微分方程稳定性课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模,微分方程专题,1,数学建模 微分方程专题1,part1,：微分方程,一,微分方程模型,二,差分方程模型,2,part1：微分方程一微分方程模型二差分方程模型2,在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间的关系，但却能容易得出包含变量导数在内的关系式，这就是微分方程,.,在现实社会中，又有许多变量是离散变化的，如人口数、生产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可操作性,差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁,.,3,在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量之间的关,不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解,(,必要时，可以利用计算机求其数值解,),，既使得到其解析解，尚有未知参数需要估计,(,这时可利用第二章参数估计方法,).,而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论,.,4,不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解,如果,则称平衡点,x,0,是,稳定,的,.,称代数方程,f,(,x,)=0,的实根,x,=,x,0,为方程,(4-1),的,平衡点,(,或奇点,).,它也是方程,(4-1),的解,.,设,一维微分方程模型平衡点的稳定性,5,如果则称平衡点x0是稳定的.称代数方程 f (x)=0 的实,由于,在讨论方程,(4-1),的,来代替,.,稳定性时，可用,一阶微分方程模型平衡点的稳定性,6,由于在讨论方程(4-1)的来代替.稳定性时，可用一阶微分方程,易知,x,0,也是方程,(4-2),的平衡点,. (4-2),的通解为,关于,x,0,是否稳定有以下结论：,若,则,x,0,是稳定的；,若,则,x,0,是不稳定的,.,这个结论对于,(4-1),也是成立的,.,一阶微分方程模型平衡点的稳定性,7,易知 x0也是方程(4-2)的平衡点. (4-2)的,代数方程组,的实根,x,=,x,0,y,=,y,0,称为方程,(4-3),的,平衡点,记作,P,0,(,x,0,y,0,).,它也是方程,(4-3),的解,.,微分方程组的平衡点的稳定性,8,代数方程组的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3,如果,则称平衡点,P,0,是,稳定,的,.,微分方程组的平衡点的稳定性,9,如果则称平衡点P0是稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性9,下面给出判别平衡点,P,0,是否稳定的,判别准则,.,设,则当,p,0,且,q,0,时，平衡点,P,0,是稳定的；,当,p,0,或,q,0,时，平衡点,P,0,是不稳定的,.,微分方程组的平衡点的稳定性,10,下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则. 设,稳定性模型,建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势,平衡状态是否稳定。,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,11,稳定性模型建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）,再生资源应适度开发,在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,问题及 分析,在,捕捞量稳定,的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量，,渔场鱼量将保持不变,，则捕捞量稳定。,背景,实例： 捕鱼业的持续收获,12,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 再生资源应,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从,Logistic,规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,r,固有增长率,N,最大鱼量,h,(,x,)=,Ex, E,捕捞强度,x,(,t,) ,渔场鱼量，,产量模型,13,假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时,平衡点,稳定性判断,x,0,稳定, 可得到稳定产量,x,1,稳定,渔场干枯,E,捕捞强度,r,固有增长率,产量模型,14,平衡点稳定性判断x0 稳定, 可得到稳定产量x1 稳定, 渔,图解法,P,的横坐标,x,0,平衡点,y=rx,h,P,x,0,y,0,y=h,(,x,),=Ex,x,N,y=f,(,x,),P,的纵坐标,h,产量,产量最大,f,与,h,交点,P,h,m,x,0,*,=,N,/2,P,*,y=E,*,x,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,产量模型最大产量,15,图解法P的横坐标 x0平衡点y=rxhPx0y0y=h(x,效益模型,假设,鱼销售价格,p,单位捕捞强度费用,c,单位时间利润,稳定平衡点,求,E,使,R,(,E,),最大,渔场鱼量,收入,T,=,ph,(,x,) =,pEx,支出,S,=,cE,16,效益模型假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润,对于,k,阶差分方程,F,(,n,;,x,n,x,n,+1, ,x,n,+,k,) = 0 (4-6),若有,x,n,=,x,(,n,),满足,F,(,n,;,x,(,n,),x,(,n,+ 1) , ,x,(,n,+,k,) = 0,则称,x,n,=,x,(,n,),是差分方程,(4-6),的,解,包含,k,个任意常数的解称为,(4-6),的,通解,x,0,x,1, ,x,k,-1,为已知时称为,(4-6),的,初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为,(4-6),的,特解,.,差分方程模型,17,对于k阶差分方程F( n; xn, xn+1, , xn,若,x,0,x,1, ,x,k,1,已知,，,则形如,x,n,+,k,=,g,(,n,;,x,n,x,n,+1, ,x,n,+,k,-1,),的差分方程的解可以在计算机上实现,.,若有常数,a,是差分方程,(4-6),的解,，,即,F,(,n,;,a,a, ,a,) = 