角动量守恒--教学课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,角动量守恒,第三章,1,角动量守恒第三章1,物理学非常注意守恒量的研究。,在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星（固定点）转动时,行星始终在同一个平面内运动的现象。,例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面,例如：银河系中的,每个恒星都有自己,的转动平面。,银河系,在这些问题中，存在,着质点的角动量守恒,的规律。,3.1,质点的角动量守恒定律,一、质点的角动量,2,物理学非常注意守恒量的研究。在天体运动中,常遇到行星绕某一恒,角动量,是质点运动中的一个重要的物理量，在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。,L,m,O,p,r,质点,m,对惯性系中的固定点,O,的,角动量（动量矩）,定义为：,单位：,kg,m,2,/s,大小：,方向：,决定的平面（右螺旋）,3,角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在物理学的许多领域都有,L,R,v,m,O,质点作匀速率圆周运动时，,对圆心的角动量的大小为,方向,垂直圆面,不变。,L,=,m,v,R,，,同一质点的同一运动，其角动量却可以随固,定点的不同而改变。,例如：,方向变化,方向竖直向上不变,O,l,O,锥摆,m,质点直线运动的角动量？,4,LRvmO 质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量,二、质点的角动量定理,由,有：,定义力,对定点,O,的,力矩,(moment of force),为：,F,M,r,O,m,称,力臂,r,0,5,二、质点的角动量定理由有：定义力对定点 O 的力矩 (mom,于是有,质点角动量定理,或,积分,质点角动量定理,称,冲量矩,力矩对时间的积累作用,（积分形式）,（微分形式）,即“质点对固定点角动量的增量等于该质点,所受的合力的冲量矩”。,6,于是有 质点角动量定理或积分质点角动量定理称冲量矩力,三、质点角动量守恒定律,由质点角动量定理：,知：,则质点的角动量：,7,三、质点角动量守恒定律由质点角动量定理：知：则质点的角动量：,质点角动量,守恒定律,角动量守恒定律,是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。,（如行星受的万有引力）,或,过固定,点：有心力,8, 质点角动量守恒定律角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，,角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：,（书,P79,页例,3.1,）,【,证明,】,因为是有心力场，所以,力矩,M,=0,则角动量守恒。,由角动量守恒定律：,9,角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：（书P79页例,始终在同一平面内。,若经 时间,掠面速度：,10,始终在同一平面内。若经 时间 掠面速度：10,所以地球人造卫星,在近地点速度大，,在远地点速度小。,1970,年 ，我国发射,了第一颗地球人造,卫星。,近地点高度为,266 km,速度为,8.13 km/s;,远地点高度为,1826 km,速度为,6.56 km/s;,计算出椭圆的面积,根据“掠面速度”,就可以得到绕行周期为,106,分钟。,11,所以地球人造卫星1970年 ，我国发射近地点高度为 266,一个质点系对一固定点的角动量,定义为其中各个质点对该固定点的角动量的矢量和，,即：,0,3.2,质点系的角动量守恒定律,12,一个质点系对一固定点的角动量 定义为其中各个质点对该固定,0,-,各质点所受外力矩的矢量和称为,质点系所受合外力矩,-,各质点所受内力矩,的矢量和,（证明如下：）,13,0-各质点所受外力矩的矢量和称为质点系所受合外力矩,0,与 共线，,所以这一对内力矩之和为零。,同理可得所有内力矩之和为零。,“,一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的,角动量对时间的变化率”,内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出现的，,对,i , j,两个质点来说,，它们相互作用的内力矩之和为,:,质点系角动量定理,于是有：,14,0与 共线，所以这一对内力矩之和为零。