梁的强度校核

. 梁 的 刚 度 校 核 对 于 产 生 弯 曲 变 形 的 杆 件 ， 在 满 足 强 度 条 件 的 同 时 ，为 保 证 其 正 常 工 作 还 需 对 弯 曲 位 移 加 以 限 制 ， 即 还 应 该 满足 刚 度 条 件 (stiffness condition)：式 中 ， l为 跨 长 ， 为 许 可 的 挠 度 与 跨 长 之 比 (简 称 许 可 挠跨 比 )， q为 许 可 转 角 。 上 列 刚 度 条 件 常 称 之 为 梁 的 刚 度条 件 。 lw lwlwmax max qq 5-5梁 的 刚 度 校 核 .提 高 弯 曲 刚 度 的 措 施 土 建 工 程 中 通 常 只 限 制 梁 的 挠 跨 比 ， 。 在机 械 工 程 中 ， 对 于 主 要 的 轴 ， ； 对 于 传 动 轴 还要 求 限 制 在 安 装 齿 轮 处 和 轴 承 处 的 转 角 ， 。100012501lw10000150001lw rad001.0005.0q 例 题 1 图 a所 示 简 支 梁 由 两 根 槽 钢 组 成 (图 b)， 试 选 择 既满 足 强 度 条 件 又 满 足 刚 度 条 件 的 槽 钢 型 号 。 已 知 =170 MPa， =100 MPa， E=210 GPa， 。4001 lw 解 ： 一 般 情 况 下 ， 选 择 梁 的 截 面 尺 寸 或 选 择 型 钢 的 型号 时 ， 先 按 正 应 力 强 度 条 件 选 择 截 面 尺 寸 或 型 钢 型 号 ， 然后 按 切 应 力 强 度 条 件 以 及 刚 度 条 件 进 行 校 核 ， 必 要 时 再 作更 改 。 1. 按 正 应 力 强 度 条 件 选 择 槽 钢 型 号 作 梁 的 剪 力 图 和 弯 矩图 如 图 c和 图 e。 最 大 弯 矩在 距 左 支 座 0.8 m处 ，Mmax=62.4 kNm。 梁 所 需的 弯 曲 截 面 系 数 为 3663max m10367Pa10170 mN104.62 MWz 而 每 根 槽 钢 所 需 的 弯 曲 截 面 系 数 Wz367 10-6 m3/2=183.510-6m3。 由 型 钢 表 查 得 20a号 槽 钢 其 Wz=178 cm3， 虽 略 小 于 所 需的 Wz=183.5 10-6 m3而 最 大 弯 曲 正 应 力 将 略 高 于 许 用 弯 曲 正 应力 ， 但 如 超 过 不 到 5%， 则 工 程 上 还 是 允 许 的 。超 过 许 用 弯 曲 正 应 力 的 百 分 数 为 (175-170)/1703%， 未 超 过5%， 故 允 许 。 事 实 上 即 使 把 梁 的 自 重 (2 22.63 kg/m=0.4435 kg/m)考 虑 进 去 ， 超 过 许 用 弯 曲 正 应 力 的 百 分 数 仍 不 到 5%。 MPa175Pa10175m101782 mN104.62 6363max 现 加 以 检 验 ： 2. 按 切 应 力 强 度 条 件 校 核 最 大 剪 力 FS,max=138 kN， 在 左 支 座 以 右 0.4 m范 围 内 各横 截 面 上 。 每 根 槽 钢 承 受 的 最 大 剪 力 为每 根 20a号 槽 钢 其 横 截 面 在 中 性 轴 一侧 的 面 积 对 中 性 轴 的 静 矩 ， 根 据 该 号槽 钢 的 简 化 尺 寸 (图 d)可 计 算 如 下 ：N10692kN1382 3max,S F 3*max, mm000104 2 mm11100mm773mm11100mm50mm100mm73 zS 其 值 小 于 许 用 切 应 力 =100 MPa， 故 选 用 20a号 槽 钢 满 足 切应 力 强 度 条 件 。