旋转矩阵的性质

,PHOTOGRAMMETRY,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,数,字,摄,影,测,量,学,PHOTOGRAMMETRY,1,数字摄影测量学,PHOTOGRAMMETRY,王志勇,2,航摄像片是三维地面向二维像面的奇异线性变换。,中心投影,地面航摄像片,垂直投影,地面地形图,3,、航摄像片是地面的中心投影,复习,如何将中心投影的航摄像片转化为垂直投影的地形图，就成为了航空摄影测量学的主要任务之一。,测图,3,点,的中心投影,一般,是点（特例）。,线段,的中心投影一般是线段（特例）。,相交线段,的中心投影一般是相交线段。,（特例）,空间一组不与承影面平行的平行直线,，其中,心投影为一平面线束。,平面曲线,的中心投影一般是平面曲线。,空间曲线,的中心投影是平面曲线。,4,、中心投影的主要特征,复习,4,二,透视变换及其特别点、线、面,1,、透视变换定义,（,Definition of the Perspective Transform,）,两个平面之间的中心投影变换，称为,透视变换,。,在透视变换的情况下，投影中心称为,透视中心,，像点也称为,透视,，物点称为,投影,。,T,S,P,复习,5,像平面坐标系,像空间坐标系,摄影测量坐标系,地面辅助坐标系,大地坐标系,三,常用的坐标系统,复习,6,像平面坐标系,像空间坐标系,摄测坐标系,大地坐标系,像面,物面,量测坐标系,起算坐标系,运算坐标系,成果坐标系,像方坐标系,物方坐标系,坐标系间的关系,框标坐标系,像空间坐标系,地面辅助坐标系,大地坐标系,像点,地面点,摄影测量,关系,?,内方位元素,外方位元素,关系,?,四,像片的方位元素,关系已知,线元素：,角元素：,内方位元素,3,个，外方位元素,6,个。,复习,8,问题的提出,A,a,o,S,f,9,10,一、像点的平面坐标变换,二、像点的空间坐标变换,三、旋转矩阵的性质,四、旋转矩阵的构成,3-4,像点坐标变换,内 容 安 排,难点,11,A,a,o,S,z,x,y,x,y,Z,Y,X,y,x,-f,Y,X,Z,目的：,建立同一个点在像方坐标系与物方坐标系中坐标之间的对应关系。,3-4,像点坐标变换,一点二系,12,一、像点的平面坐标变换,x,y,o,x,y,a,由平面解析几何,3-4,像点坐标变换,适应于同一原点的平面坐标系之间的变换,13,方向,余弦,正交矩阵,3-4,像点坐标变换,一、像点的平面坐标变换,14,反算公式为,3-4,像点坐标变换,一、像点的平面坐标变换,15,x,y,o,x,y,o,y,0,x,0,a,当原点不同时，应加入坐标原点的,平移量,3-4,像点坐标变换,一、像点的平面坐标变换,16,二、像点空间坐标变换,x,y,o,z,x,y,s,X,Y,Z,像点的空间坐标变换通常是指,像空间坐标系,（,x,y,-f,）与,像空间辅助坐标系,（,X,Y,Z,）之间的变换,3-4,像点坐标变换,17,R,称为旋转矩阵，,R,为,正交矩阵,，由三个独立参数确定,x,y,o,z,x,y,s,X,Y,Z,3-4,像点坐标变换,二、像点空间坐标变换,18,先绕主轴,Y,轴旋转,角，再绕已转了,角的副轴,X,旋转,角，最后绕已经转了,和,角的轴,Z, ,（主光轴的实际位置）旋转,角，到达像空间坐标系的实际位置,1,）以,Y,轴为主轴的,、系统的坐标变换,3-4,像点坐标变换,将空间坐标变换问题转化为三次平面坐标变换,19,S-XYZ,绕,Y,轴旋转,角到,S-XYZ,X,Y,Z,S,X,Z,a,1,）以,Y,轴为主轴的,、系统的坐标变换,3-4,像点坐标变换,第一步,20,S-X,YZ,绕,X,轴旋转,角到,S-XYZ,Y,X,Z,S,Y,Z,a,3-4,像点坐标变换,第二步,21,S-XYZ,绕,Z,轴旋转,角到,S-XYZ(s-xyz),a,X,Z,Y,S,X,Y,3-4,像点坐标变换,第三步,22,3-4,像点坐标变换,23,a,1,= coscos - sinsinsin,a,2,=,-,cos,sin,sin,sin,cos,a,3,=,-,sin,cos,b,1,= cos,sin,b,2,= cos,cos,b,3,=,-,sin,c,1,= sin,cos,+,cos,sin,sin,c,2,=,-,sin,sin,+,cos,sin,cos,c,3,= cos,cos,3-4,像点坐标变换,矩阵元素,24,2,）以,X,轴为主轴的,，,、,，,、,，,系统的坐标变换,3-4,像点坐标变换,25,3-4,像点坐标变换,26,a,1,= cos,cos,a,2,=,-,cos,sin,a,3,=,-,sin,b,1,= cos,sin,sin,sin,cos,b,2,= cos,cos,+,sin,sin,sin,b,3,=,-,sin,cos,c,1,= sin,sin,+,cos,sin,cos,c,2,= sin,cos,-,cos,sin,sin,c,3,= cos,cos,3-4,像点坐标变换,27,3,）以,Z,轴为主轴的,A-,-,v,系统的坐标变换,3-4,像点坐标变换,28,a,1,= cosAcosv+sinAcos,sinv,a,2,=,-,cos,A,sin,v+sinAcos,cos,v,a,3,=,-,sin,Asin,b,1,=,-,sin,Acos