同理可得所,质点系角动量守恒定律,质点系角动量守恒和动量守恒是否相互独立？,思考,即：,“只要系统所受的总外力矩为零，其总的角动量就保持不变。”,15,质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒和动量守恒是否相互,例,.,一长为,l,的轻质细杆两端分别固接小球,A,和,B,杆可绕其,中点,o,处的细轴,在光滑水平面上转动。初始时杆静止,后有一小球,C,以速度,v,0,垂直于杆碰,A,碰后与,A,合二为一。设三个小球的质量都是,m,求,:,碰后杆转动的角速度,?,【,解,】,选系统,:,A+B+C,A,B,C,v,0,16,例. 一长为 l 的轻质细杆两端分别固接小球 A 和 B,答：轴处有水平外力，动量不守恒。,可得,碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？,答：轴处有水平外力，但没有外力矩，,角动量守恒。,碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？,即,设碰后,B,球的速度为,v,17,答：轴处有水平外力，动量不守恒。可得碰撞过程中，系统的动量守,例,:,一长为,l,的轻质杆端部固结一小球,m,1,，另一小球,m,2,以水平速度,v,0,碰杆中部并与杆粘合。,碰撞时重力和轴力都通过,O,，,解：,选,m,1,（含杆）,+,m,2,为系统,求：,碰撞后杆的角速度,对,O,力矩为零，故角动量守恒。,l,m,1,O,v,0,m,2,解得：,思考 （,m,1,m,2,）的水平动量是否守恒？,有,18,例:一长为l 的轻质杆端部固结一小球m1 ，另一小球m2,1.,质点系的角动量定理也是适用于,惯性系；,2.,外力矩和角动量都是相对于惯性系中的,同一固定点,说的。质点系受的外力的矢量和为零，但总外力矩不一定为零（,eg:,力偶）角动量不守恒；,3.,当质点系受的外力的矢量和不为零，但总外力矩可为零时（,eg:,有心力），质点系总角动量守恒；,4.,内力矩,不影响质点系总角动量，但可影响质点系内某些质点的角动量。,说明,19,1. 质点系的角动量定理也是适用于惯性系；2. 外力矩和,小结：动量与角动量的比较,角动量,矢量,与固定点有关,与内力矩无关,守恒条件,动量,矢量,与内力无关,守恒条件,与固定点无关,20,小结：动量与角动量的比较角动量矢量与固定点有关与内力矩无关守,把刚体看作非常多质元构成的质点系，第,i,个质元对原点,o,的角动量：,3.3,定轴转动刚体的角动量 转动惯量,一、定轴转动刚体的角动量,z,O,r,i,定轴,m,i,刚体对,o,点的总角动量,21,把刚体看作非常多质元构成的质点系，第i个质元对原点o,刚体对转轴,z,的角动量,z,O,r,i,定轴,m,i,一般：,L,的方向不平行转轴，但当轴为刚体的对称轴时：,22,刚体对转轴 z 的角动量z Ori定轴mi一般：L的方向,于是：,z,O,r,i,定轴,m,i,23,于是：z Ori定轴mi23,其中：,转动惯量,（对,z,轴）,（,rotational inertia,）,二、 转动惯量的计算,转动惯量的意义：,I,z,反映了转动惯性的大小,转动惯量由质量对轴的分布决定，与下列因素有关：,（,1,）密度大小,（,2,）质量分布,（,3,）转轴位置,24,其中：转动惯量（对z轴）（rotational inert,定轴,z,d,m,当刚体质量连续分布时，由转动惯量的定义知，,求和,改为,积分,：,设刚体质量分布为体分布且体密度为：,25,定轴zdm当刚体质量连续分布时，由转动惯量的定义知，求和改为,对质量线分布的刚体：,：质量线密度,对质量面分布的刚体：,：质量面密度,对质量体分布的刚体：,：质量体密度,质量连续分布刚体的转动惯量,：质量元,线积分,面积分,体积分,26,对质量线分布的刚体：质量线密度 对质量面分布的刚体：质,计算转动惯量,I,的三条有用的定理：,（,1,）叠加,定理,:,对同一转轴,I,有可叠加性,（,2,）平行,轴定理,:,所以,I,c,总是最小的,I,转轴,平行,m,d,I,I,c,27,计算转动惯量 I 的三条有用的定理： （1）叠加定理:对同,刚体为一薄片即：,Z = 0,（,3,）,垂直轴定理,:,（对薄平板刚体）,28,刚体为一薄片即：Z = 0（3）垂直轴定理:（对薄平板刚体）,回转半径,-,定义如下：,例：求对薄圆盘的一条直径的转动惯量,r,G,叫刚体对该定轴的回转半径,刚体对该定轴来说其质量好比集中在离轴距离为,r,G,的圆环上。