拉普拉斯变换证明课件

上海大学机电工程与自动化学院,上海大学机电工程与自动化学院,2.,2,拉普拉斯变换,系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关系。经典控制理论的,系统分析方法,：时域法、频域法。,2.,数学模型与传递函数,时域分析法,求解数学模型微分方程，获得系统输出随时间变化的规律。,借助于系统频率特性分析系统的性能，拉普拉斯变换是其数学基础。,频域分析法,频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。,2.2 拉普拉斯变换2. 数学模型与传递函数时域分析法求解数,2.2.1,复数和复变函数,复数的概念,复数,s,=,+j,（有一个实部,和一个虚部,，,和,均为实数）,两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。,一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。,2.2,拉普,拉斯变换,称为,虚数单位,2.2.1 复数和复变函数2.2 拉普拉斯变换称为虚数单位,复数的表示法,对于复数,s,=,+j,复平面,：以,为横坐标,(,实轴,),、,为纵坐标,(,虚轴,),所构成的平面称为复平面或,s,平面。复数,s,=,+j,可在复平面,s,中用点,(,),表示：一个复数对应于复平面上的一个点。,2.2.1,复数和复变函数,o,复平面,s,1,2,j,1,2,s,1,=,1,+j,1,s,2,=,2,+j,2,复数的表示法2.2.1 复数和复变函数o复,复数的向量表示法,复数,s,=,+j,可以用从原点指向点,(,),的向量表示。,向量的长度称为复数的模：,2.2.1,复数和复变函数,o,1,2,j,s,1,s,2,r,1,=|s,1,|,r,2,=|s,2,|,向量与,轴的夹角,称为复数,s,的复角：, 复数的向量表示法2.2.1 复数和复变函,复数的,三角函数表示法,与,指数表示法,根据复平面的图示可得：,=,r,cos,，,=,r,sin,复数的,三角函数表示法,：,s,=,r,(cos,+ j sin,),2.2.1,复数和复变函数,o,1,2,j,s,1,s,2,r,1,=|s,1,|,r,2,=|s,2,|,欧拉公式：,复数的,指数表示法,：, 复数的三角函数表示法与指数表示法2.2.,复变函数、极点与零点的概念,以复数,s,=,+j,为自变量构成的函数,G,(,s,),称为复变函数：,G,(,s,),=,u,+ j,v,式中,：,u,、,v,分别为复变函数的实部和虚部。,2.2.1,复数和复变函数,当,s,=,-,z,i,时，,G,(,s,),=0,，则,s,i,=,-,z,i,称为,G,(,s,),的,零点,；,分子为零,分母为零,通常，在线性控制系统中，复变函数,G,(,s,),是复数,s,的单值函数。即：对应于,s,的一个给定值，,G,(,s,),就有一个唯一确定的值与之相对应。,当复变函数表示成,(b),当,s,=,-,p,j,时，,G,(,s,),，则,s,j,=,-,p,j,称为,G,(,s,),的,极点,。, 复变函数、极点与零点的概念2.2.1 复,例：,当,s,=,+j,时，求复变函数,G,(,s,),=,s,2,+1,的实部,u,和虚部,v,。,2.2.1,复数和复变函数,复变函数的实部,复变函数的虚部,解,：,G,(,s,),s,2,+1,(,+j,),2,+ 1,2,+,j(2,),-,2,+ 1,(,2,-,2,+ 1) +,j(2,),例：2.2.1 复数和复变函数复变函数的实部复变函数的虚部解,2.2.2,拉普拉斯变换的定义,拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量,s,的乘积，将时间表示的微分方程，变成以,s,表示的代数方程。,2.2,拉普,拉斯变换,复变量,原函数,象函数,拉氏变换符号,拉普拉斯变换,：在一定条件下，把实数域中的实变函数,f,(,t,),变换到复数域内与之等价的复变函数,F,(,s,),。,设有时间函数,f,(,t,),，当,t ,a,的所有复数,s,(,Re,s,表示,s,的实部,),都使积分式绝对收敛，故,Re,s,a,是拉普拉斯变换的定义域，,a,称为收敛坐标。,式中,：,M,、,a,为实常数。,拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏,2.2.3,典型时间函数的拉普拉斯变换,(1),单位阶跃函数,单位阶跃函数定义：,2.2,拉普,拉斯变换,其拉普拉斯变换为,：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换2.2 拉普拉斯变换其,(2),单位脉冲函数,单位脉冲函数定义：,2.2.3,典型时间函数的拉普拉斯变换,且：,其拉普拉斯变换为,：,(2) 单位脉冲函数 2.2.3 典型时间函数,(3),单位速度函数（单位斜坡函数）,单位速度函数定义：,2.2.3,典型时间函数的拉普拉斯变换,其拉普拉斯变换为,：,(3) 单位速度函数（单位斜坡函数） 2.2.,(4),指数函数,指数函数表达式：,2.2.3,典型时间函数的拉普拉斯变换,式中：,a,是常数。