资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,函数的求导法则,第二章,第二节二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、,1,思路,:,(,构造性定义,),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了,两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,思路:( 构造性定义 )求导法则其它基本初等函数求导公式证明,2,一、四则运算求导法则,定理,1.,的和、,差、,积、,商,(,除分母,为,0,的点外,),都在点,x,可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题,.,一、四则运算求导法则 定理1.的和、差、积、商 (除分母为,3,此法则可推广到任意有限项的情形,.,证,:,设,则,故结论成立,.,例如,此法则可推广到任意有限项的情形.证: 设, 则故结论成立.例,4,(2),证,:,设,则有,故结论成立,.,推论,:,(,C,为常数,),(2)证: 设则有故结论成立.推论:( C为常数 ),5,例,1.,解,:,例1. 解:,6,(3),证,:,设,则有,故结论成立,.,推论,:,(,C,为常数,),(3)证: 设则有故结论成立.推论:( C为常数 ),7,例,2.,求证,证,:,类似可证,:,例2. 求证证: 类似可证:,8,二、反函数的求导法则,定理,2.,y,的,某邻域内单调可导,证,:,在,x,处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证,9,例,3.,求反三角函数及指数函数的导数,.,解,:,1),设,则,类似可求得,利用,则,例3. 求反三角函数及指数函数的导数.解: 1) 设则类似可,10,2),设,则,特别当,时,小结,:,2) 设则特别当时,小结:,11,在点,x,可导,三、复合函数求导法则,定理,3.,在点,可导,复合函数,且,在点,x,可导,证,:,在点,u,可导,故,（当 时,),故有,在点 x 可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数,12,例如,关键,:,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,.,推广：,此法则可推广到多个中间变量的情形,.,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广,13,例,4,.,设,解,:,例4. 设解:,14,例,5.,设,求,解,:,思考,:,若,存在,如何求,的导数,?,这两个记号含义不同,例5. 设求解:思考: 若存在 , 如何求的导数?这两个记,15,例,6.,求下列导数,:,解,:,(1),(2),(3),说明,:,类似可得,例6. 求下列导数:解: (1)(2)(3)说明: 类似可,16,四、初等函数的求导问题,1.,常数和基本初等函数的导数,(P77-P78),四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P,17,2.,有限次四则运算的求导法则,(,C,为常数,),3.,复合函数求导法则,4.,初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明,:,最基本的公式,其它公式,用求导法则推出,.,且导数仍为初等函数,2. 有限次四则运算的求导法则( C为常数 )3. 复合函数,18,例,7.,求,解,:,例,8.,设,解,:,求,例7. 求解:例8.设解:求,19,例,9.,求,解,:,关键,:,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,例9. 求解:关键: 搞清复合函数结构,20,例,10.,设,求,解,:,例10. 设求解:,21,例,11.,设,解：,求,例11. 设解：求,22,内容小结,求导公式及求导法则,注意,:,1),2),搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,.,内容小结求导公式及求导法则注意: 1)2) 搞清复合函数结,23,1.,设,求,解,:,方法,1,利用导数定义,.,方法,2,利用求导公式,.,思考与练习,1. 设求解: 方法1 利用导数定义.方法2,24,2.,设,其中,在,因,故,正确解法,:,时,下列做法是否正确,?,在求,处连续,2. 设其中在因故正确解法:时, 下列做法是否正确?在求处,25,
展开阅读全文