,eg:,圆环,I=,mr,2,29,回转半径-定义如下：例：求对薄圆盘的一条直径的转动惯量,常见的形状简单对称、质量均匀的刚体的,I,很易计算得到。,应记住的几个常用结果,:,（,1,）细圆环,（,3,）均匀圆盘、圆柱,（,2,）均匀细棒,R,m,O,R,m,c,A,c,详细见,P88,表,3.1,P87,例,3.6,30,常见的形状简单对称、质量均匀的刚体的 I 很易计算得到。应记,R,M,O,O,m,L,利用转动惯量的,可叠加性,和,平行轴定理：,圆盘,细杆,例,:,写出下面刚体对,O,轴（垂直屏幕）的转动惯量,31,RMOOmL利用转动惯量的可叠加性和平行轴定理：圆盘细,3.4,刚体定轴转动的角动量守恒定律,讨论,力矩对时间的积累效应。,质点系：,对点,对轴,刚体：,刚体定轴转动的角动量定理,一、刚体定轴转动的角动量定理：,32,3.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律讨论力矩对时间的积累效,称为,冲量矩,，它表示,力矩对时间的积累效应,二、刚体定轴转动的角动量守恒定律：,刚体系：,M,外,z,=,0,时，,33,称为冲量矩，它表示力矩对时间的积累效应二、刚体定轴转动的角动,此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。,茹科夫斯基转椅,转台车轮（书图,3.16),角动量守恒的应用：,例如,.,花样滑冰。,注：,对非刚体的定轴转动 ，,若,M,外,z,=0 ,也有,I,1,1,= I,2,2,直升飞机机身反转,滑冰运动员的旋转,34,此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总,克服直升飞机机身反转的措施：,装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩,装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消,35,克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大气产生克服机身反转,三、 刚体定轴转动的转动定律,z,O,r,i,定轴,m,i,则：,转动定律矢量式,36,三、 刚体定轴转动的转动定律z Ori定轴mi则：转动,转动定律,与牛顿第二定律 相比，有：,I,相应,m,，,相应,，,相应,。,刚体绕某一固定轴的合外力矩,等于刚体对此轴的转动惯量与刚体的角加速度的乘积 。,-,刚体的定轴转动定律,37,转动定律与牛顿第二定律 相比，有：,四、刚体定轴转动定律的应用,求,:,物体的加速度及绳中张力？,解题思路：,（,1,）选物体,（,2,）看运动,（,3,）查受力（注意,:,画隔离体受力图）,（,4,）列方程（注意,:,架坐标）,例,1.,m,1,m,2,m,R,已知：两物体,m,1,、,m,2,（,m,2, m,1,),，,滑轮 质量为,m,、,半径为,R,可看成质量均匀的圆盘，轴上的摩擦力矩为,M,f,（设绳轻，且不伸长,与滑轮无相对滑动）。,38,四、刚体定轴转动定律的应用求:物体的加速度及绳中张力？解题思,因绳不伸长,有,a,1,= a,2,= a,因绳轻,有,对,m,1,有,对,m,2,有,以加速度方向为正，可列出两式,设出各量如图所示。,【,解,】,分别对,m,1, m,2, m,看运动、分析力，,T,1,-,m,1,g,=,m,1,a,-,（,1,）,m,2,g,-,T,2,=,m,2,a,-,（,2,）,39,因绳不伸长,有 a1= a2= a因绳轻,有对m1有对 m2,对滑轮,m,由转动定律：,-,（,3,）,三个方程,四个未知数,.,再从,运动学关系上有：,-,（,4,）,联立四式解得：,(,以“,方向”为正,),40,对滑轮 m 由转动定律：-（3）三个方程,四个未知数,41,41,当不计滑轮质量和摩擦力矩时,:,（与中学作过的一致！）,m = 0 , M,f,= 0,，,有,讨论,42,当不计滑轮质量和摩擦力矩时: （与中学作过的一致！）,例,2.,已知：如图，,R,= 0.2m,，,m,= 1kg,，,v,o,= o,，,h,=1.5m,，匀加速下落时间,t,=3s,绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：轮对,o,轴,I,=,？,定轴,0,R,t,h,m,v,0,= 0,绳,分析受力如图所示。