b10分析06一致逼近ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第章,6-,*,W Y,第六章,函数逼近,（,最佳一致逼近,）,6-,1,第章,第六章函数逼近（最佳一致逼近）6-1第章,第六章目录,1 最小二乘法原理和多项式拟合,2 一般最小二乘拟合,2.1线性最小二乘法的一般形式,2.2非线性最小二乘拟合,3 正交多项式曲线拟合,3.1离散正交多项式,3.2用离散正交多项式作曲线拟合,4 函数的最佳平方逼近,5 最佳一致逼近,2,第章,第六章目录1 最小二乘法原理和多项式拟合2第章,5 最佳一致逼近多项式,在度量标准,下，求,(,x,) ，使,（达到最小），这就是最佳一致逼近（不要产生最大误差，均匀一些），通常仍 然取,(,x,)为多项式，即求多项式,(,x,)使残差：,绝对值的最大值 达到最小。或可写为：在,H,中求满足,(,x,) （,f,的逼近函数,(,x,) ）：,即在,H,中,(,x,)与,f,(,x,)之差的绝对值的最大值是最小的，,H,中,任一,(,x,)与,f,(,x,)之差的绝对值的最大值都比它大，这样的,(,x,)为,f,(,x,)在,H,中的,最佳一致逼近函数,。,3,第章,5 最佳一致逼近多项式 在度量标准 下，求 (x) ，,最佳一致逼近多项式（续）,特别：若,则满足上面,关系式的,称为,f,(,x,)在,a,b,上的,n次最佳一致逼近多项式,。,记,称为偏差,。,偏差点：,若,满足,则称,x,0,为,(,x,)的,偏差点,，偏差点为正，称为正偏差点，,偏差点为负，称为负偏差点,可以从下面例中理解有关概念。,4,第章,最佳一致逼近多项式（续）特别：若则满足上面称为f(x)在a,引例,例如：要求区间0,1上,y=arctgx,的一次近似式可以有多种方法：,（1）,Talor,公式,：,tg,1,x,x,误差,R,(,x,)=,tg,1,x,-,x,，在,x,=0附近很小，,x,=1时误差最大，,R,(,x,)|,x,=1,=0.2146；,（2）,插值:,x,=0,1作节点=,L,1,(,x,)=,x,/4，,tg,1,x,x,/4，,其误差在,处，即在1附近较大为0.0711；,（3）,最小二乘法,（例10 4中）,误差在,x,=1处最大为0.0493（比前二式误差小）。,5,第章,引例 例如：要求区间0,1上y=arctgx的,问题：,由最小二乘法得到的,arctgx,0.0429+0.7918,x,是在最小,二乘意义下的最佳逼近多项式，是不是最好的？ 这里,“最好”,的标准是什么？,这个标准就是,“一致逼近”,的概念，,它应使最大偏差尽可能小（或者说达到最小）。,引例（续1）,0,1上,y= tg,1,x,的近似一次式就是,曲线,y= tg,1,的近似直线，图6-3中，,OA,为,arctgx,的曲线，,OA,为,OA,的弦，,CB,为平切线,，F为切 点，作为近似直线：,OA,是不是最好的？回答是否,定的！,在,x,=,处产生较大偏差,或者说误差最大,。,那么,CB,是不是最好的？,结论仍然是否定的！,图6-3,B,E,A,O,X,Y,D,C,arctgx,1,几何上：如图6-3，,6,第章,问题：引例（续1）,引 例（续2）,在,x,=0，,x,=1处产生较大偏差不仅如此：作,DE,（,OA,与,CB,的中线），在,OA,到,DE,间，,CB,到,DE,间直线都不是最好,的，,若最好的近似直线在,OA,到,DE,间，必然在,x,=,处产,生较大偏差，若在,CB,到,DE,间则必然在,x,=0及,x,=1处产生较,大偏差。,只有,DE,才是符合这里“标准”的最好近似直线,（误差均匀），不产生最大偏差标准下的使最大偏差达到了最小。,这样的,DE,如何求：设为,a,0,+,a,1,x,，误差,R,(,x,)=,arctgx,-,a,0,-,a,1,x,。,R,(,x,)在,x=,0,1这三点处绝对值,最大，别的地方误差不会比这三,点处的误差大，（图上清楚）。