,其拉普拉斯变换为,：,(4) 指数函数2.2.3 典型时间函数的拉普,(5),正弦信号函数,正弦信号函数定义：,2.2.3,典型时间函数的拉普拉斯变换,由欧拉公式，正弦函数表达为：,两式相减,其拉普拉斯变换为,：,(5) 正弦信号函数2.2.3 典型时间函数的,(6),余弦信号函数,余弦信号函数定义：,2.2.3,典型时间函数的拉普拉斯变换,由欧拉公式，余弦函数表达为：,两式相加,其拉普拉斯变换为,：,(6) 余弦信号函数2.2.3 典型时间函数的,拉普拉斯变换简表,(,待续,),2.2.3,典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表 (待续)2.2.3 典型时间函数的拉普拉,拉普拉斯变换简表,(,续,1),2.2.3,典型时间函数的拉普拉斯变换,t,T,e,拉普拉斯变换简表 (续1)2.2.3 典型时间函数的拉普拉,拉普拉斯变换简表,(,续,2),2.2.3,典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表 (续2)2.2.3 典型时间函数的拉普拉,拉普拉斯变换简表,(,续,3),2.2.3,典型时间函数的拉普拉斯变换,1,a,1,b,-,a,1,b,-,a,拉普拉斯变换简表 (续3)2.2.3 典型时间函数的拉普拉,拉普拉斯变换简表,(,续,4),2.2.3,典型时间函数的拉普拉斯变换,n,1,-,2,1,n,1,-,2,1,1,-,2,1,-,2,拉普拉斯变换简表 (续4)2.2.3 典型时间函数的拉普拉,拉普拉斯变换简表,(,续,5),2.2.3,典型时间函数的拉普拉斯变换,1,1,-,2,1,-,2,拉普拉斯变换简表 (续5)2.2.3 典型时间函数的拉普拉,2.2.4,拉普拉斯变换的基本性质,(1),线性定理,若,、,是任意两个,复常数,，且：,2.2,拉普,拉斯变换,证明,：,则：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质2.2 拉普拉斯变换证明：,(2),平移定理,若：,2.2.4,拉普拉斯变换的基本性质,证明,：,则：,(2) 平移定理2.2.4 拉普拉斯变换的基本,(3),微分定理,若：,2.2.4,拉普拉斯变换的基本性质,证明,：,则：,f,(0),是,t,=0,时的,f,(,t,),值,同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：,(3) 微分定理2.2.4 拉普拉斯变换的基本,(3),微分定理,推广到,n,阶导数的拉普拉斯变换：,2.2.4,拉普拉斯变换的基本性质,如果：函数,f,(,t,),及其各阶导数的初始值均为零，即,则：,(3) 微分定理2.2.4 拉普拉斯变换的基本,(4),积分定理,若：,2.2.4,拉普拉斯变换的基本性质,则：,证明,：,函数,f,(,t,),积分的初始值,(4) 积分定理2.2.4 拉普拉斯变换的基本,(4),积分定理,同理，对于,n,重积分的拉普拉斯变换：,2.2.4,拉普拉斯变换的基本性质,若,：函数,f,(,t,),各重积分的初始值均为零，则有,注,：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利用微分定理和积分定理，可将微分,-,积分方程变为代数方程。,(4) 积分定理2.2.4 拉普拉斯变换的基本,(5),终值定理,若：,2.2.4,拉普拉斯变换的基本性质,则：,证明,：根据拉普拉斯变换的微分定理，有,由于,，上式可写成,写出左式积分,(5) 终值定理2.2.4 拉普拉斯变换的基本,(6),初值定理,若：,2.2.4,拉普拉斯变换的基本性质,则：,证明,：根据拉普拉斯变换的微分定理，有,由于,，上式可写成,或者,(6) 初值定理2.2.4 拉普拉斯变换的基本,(7),卷积定理,两个时间函数,f,1,(,t,),、,f,2,(,t,),卷积的拉普拉斯变换等于这两个时间函数的拉普拉斯变换。,2.2.4,拉普拉斯变换的基本性质,式中：,称为函数,f,1,(,t,),与,f,2,(,t,),的,卷积,而,(7) 卷积定理2.2.4 拉普拉斯变换的基本,2.2.5,拉普拉斯反变换,(1),拉普拉斯反变换的定义,将象函数,F,(,s,),变换成与之相对应的原函数,f,(,t,),的过程，称之为拉普拉斯反变换。其公式：,2.2,拉普,拉斯变换,拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用,部分分式展开法,。,简写为：,2.2.5 拉普拉斯反变换2.2 拉普拉斯变换,如果把,f,(,t,),的拉氏变换,F,(,s,),分成各个部分之和，即,2.2.5,拉普拉斯反变换,假若,F,1,(,s,),、,F,2,(,s,),，,，,F,n,(,s,),的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么,当,F,(,s,),不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分分式展开将,F,(,s,),分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的,F,(,s,),的拉氏反变换,f,(,t,),函数。