0,则称,a,是差分方程,(4-6),的,平衡点,.,又对差分方程,(4-6),的任意由初始条件确定的解,x,n,=,x,(,n,),都有,x,n,a,(,n,),则称这个平衡点,a,是,稳定,的,.,差分方程模型,18,若x0, x1, , xk1已知，则形如,一阶常系数线性差分方程,x,n,+1,+,ax,n,=,b,(,其中,a,b,为常数，且,a,-,1, 0),的通解为,x,n,=,C,(,-,a,),n,+,b,/(,a,+ 1),易知,b,/(,a,+1),是其平衡点，由上式知，当且仅当,|,a,|,1,时，,b,/(,a,+1),是稳定的平衡点,.,差分方程模型,19,一阶常系数线性差分方程差分方程模型19,二阶常系数线性差分方程,x,n,+2,+,ax,n,+1,+,bx,n,=,r,其中,a,b,r,为常数,.,当,r,= 0,时，它有一特解,x,*,= 0,；,当,r, 0,，且,a,+,b,+ 1 0,时，它有一特解,x,*,=,r,/(,a,+,b,+1).,不管是哪种情形，,x,*,是其平衡点,.,设其特征方程,2,+,a,+,b,= 0,的两个根分别为,=,1,=,2,.,差分方程模型,20,二阶常系数线性差分方程 当r = 0时，它有一,当,1,2,是两个不同实根时，,二阶常系数线性差分,方程的通解为,x,n,=,x,*,+,C,1,(,1,),n,+,C,2,(,2,),n,;,当,1, 2,=,是两个相同实根时，,二阶常系数线性差分,方程的通解为,x,n,=,x,*,+ (,C,1,+,C,2,n,),n,;,则,差分方程模型,21, 当1, 2 是两个不同实根时，二阶常系数线性,当,1, 2,=,(cos,+,i,sin,),是一对共轭复根时，,二阶常系数线性差分,方程的通解为,x,n,=,x,*,+,n,(,C,1,cos,n,+,C,2,sin,n,).,易知，当且仅当特征方程的任一特征根,|,i,|,1,时,平衡点,x,*,是稳定的,.,差分方程模型,22, 当1, 2= (cos + i sin ) 是,对于一阶非线性差分方程,x,n,+1,=,f,(,x,n,),其平衡点,x,*,由代数方程,x,=,f,(,x,),解出,.,为分析平衡点,x,*,的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程,时,上述近似线性差分方程与,原,非线性差分方程的,稳定性相同,.,因此,当,时,x,*,是稳定的；,当,时,x,*,是不稳定的,.,当,差分方程模型,23,对于一阶非线性差分方程其平衡点x*由代数方程x = f (x,问,题,供大于求,现,象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,价格下降,减少产量,增加产量,价格上涨,供不应求,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,市场经济中的蛛网模型,24,问 供大于求现商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳,g,x,0,y,0,P,0,f,x,y,0,x,k,第,k,时段商品数量；,y,k,第,k,时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,供应函数,需求函数,f,与,g,的交点,P,0,(,x,0,y,0,) ,平衡点,一旦,x,k,=,x,0,，则,y,k,=,y,0,x,k+,1,x,k+,2,=x,0, y,k+,1,y,k+,2, =y,0,模型建立,25,gx0y0P0fxy0xk第k时段商品数量；yk第k时段,设,x,1,偏离,x,0,P,0,是稳定平衡点,P,0,是不稳定平衡点,蛛 网 模 型,稳定性分析,26,设x1偏离x0P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点蛛 网,x,y,0,f,g,y,0,x,0,P,0,x,1,x,2,P,2,y,1,P,1,y,2,P,3,P,4,x,3,y,3,P,1,P,2,P,3,P,4,x,y,0,y,0,x,0,P,0,f,g,曲线斜率,稳定性分析,27,xy0fgy0x0P0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y,在,P,0,点附近用直线近似曲线,P,0,稳定,P,0,不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,稳定性分析,28,在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方 程 模 型方,商品数量减少,1,单位,价格上涨幅度,价格上涨,1,单位, (,下时段,),供应的增量,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,x,k,第,k,时段商品数量；,y,k,第,k,时段商品价格,经济稳定,结果解释,29, 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 价格上涨1,1.,使,尽量小，如,=0,以行政手段控制价格不变,2.,使,尽量小，如,=0,靠经济实力控制数量不变,x,y,0,y,0,g,f,x,y,0,x,0,g,f,需求曲线变为水平,供应曲线变为竖直,结果解释政府干预,30,1. 使 尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变2.,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,模型的推广,31,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产,方程通解,(,c,1,c,2,由初始条件确定,),1, 2,特征根，即方程 的根,平衡点稳定,的条件,:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,x,0,为平衡点,研究平衡点稳定，即,k,x,k,x,0,的条件,模型的推广,32,方程通解(c1, c2由初始条件确定)1, 2特征根，即,