,在,x=,0处，直线在上，曲线在下；,而,R,(,x,)在,x,=,处曲线在上，直线,在下，,R,(,x,)的符号正负相间；,在,x=,1处，直线在上，曲线在下；,可假定最大偏差值为E，则有：,图6-3,B,E,A,O,X,Y,D,C,arctgx,1,7,第章,引 例（续2） 在x=0，x=1处产生较大偏差不仅如此,引 例（续3）,此近似式在,x,=,处（几何直观）误差最大为E=0.0356，,比前面得到任何一次近似式的最大误差都小。,好的近似直线,：偏差均匀（一样大），即在0,1三个点,（偏差点）处偏差值相同且最小。所以可利用偏差点使,偏差值最小，例题说明：一次最佳一致逼近多项式容易,求，因为偏差点偏差能找到。,8,第章,引 例（续3） 此近似式在x=处（几何直,最佳一致逼近概念,（按偏差）,按,偏差,，,最佳一致逼近问题,为：,在,n,次多项式中，求一个,与其它任一个,n,次多,项式,(,x,)对,f,(,x,)的偏差,相比较是最小,的，亦即：,其最小值,称为,最小偏差,，,(,x,)是,f,(,x,)在,a,b,上的,n,次最佳一致逼近,多项式。,下面的切,比雪夫定理,表明： 这样的最佳一致逼近多项式,是唯一存在的这个理论问题。,(,x,) ，在,a,b,上使,(,x,)对,f,(,x,)的,偏差,也可写作：对于,H,n,（,n,次多项式的集合）中不同的,(,x,) ，,有不同的偏差值,9,第章,最佳一致逼近概念 （按偏差）按偏差，最佳一致逼近问题为： 在,切比雪夫定理,定理6.6,P,n,(,x,),H,n,是,f,(,x,),Ca,b的最佳一致逼近多项式的,充要条件是,P,n,(,x,)在,a,b,上至少有,n,+2个不同的依次轮流为,正，负的偏差点（这些点称为切比雪夫交错点组）。,切比雪夫定理给出了最佳一致逼近多项式的特征，性质，在最佳一致逼近理论中起着重要作用。,推论1,如果,f,(,x,),C,a,b,，则在,H,n,中存在唯一的最佳一致,逼近多项式。,设,f,(,x,),C,a,b,，则,f,(,x,)在,H,n,中的最佳一致逼近多项,式,P,n,(,x,)，就是,f,(,x,)在,a,b,上的某个,n,次,Lagrange,插,值多项式。,推论2,（推论2证明下屏）,（,n,+2个点是唯一的）,10,第章,切比雪夫定理定理6.6 Pn,推论3,设,f,(,x,)在(,a,b,)内的,n,+1阶导数存在，且,f,(n+1),(,x,)定号或为正（为负），则区间端点,a,b,都属于,f,(,x,)的,n,次最佳一致逼近多项式的那,n,+2个偏差点。,P,n,(,x,)有,n,+2个偏差点，亦即使,f,(,x,) ,P,n,(,x,)在,a,b,上至少有,n,+2个点交替换正负号，亦就是说,f,(,x,),P,n,(,x,)=0在,a,b,上有,n,+1个根,存在,n,+1个点：,a,x,0,x,n,b,使,f,(,x,i,),P,n,(,x,i,)=0 即：,f,(,x,i,)=,P,n,(,x,i,) (,i,=0,1,2,n,) , 所以，以此作为插值条件可得到,P,n,(,x,)，因此，,P,n,(,x,)就是以,x,0,x,1,x,n,为插值节点的,n,次值多项式 。,切比雪夫定理（续1）,切比雪夫定理,不仅给出了最佳一致逼近多项式的特征，,并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法：,（紧接下屏）,11,第章,推论3 设f (x)在(a,b)内的n+1阶导数存在，且f(,切比雪夫定理（续2）,则,P,n,(,x,)的,n,+1个系数,a,0,a,1,a,n,，最小偏差值,E,n,及,n,+2个偏差点,a,x,0,x,1,0 (0)定号即在,a,b,上不变号，保持凹（凸），故,f,(,x,)在,a,b,上单调增（减）。