v +cosAcos,sinv,b,2,= sinA,sinv,+ cosAcos,cosv,b,3,=,-,cosAsin,c,1,=,sin,sinv,c,2,=,sin,cosv,c,3,=,cos,旋转矩阵中，各元素的表达式为,3-4,像点坐标变换,29,x,y,z,X,Y,Z,a,1,a,2,a,3,b,1,b,2,b,3,c,1,c,2,c,3,写成矩阵形式,由线性代数知,：,R,T,=R,-1,A,A,A,由空间解析几何知识可知,z,x,y,S,Z,Y,X,旋转矩阵,3-4,像点坐标变换,30,旋转矩阵是一个正交矩阵。,同一行（列）各元素的自乘之和为,1,任意二行（列）对应元素的互乘之和为,0,行列式的值等于,1,每一元素等于其对应代数余子式,三个独立的方向余弦。,旋转矩阵,性质,旋转矩阵,R,T,=R,-1,3-4,像点坐标变换,三、旋转矩阵的性质,31,3-4,像点坐标变换,(1),同一行（列）各元素的自乘之和为,1,(2),任意二行（列）对应元素的互乘之和为,0,三、旋转矩阵的性质,32,3-4,像点坐标变换,(3),行列式的值等于,1,三、旋转矩阵的性质,33,(4),每一元素等于其对应代数余子式,3-4,像点坐标变换,三、旋转矩阵的性质,34,N,S,X,Z,Y,X,Y,x,y,x,y,z,1,、,利用三个角方位元素构成旋转矩阵,像辅系 绕 轴,旋转 角到 位置,坐标系 绕 轴,旋转 角到 位置,坐标系 绕 轴,旋转 角到 位置,特点：几何意义明确，便于公式线性化；,3-4,像点坐标变换,四、旋转矩阵的构成,35,像辅系 绕 轴,旋转 角到 位置,3-4,像点坐标变换,四、旋转矩阵的构成,36,坐标系 绕 轴,旋转 角到 位置,3-4,像点坐标变换,四、旋转矩阵的构成,37,坐标系 绕 轴,旋转 角到 位置,3-4,像点坐标变换,四、旋转矩阵的构成,38,3-4,像点坐标变换,四、旋转矩阵的构成,39,3-4,像点坐标变换,40,3-4,像点坐标变换,41,2,、,利用三个独立的方向余弦构成旋转矩阵,原则：,1,）三个元素互相独立，故该三个元素不能位于同一行、同一列。,2,）尽量不在对角线上（不便于求解其它的方向余弦）。,3-4,像点坐标变换,一般选,a,2,、,a,3,、,b,3,42,3-4,像点坐标变换,已知,a2,、,a3,、,b3,43,1,2,3,4,5,6,3-4,像点坐标变换,2,、,利用三个独立的方向余弦构成旋转矩阵,44,由以上元素组成的旋转矩阵为,3-4,像点坐标变换,45,说明：,主对角线,a,1,、,b,2,、,c,3,由开方求得，其值可正可负，应依据实际情况判断。但在近似垂直摄影情况下，均为正。,b,1,、,c,1,、,c,2,其值可正可负，为了避免麻烦，不采用开方公式。,为何选,a,2,、,a,3,、,b,3,?,3-4,像点坐标变换,在一次项情况下，,46,(3),由反对称矩阵的三个参数组成,特点：避免三角函数运算、开方运算以及正负号判断。,反对称矩阵,：主对角线元素为零，非对角线元素的数值对称，但符号相反，即,S,T,S,。,设三个独立参数为,a,、,b,、,c,，则,47,可以证明一个反对称矩阵总是对应一个正交矩阵：,证明思路：只要证明,48,该矩阵称为,Rodrigues,矩阵。,3-4,像点坐标变换,49,(4),旋转矩阵的一次项近似关系式,注：在一次项情况下，,M,不是严格的正交矩阵。,均是单位阵与一反对称矩阵之和构成。,近似垂直摄影情况下，可以认为外方位角元素是微小值，此时有：,3-4,像点坐标变换,50,当用三个独立方向余弦组成旋转矩阵时，可得到类似近似表达式：,当用罗德里格矩阵组成旋转矩阵时，同样可得：,(4),旋转矩阵的一次项近似关系式,3-4,像点坐标变换,51,思考题,1,、什么是旋转矩阵？它有哪些主要性质？常见的构成方法有哪些？,2,、在摄影测量中有哪几种转角系统，它们各是如何定义的？,旋转矩阵,R,中有几个独立元素？,3-4,像点坐标变换,共线条件方程及其应用,预习,