当 然 ， 的 值 也 可 按 下 式 得 出 ：*max,zS 3*max, mm104000 mm2 11100mm7mm11100mm211100mm11mm73 zS每 根 20a号 槽 钢 对 中 性 轴 的 惯 性 矩 由 型 钢 表 查 得 为 Iz =1780 cm4于 是 MPa57.6Pa106.57 m)107)(m10(1780 m10104N)1069()2/( 6 348- 3-63max,max,Smax dI SF z z 3. 按 刚 度 条 件 校 核 此 简 支 梁 上 各 集 中 荷 载 的 指 向 相 同 ， 故 可 将 跨 中 截面 C的 挠 度 wC作 为 梁 的 最 大 挠 度 wmax。 本 教 材 附 录 序 号11中 给 出 了 简 支 梁 受 单 个 集 中 荷 载 F 时 ， 若 荷 载 离 左 支 座的 距 离 a大 于 或 等 于 离 右 支 座 的 距 离 b， 跨 中 挠 度 wC的 计算 公 式 为可 见 ， 对 于 此 梁 上 的 左 边 两 个 集 中 荷 载 ， 应 为 EI blFbw C 48 43 22 EI alFawC 48 43 22 于 是 由 叠 加 原 理 可 得 m1066.4m1078012Pa1021048 mN101671 m6.04m4.23m6.0N1012 m9.04m4.23m9.0N1040 m8.04m4.23m8.0N1030 m4.04m4.23m4.0N10120481 3489 23 22223 22223 22223 22223max EIww C而 许 可 挠 度 为由 于 wmaxw， 故 选 用 20a号 槽 钢 满 足 刚 度 条 件 。 m106m4.24001 3 llww . 提 高 梁 的 刚 度 的 措 施(1) 增 大 梁 的 弯 曲 刚 度 EI 由 于 不 同 牌 号 的 钢 材 它 们 的 弹 性 模 量 E大 致 相 同(E210 GPa)， 故 从 增 大 梁 的 弯 曲 刚 度 来 说 采 用 高 强 度 钢并 无 明 显 好 处 。 为 增 大 钢 梁 的 弯 曲 刚 度 ， 钢 梁 的 横 截 面 均采 用 使 截 面 面 积 尽 可 能 分 布 在 距 中 性 轴 较 远 的 形 状 ， 以 增大 截 面 对 于 中 性 轴 的 惯 性 矩 Iz， 例 如 工 字 形 截 面 和 箱 形 截面 。 跨 长 为 l 的 简 支 梁 受 集 度 为 q的 满 布 均 布 荷 载 时 ， 最 大弯 矩 和 最 大 挠 度 均 出 现 在 跨 中 ， 它 们 分 别 为 22max 125.08 qlqlM EIqlEIqlw 44 max 0130.03845 (2) 调 整 跨 长 和 改 变 结 构 的 体 系 如 果 将 两 个 铰 支 座 各 内 移 一 个 距 离 a而 成 为 如 图 a所示 的 外 伸 梁 ， 且 a=0.207l， 则 不 仅 最 大 弯 矩 减 小 为而 且 跨 中 挠 度 减 小 为22max 0214.02 qlqa MMMM BAC EIql EI alqaEIalqww C 4 224max 616000.0 16 22238425 (a) 而 此 时 外 伸 端 D和 E的 挠 度 也 仅 为)(207000.0 2 )2(224 )2(8 4 234 EIql aEI alqaaEIalqEIqaww ED 所 谓 改 变 结 构 的 体 系 来 提 高 梁 的 刚 度 在 这 里 是 指 增 加梁 的 支 座 约 束 使 静 定 梁 成 为 超 静 定 梁 ， 例 如 在 悬 臂 梁 的 自由 端 增 加 一 个 铰 支 座 ， 又 例 如 在 简 支 梁 的 跨 中 增 加 一 个 铰支 座 。