,在（,a,b,）内只有一个零点,x,1,(,x,0,x,2,取,a,b,两点，（只剩 一个）也就是唯一的一个偏差点（极值点）使,f,(,x,1,),P,(,x,1,)=0,（紧接下屏）,14,第章,一次最佳一致逼近多项式对n=1的最佳一致逼近多项式P1(x),一次最佳一致逼近多项式（续）,15,第章,一次最佳一致逼近多项式（续）15第章,一次最佳一致逼近多项式,举例,例11,解设,P,1,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,是,f,(,x,)的最佳致逼近一次式。由定理6.6函数,P,1,(,x,)在0,1上至少有三个等幅振动点，设为：,0,x,1,x,2,x,3,1,，由于,求 在0,1上的一次最佳一致逼近多项式。,在(0,1)上单调减少，且仅有一驻点，故,f,(,x,),P,1,(,x,)在(0,1)内只有一个偏差点,x,2,，它满足,所以：,16,第章,一次最佳一致逼近多项式举例例11解设P1(x)=a0+a,例11续,亦即有：,将（16）(17）(18)联立求解得：,a,1,=1,x,2,=1/4,a,0,=1/8,另两个偏差点为,x,1,=0,x,3,=1于是,17,第章,例11续亦即有：将（16）(17）(18)联立求解得：另两个,例11（续）,在,0,1,上的一次最佳一致逼近多项式为：,如图6-4,所示，,是一条与(0,0)，(1,1),的直线。,两点联线及,的与这条联线平行的,切线等距,图 6-4,X,Y,1,0.5,所以,18,第章,例11（续）在0,1上的一次最佳一致逼近多项式为：如图6,切比雪夫插值法,对定义在任意区间,a,b,上的,函数,f,(,x,)，作变换：,即可将定义在,a,b,上的,f,(,x,)，化为定义在-1，1上的函数,g,(,t,)：,因此，下面仅对区间-1，1进行讨论。,切比雪夫插值法,是将切比雪夫多项式的性质与插值结合，来求出函数的近似的最佳一致逼近多项式。其基本思想是：,上面已谈到最佳一致逼近多项式难求，下面讨论求近似的最佳一致逼近多项式。,（紧接下屏）,19,第章,切比雪夫插值法 对定义在任意区间a,b上的 即可将定义,切比雪夫插值法（续1）,以切比雪夫多项式,T,n,+1,(,x,)的n+1个零点：,为节点构造,f,(,x,)的n次插值多项式,n,(,x,)，而以,n,(,x,)作为n次最佳一致逼近多项式的近似。,定理6.7（,切比雪夫性质,）设H为最高项系数为1的n次多项式的集合，则有,20,第章,切比雪夫插值法（续1）以切比雪夫多项式Tn+1(x)的n+1,由切比雪夫多项式的性质，在-1，1上在n+1个偏差点（极值点）：,证明,）,用反证法）：假设存在,使得,：,因为,于是,令,：,处有：,（紧接下屏）,定理6.7（切比雪夫性质）证明,21,第章,由切比雪夫多项式的性质，在-1，1上在n+1个偏差,即在,n,+1个偏差点处,Q,(,x,)轮流取上负值，因此由连续函数介值定理， 在-1，1上应具有,n,个零点。但 ：,和,P,n,(,x,)都是最高次项系数为1的n次多项,式，,Q,(,x,)作为它们的差，至少是n-1次多项式，不可能有n个零点，所以,定理得证,。,因此有：,定理6.7证明（续）,22,第章,即在n+1个偏差点处Q(x)轮流取上负值，因此由连续函数介,切比雪夫插值法（续4）,因此，对于-1，1上的,f,(,x,)，若以,T,n,+1,(,x,)的n+1个,零点作n次插值多项式,n,(,x,),，其插值余项为：,定理6.7说明，在,H,中的 最大绝对值最小，故对表达式：,仅当,x,0,x,1,x,n,取为,T,n,+1,(,x,)的零点时达到最小值2,n,。,（紧接下屏）,23,第章,切比雪夫插值法（续4） 因此，对于-1，1上的f (,切比雪夫插值法（续5）,这表明以,n,(x),作n次插值多项式，比,采用其它n+1个节点插值所产生的误差,都要小，因而,n次切比雪夫插值多项式,可作为,n次最佳一致逼近多项式的近似。,24,第章,切比雪夫插值法（续5） 这表明以 n(x)作n次插,切比雪夫插值法步骤,用切比雪夫插值法求,f,(,x,)在,a,b,的,n,次最佳一致逼近多项式,n,(,x,)的步骤为：,1. 