,解题分析：,分别对物体,m,和轮,看运动、分析力，,R,m,a,43,例 2.已知：如图，R = 0.2m，m = 1kg，vo=,【,解,】,：,由动力学关系：,四个未知量,由运动学关系：,R,m,P92,例,3.7,44,【解】：由动力学关系：四个未知量由运动学关系：RmP92例,质点平动与刚体转动的比较,作用规律,质点平动,刚体转动,牛顿第二律,转动定律,对,时间,的累积效应,对,空间,的累积效应,（第四章学）,动量定理,动能定理,动量守恒定律,角动量定理,角动量守恒定律,转动动能定理,45,质点平动与刚体转动的比较作用规律质点平动刚体转动牛顿第二律转,复习题,1.,有两个力作用在一个有固定轴的刚体上，,（,1,）两个力都垂直于轴时，合力矩可能为零。,对。,（ 两个力的力矩相反时合力矩可为零,）,（,2,）两个力的合力为零时，合力矩也一定为零。,错。,（ 力等值反向，力矩仍可不等值反向,）,（,3,）两个力的合力矩为零时，合力也一定为零。,错。,（ 合力矩为零，两力仍可不等值反向,）,【,答,】,【,答,】,【,答,】,46,复习题1.有两个力作用在一个有固定轴的刚体上，（1）两个力都,复习题,2.,球与匀质 杆的碰撞过程,正好使轴承处无水平力（,动量也能守恒）？,是否动量一定不守恒？,有没有特例？,动量一般不守恒。,分析：,打击点非常靠近,0,点时，轴受力向右；,打击点非常靠近下端时，由于杆会绕质心转,动，轴受力向左。,【,解,】,能否找到,47,复习题2.球与匀质 杆的碰撞过程正好使轴承处无水平力（动量也,方法一,：,对象：杆,联立三式，也可解得：,-,（,1,）,刚体为特殊的质系，运用质心加速度：,-,（,2,）,由转动定律：,在力,f,的作用下，棒对,o,的角加速度为：,-,（,3,）,假设水平轴力 ，及球的力,f,48,方法一：对象：杆联立三式，也可解得：-（1）刚体为特殊的,联立三式，也可解得,方法二：,对象：球杆,用动量守恒角动量守恒,假设无水平轴力,，只有球的力,f,由角动量守恒：,由动量守恒（水平）,o,-,（,1,）,-,（,2,）,-,（,2,）,又,-,（,3,）,这个打击位置称为撞击中心,49,联立三式，也可解得方法二：对象：球杆 用动量守恒角动量,复习题,3.,质量为,m,，半径为,R,的圆盘在水平面上绕中心竖直轴,O,转动，圆盘与水平面间的摩擦系数为 ，已知开始时薄圆盘的角速度为 ，试问圆盘转几圈后停止？,【,解,】,刚体转动运动学,+,动力学综合问题,（,1,）求摩擦力矩,设圆盘的面密度 在距,r,处取宽,dr,的圆环，该环受的摩擦力矩为：,50,复习题3.质量为m，半径为R的圆盘在水平面上绕中心竖直轴O转,整个圆盘受的摩擦力矩为：,（,2,）由转动定律：,（,3,）求圆盘转过的角度，圆盘作匀减速转动：,51,整个圆盘受的摩擦力矩为：（2）由转动定律：（3）求圆盘转过的,复习题,4.,已知：如图，半径,R,，盘质量为,M,，绳子两端与,m,和弹簧相连，物静止开始下落,绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：下降距离,h,时的速度？,m,M,R,52,复习题4.已知：如图，半径R ，盘质量为M，绳子两端与m和弹,【,解,】,53,【解】53,54,54,m,A,B,2m,m,r,m,r,T=?,复习题,5.,已知：如图，半径,r,，两盘质量都为,m,，绳子两端与,m,和,2m,相连，物静止开始下落,绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：绳子中的张力？,解：（,1,）研究对象：,A,、,B,和两圆柱体；,（,2,）受力分析如图：,55,mAB2mm,rm,rT=?复习题5.已知：如图，半径r ，,T,A,A,B,mg,2,mg,T,A,T,B,T,T,B,A,向上运动，有加速度,a,A,; B,向下运动，加速度,a,B,圆柱体顺时针转动。,（,3,）可有下列方程：,（,5,）解方程组可得,56,TAABmg2mgTATBTTBA向上运动，有加速度aA;,复习题,6,：,如图：长为,L,质量为,m,的匀质棒，可绕其通过端点的光滑轴在竖直平面内转动。求棒从水平位置转到图中位置的角加速度和角速度（ ）。,解：（,1,）研究对象：棒；,受重力作用，可证明重力对转轴的力矩为：,由转动定理，可得：,mg,C,X,O,x,c,57,复习题6：如图：长为L质量为m的匀质棒，可绕其通过端点的光滑,（,2,）,第三章结束,58,（2）第三章结束58,第三章结束,两边积分,:,59,第三章结束两边积分:59,