,如果把 f(t) 的拉氏变换 F(s) 分成,(2),部分分式展开法,在系统分析问题中，,F,(,s,),常具有如下形式：,2.2.5,拉普拉斯反变换,式中,A,(,s,),和,B,(,s,),是,s,的多项式，,B,(,s,),的阶次较,A,(,s,),阶次要高。,对于这种称为有理真分式的象函数,F,(,s,),，分母,B,(,s,),应首先进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到,F,(,s,),的拉氏反变换函数。,(2) 部分分式展开法2.2.5 拉普拉斯反,将分母,B,(,s,),进行因子分解，写成：,2.2.5,拉普拉斯反变换,式中，,p,1,，,p,2,，,，,p,n,称为,B,(,s,),的根，或,F,(,s,),的极点，它们可以是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定成对共轭的。,当,A,(,s,),的阶次高于,B,(,s,),时，则应首先用分母,B,(,s,),去除分子,A,(,s,),，由此得到一个,s,的多项式，再加上一项具有分式形式的余项，其分子,s,多项式的阶次就化为低于分母,s,多项式阶次了。,将分母 B(s) 进行因子分解，写成：2.2,(1),分母,B,(,s,),无重根,此时，,F,(,s,),总可以展成简单的部分分式之和。即,式中，,a,k,(,k,=1,2,n,),是常数，系数,a,k,称为极点,s,=,-,p,k,处的留数。,2.2.5,拉普拉斯反变换,(1) 分母B(s)无重根式中，ak(k=1,a,k,的值可以用,在等式两边乘以,(,s,+,p,k,),，并把,s,=,-,p,k,代入的方法,求出。即,2.2.5,拉普拉斯反变换,ak 的值可以用在等式两边乘以 (s+pk),在所有展开项中，除去含有,a,k,的项外，其余项都消失了，因此留数,a,k,可由下式得到,因为,f,(,t,),时间的实函数，如,p,1,和,p,2,是共轭复数时，则留数,1,和,2,也必然是共轭复数。这种情况下，上式照样可以应用。共轭复留数中，只需计算一个复留数,1,(,或,2,),，而另一个复留数,2,(,或,1,),，自然也知道了。,2.2.5,拉普拉斯反变换,在所有展开项中，除去含有 ak 的项外，其余,例题,1,求,F,(,s,),的拉氏反变换，已知,解,由留数的计算公式，得,2.2.5,拉普拉斯反变换,例题1 求F(s)的拉氏反变换，已知解由留数的计算公式,因此,查拉氏变换表，得,2.2.5,拉普拉斯反变换,因此查拉氏变换表，得2.2.5 拉普拉斯反变换,解：,分母多项式可以因子分解为,进行因子分解后，可对,F,(,s,),展开成部分分式,2.2.5,拉普拉斯反变换,例题,2,求,L,-,1,F,(,s,),，已知,解： 分母多项式可以因子分解为进行因子分解后，可对F(s),2.2.5,拉普拉斯反变换,由留数的计算公式，得,由于,2,与,1,共轭，故,2.2.5 拉普拉斯反变换由留数的计算公式，得由于2与1,所以,2.2.5,拉普拉斯反变换,所以2.2.5 拉普拉斯反变换,2.2.5,拉普拉斯反变换,查拉氏变换表，得,2.2.5 拉普拉斯反变换查拉氏变换表，得,(2),分母,B,(,s,),有重根,若有三重根，并为,p,1,，则,F,(,s,),的一般表达式为,式中系数,2,3,n,仍按照上述无重根的方法,(,留数计算公式,),，而重根的系数,11,12,13,可按以下方法求得。,2.2.5,拉普拉斯反变换,(2) 分母B(s)有重根式中系数2, ,2.2.5,拉普拉斯反变换,依此类推，当,p,1,为,k,重根时，其系数为：,2.2.5 拉普拉斯反变换 依此类推，当 p1,例题,3,已知,F,(,s,),，求,L,-,1,F,(,s,),。,解,p,1,=,-,1,，,p,1,有三重根。,2.2.5,拉普拉斯反变换,例题3 已知F(s)，求L-1F(s)。解p1=,由上述公式,2.2.5,拉普拉斯反变换,由上述公式2.2.5 拉普拉斯反变换,查拉氏变换表，有,2.2.5,拉普拉斯反变换,因此，得：,查拉氏变换表，有2.2.5 拉普拉斯反变换因此，得：,利用拉氏变换解微分方程的步骤：,(1),对给定的微分方程等式两端取拉氏变换，变微分方程为,s,变量的代数方程。,(2),对以,s,为变换的代数方程加以整理，得到微分方程求解的变量的拉氏表达式。对这个变量求拉氏反变换，即得在时域中（以时间,t,为参变量）微分方程的解。,采用拉氏反变换的方法，可以求得线性定常微分方程的全解,(,补解和特解,),。求解微分方程，可以采用数学分析方法,(,经典方法,),，也可以采用拉氏变换方法。采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。,2.2.5,拉普拉斯反变换,利用拉氏变换解微分方程的步骤：,例题,解方程,利用拉氏变换解常系数线性微分方程,其中：,解：,将方程两边取拉氏变换，得,将 代入，并整理，得,所以,例题 解方程利用拉氏变换解常系数线性微分方程其中：解,