变换区间,a,b,-1,1（切比雪夫多项式定义在 -1,1上）,2.,25,第章,切比雪夫插值法步骤 用切比雪夫插值法求f(x),求三次逼近多项式举例,例9,分别用,Taylor,展开,，,Newton,插值,及,Chbyshev,插值,求,f,(,x,)=,xe,x,在0,1.5上的三次逼近多项式。,26,第章,求三次逼近多项式举例例9分别用Taylor展开，Newton,例9,解 （2）,Newton,插值,x,i,f,i,2,3,0,0,1,0.5,0.8244,1.6488,x,1,2.7183,3.7878,2.139,x,(,x,-0.5),1.5,6.7225,8.0084,4.2206,1.3877,x,(,x,0.5)(,x,1),三次Newton插值多项式为：,其误差为：,解（2）取节点,x,0,=0,x,1,=0.5,x,2,=1,x,3,=1.5，,Newton,插值的,计算过程见下表,27,第章,例9解 （2）Newton插值xifi2300,例9,解 （3）,Chebyshev,插值,以,x,k,(,k,=0,1,2,3)为节点求插值多项仍用,Newton,插值计算，结果见下表：,解（3）,Chebyshev,插值。,首先按式（6.18）求 的零点,28,第章,例9解 （3）Chebyshev插值以xk(k=0,1,例9,解 （3）,Chebyshev,插值（续1）,x,i,f,i,2,3,0.0571,0.06046,1,0.463,0.7356,1.6633,(,x,0.0571),1.037,2.9251,3.8145,2.1953,x,(,x,-0.0571)(x-0.463),1.4429,6.1077,7.8408,4.1089,1.3809,x,(,x,-0.0571)(,x,-0.463)(,x,-1.037),所以三次最佳一致逼近多项式为：,29,第章,例9解 （3）Chebyshev插值（续1）xifi,例10,上的三次最佳一致逼近多项式。,分析：要求,f(x),的最佳一致逼近多项式,p,3,(x),即要使,达到最小此时,也达到最小,是首项系数为1的四次多项式,考虑到,由,切比雪夫性质（,定理6.7,）知道，当取,为首项系数为,1的,四次切比雪夫,多项式 时，,上与0的偏差最小。,于是可取,30,第章,例10上的三次最佳一致逼近多项式。分析：要求f(x)的最佳一,例10（续）,一般地，在区间-1，1上首项系数为,a,n,的,n,次多项式,f(x),的,n-1,次,最佳一致逼近多项式,-1，1 上首项系数为1的n次切比雪夫多项式,若区间为,a，b,可,1.,先做区间变换:,2.,3.最后得到,f(x),的,n,-1次,最佳一致逼近多项式,31,第章,例10（续）一般地，在区间-1，1上首项系数为an的n次,第六章,结 束,6-,32,第章,第六章结 束6-32第章,上机练习题：不同拟合模型的比较,已知观测数据如下表所示，按下述方案求最小二乘拟合函数，并求出,偏差平方和,Q,，比较拟合曲线的优劣。,方案I 拟合函数取为如下形式的三次多项式：,方案II 用离散正交多项式求三次拟合多项式,方案III 用离散正交多项式求四次拟合多项式,方案IV 拟合函数取为如下形式的函数：,33,第章,上机练习题：不同拟合模型的比较 已知观测数据如下表所,x,0,0.2,0.6,1.0,1.3,1.6,1.7,1.8,1.9,y,0,2.5,4.0,5.7,3.5,2.0,1.0,2.0,3.5,x,2.2,2.3,2.5,2.6,2.9,3.1,3.4,3.8,4.1,y,4.0,7.0,7.5,9.9,10.9,11.9,13.5,13.0,11.9,x,4.4,4.7,4.8,4.9,5.0,5.1,5.3,y,9.0,6.5,4.0,1.5,0.0,2.5,5.0,观测数据表,34,第章,x00.20.61.01.31.61.71.81.9y02,