常数项级数的基本概念和性质课件

单击此处编辑母版标题样式,常数项级数的基本概念和性质课件,第十一章,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,傅氏级数,第十一章无穷级数 无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研,常数项级数的,基本概念和性质,二 、收敛级数的性质,一、常数项级数的概念,第十一章,第一节,常数项级数的 二 、收敛级数的性质 一、常数项级数的概念,引例,1,一、常数项级数的概念,1.,引例,引例1 一、常数项级数的概念1. 引例,引例,2,引例2,用圆内接正多边形面积逼近圆面积,.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于,圆的面积,：,设,a,0,表示,a,k,表示边数,则圆内接正,引例,3,内接正三角形面积,增加时增加的面积,用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形, 这个和,一般项,：,级数的,和,2.,定义,给定数列,无穷级数,:,部分和,：,无穷级数,收敛：,记作,级数的,余项,：,无穷级数,发散,：,级数收敛时,，,一般项：级数的和2. 定义给定数列无穷级数:部分和：无穷级数,例,1,(,几何级数,),1),若,知,故级数收敛,知,则部分和,故级数发散,.,其和为,证明等比级数,当 时收敛,当 时发散,.,证,例1 (几何级数) 1) 若知故级数收敛 ,知则部分和故级数,2),若,级数发散,;,n,为奇数,n,为偶数,结论：,时收敛,时发散,.,则,级数为,不存在,等比级数,等比,级数,因此级数发散,.,2) 若级数发散 ;n 为奇数n 为偶数结论：时收敛,时发散,拆项相消,解,所以级数发散,.,例,2,判别级数 的敛散性,.,部分和,拆项相消解 所以级数发散.例2 判别级数,证,(,方法,1),例,3,发散,.,证(方法1)例3发散.,1,2,n,n,+1,u,n,(,方法,2),x,y,o,12nn+1un(方法2)xyo,(,方法,3),(方法3),(,方法,4),见后面,.,(方法4)见后面.,二、收敛级数的性质,性质,1,若,收敛,证,令,则,收敛,其和为,c S .,推论,1,其和为,c S.,收敛，则,故,敛散性相同,.,二、收敛级数的性质 性质1 若收敛 ,证 令则收敛 ,性质,2,设收敛级数,则,也收敛,其和为,注,的敛散性规律：,收收为收，,收发为发，,发发,不一定,发,.,例如,1,收敛级数可逐项相加,(,减,).,2,性质2 设收敛级数则也收敛, 其和为注 的敛散性规,性质,3,级数前面加上,不影响级数的敛散性,.,证,去掉前,k,项,的部分,数敛散性相同,.,收敛时,其和,故新旧级,新级数,同敛散，,有限项不影响,级数的敛散性,（去掉、或修改）,有限项,和为,性质3级数前面加上 不影响级数的敛散性.证 去掉前 k 项,性质,4,收敛级数,加括弧,后,原级数的和,.,证,设,收敛，任意加括弧,所成的级数仍收敛于,性质4 收敛级数加括弧后原级数的和.证 设收敛，任意加括,常数项级数的基本概念和性质课件,推论,2,若加括弧后的级数发散,但,例如,，,则原级数必发散,.,用反证法,注,？,收敛级数去括弧后所成的级数,不一定,收敛,.,收敛,发散,推论2 若加括弧后的级数发散, 但例如， 则原级数必发散,例,3,的敛散性.,解,(,方法,4),例3的敛散性.解(方法4),例,4,判断级数的敛散性,解,加括号级数为,故,加括号,级数发散,从而原级数发散.,例4 判断级数的敛散性解 加括号级数为故加括号级数发散,性质,5,（,级数收敛的必要条件）,设,收敛，则,证,注,非级数收敛的充分条件,.,例如,调和级数,发散，,性质5（级数收敛的必要条件） 设收敛，则证 注非级数收敛的充,故所给级数发散,.,则级数 必发散,.,推论,3,若,例,5,(1),解,(1),故原级数发散,.,故所给级数发散.则级数 必发散 .推论3,小结,:,收敛,发散,小结:收敛发散,例,6,判断敛散性,若收敛求其和,:,解,令,则,故级数发散,.,例6 判断敛散性, 若收敛求其和:解 令则故级数,例,7,判断级数的敛散性：,解,例7 判断级数的敛散性：解,原级数收敛,其和为,3 .,原级数收敛, 其和为 3 .,内容小结,1.,无穷,级数概念,：,级数收敛、发散，部分和，余项,2.,两个常见级数的敛散性：,(1),等比级数,(2) 调和级数,内容小结1. 无穷级数概念：级数收敛、发散，部分和，余项2.,3.,级数,性质：,(1),敛散性相同,(2) 收敛级数可以逐项相加，,(3),级数,加,不影响其敛散性.,（去或改）,有限项,(4),收敛级数,加括弧,后,仍收敛于原级数的和.,(5),级数收敛的,必要条件,:,一般项的极限为零,3. 级数性质：(1)敛散性相同 (2) 收敛级数可以逐项,所以级数收敛,其和为,1 .,“,拆项相消,” 求和,解,备用题,例,2-1,所以级数收敛, 其和为 1 .“拆项相消” 求和解 备用题,例,2-2,判断敛散性,若收敛求其和,:,解,拆项相消,原级数收敛,其和为,例2-2 判断敛散性, 若收敛求其和:解拆项相消原级数收敛,例,3-1,判别级数,的敛散性,.,解,故原级数收敛,其和为,例3-1判别级数的敛散性 .解故原级数收敛 , 其和为,例,4-1,判断级数的敛散性,解,加括号级数,发散,故原级数发散,.,一般项,例4-1 判断级数的敛散性解 加括号级数发散 ,故原,