如方程,(11),得,x,+2,+,a,x,+1,+,b,x,= 0,方程,(12),称为齐次差分方程,(11),的特征方程,.,特征方程的解,两个不相等的实根,1,2,一对共轭复根,1,2,=,i,两个相等实根,1,=,2,x,+2,+,a,x,+1,+,b,x,= 0,的通解,2,+,a,+,b,= 0, (12),由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：,20,ppt课件,当 为常数时, yx = x和它的各阶差,例,8,求差分方程,y,x,+2, 7,y,x,+1,+ 6,y,x,= 0,的通,解,.,解,特征方程为,方程的根为,1,= 1,2,= 6,.,2, 7,+ 6 = 0.,原方程的通解为,y,x,=,C,1,+,C,2,6,x,.,21,ppt课件,例8 求差分方程 yx+2 7yx+1,例,9,求差分方程,y,x,+2, 4,y,x,+1,+ 16,y,x,= 0,满足条件,y,0,=0,y,1,=1,的特,解,.,解,特征方程为,方程的根为,2, 4,+ 16 = 0.,原方程的通解为,22,ppt课件,例9 求差分方程 yx+2 4yx+1,代入初始条件,y,0,=0,y,1,=1,得,解出,故所求特解为,23,ppt课件,代入初始条件 y0=0, y1=1得解出故所求特解为23pp,(1),f,(,x,) =,b,0,+,b,1,x,+ +,b,m,x,m,根据非齐次差分方程,y,x,+2,+,ay,x,+1,+,by,x,=,f,(,x,),的函数,f,(,x,),的形式,用待定系数法可求出一个特解,.,设特解的待定式为,其中,B,0,B,1, ,B,m,为待定系数,.,24,ppt课件,(1) f (x) = b0 + b1x + +,例,10,求差分方程,y,x,+2,+,y,x,+1, 2,y,x,= 12,x,的通,解,.,解,对应的齐次方程的特征方程为,方程的根为,1,= 2,2,= 1,2,+, 2 = 0.,齐次方程的通解为,因为,a,= 1,b,= 2, 1+,a,+,b,= 0,但,a+,2 = 3 0,所以,设非齐次方程的一个特解为,25,ppt课件,例10 求差分方程 yx+2 + yx+1,代入原方程,得,整理,得,B,0,+,B,1,(,x,+2)(,x,+2)+,B,0,+,B,1,(,x,+1),(,x,+1)(,B,0,+,B,1,x,),x,=12,x,.,比较系数,得,6,B,1,= 12,3,B,0,+ 5,B,1,= 0,解出,故所求通解为,6,B,1,x,+ 3,B,0,+ 5,B,1,=12,x,.,26,ppt课件,代入原方程, 得整理, 得 B0+B1(x+2)(x,(2),f,(,x,) =,Cq,x,设特解的待定式为,其中,B,为待定系数,.,(,q,不是特征根,);,(,q,是特征方程单根,);,(,q,是二重特征根,).,27,ppt课件,(2) f (x) = Cqx 设特解,例,11,求差分方程,y,x,+2, 3,y,x,+1,+ 2,y,x,= 2,x,的一个特,解,.,解,对应的齐次方程的特征方程为,方程的根为,1,= 1,2,= 2,2, 3,+ 2 = 0.,因为,q,= 2 =,2,设特解为,代入原方程,得,B,(,x,+2)2,x,+2,3,B,(,x,+1)2,x,+1,+2,Bx,2,x,= 2,x,所求特解为,28,ppt课件,例11 求差分方程 yx+2 3yx+,