小结与思考题课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4.3,定积分的应用,(103),*,第,4,章 定积分及其应用,4.3.1,定积分的几何应用,2024/8/13,1,北京师范大学,第4章 定积分及其应用4.3.1 定积分的几何应用2023/,4.3,定积分的应用,(103),2,1,、微元法,引例,曲边梯形面积,a,b,x,y,o,4.3.1,定积分的几何应用,4.3 定积分的应用(103)21、微元法引例 曲边梯形,4.3,定积分的应用,(103),3,面积表示为定积分的步骤如下,（,3,） 求和，得,A,的近似值,4.3 定积分的应用(103)3面积表示为定积分的步骤如下,4.3,定积分的应用,(103),4,（,4,） 求极限，得,A,的精确值,提示,a,b,x,y,o,面积元素,4.3 定积分的应用(103)4（4） 求极限，得A的精确,4.3,定积分的应用,(103),5,4.3 定积分的应用(103)5,4.3,定积分的应用,(103),6,微元法,的一般步骤：,4.3 定积分的应用(103)6微元法的一般步骤：,4.3,定积分的应用,(103),7,这个方法通常叫做,微元法,或,元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,4.3 定积分的应用(103)7这个方法通常叫做微元法或元,4.3,定积分的应用,(103),8,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,2,、直角坐标系情形,4.3 定积分的应用(103)8曲边梯形的面积曲边梯形的面,4.3,定积分的应用,(103),9,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,4.3 定积分的应用(103)9解两曲线的交点面积元素选,4.3,定积分的应用,(103),10,解,两曲线的交点,选 为积分变量,4.3 定积分的应用(103)10解两曲线的交点选,4.3,定积分的应用,(103),11,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,4.3 定积分的应用(103)11于是所求面积说明：注意各,4.3,定积分的应用,(103),12,解,两曲线的交点,选 为积分变量,4.3 定积分的应用(103)12解两曲线的交点选,4.3,定积分的应用,(103),13,设曲边梯形的曲边为参数方程：,则曲边梯形的面积,3,、参数方程情形,4.3 定积分的应用(103)13设曲边梯形的曲边为参数方,4.3,定积分的应用,(103),14,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于,4,倍第一象限部分面积,4.3 定积分的应用(103)14解椭圆的参数方程由对称性,4.3,定积分的应用,(103),15,面积元素,曲边扇形的面积,4,、极坐标系情形,4.3 定积分的应用(103)15面积元素曲边扇形的面积4,4.3,定积分的应用,(103),16,解,由对称性知总面积,=4,倍第一象限部分面积,4.3 定积分的应用(103)16解由对称性知总面积=4倍,4.3,定积分的应用,(103),17,解,利用对称性知,4.3 定积分的应用(103)17解利用对称性知,4.3,定积分的应用,(103),18,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积,.,（注意恰当的,选择积分变量,有助于简化积分运算）,4.3.3,小结与思考题,4.3 定积分的应用(103)18求在直角坐标系下、参数方,4.3,定积分的应用,(103),19,思考题,4.3 定积分的应用(103)19思考题,4.3,定积分的应用,(103),20,思考题解答,x,y,o,两边同时对 求导,4.3 定积分的应用(103)20思考题解答xyo两边同时,4.3,定积分的应用,(103),21,积分，得,所以，所求曲线为：,4.3 定积分的应用(103)21积分，得所以，所求曲线为,4.3,定积分的应用,(103),22,课堂练习题,4.3 定积分的应用(103)22课堂练习题,4.3,定积分的应用,(103),23,4.3 定积分的应用(103)23,4.3,定积分的应用,(103),24,课堂练习题答案,4.3 定积分的应用(103)24课堂练习题答案,4.3,定积分的应用,(103),25,旋转体,就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做,旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,5,、旋转体的体积,4.3 定积分的应用(103)25 旋转体就是由一个,4.3,定积分的应用,(103),26,x,y,o,4.3 定积分的应用(103)26xyo,4.3,定积分的应用,(103),27,旋转体的体积为：,4.3 定积分的应用(103)27旋转体的体积为：,4.3,定积分的应用,(103),28,解,直线 方程为,4.3 定积分的应用(103)28解直线 方程,4.3,定积分的应用,(103),29,4.3 定积分的应用(103)29,4.3,定积分的应用,(103),30,解,1,4.3 定积分的应用(103)30解1,4.3,定积分的应用,(103),31,解,2,4.3 定积分的应用(103)31解2,4.3,定积分的应用,(103),32,解,1,4.3 定积分的应用(103)32解1,4.3,定积分的应用,(103),33,解,2,4.3 定积分的应用(103)33解2,4.3,定积分的应用,(103),34,解,3,4.3 定积分的应用(103)34解3,4.3,定积分的应用,(103),35,4.3 定积分的应用(103)35,4.3,定积分的应用,(103),36,补充,:,上例,解,4,4.3 定积分的应用(103)36补充:上例解4,4.3,定积分的应用,(103),37,4.3 定积分的应用(103)37,4.3,定积分的应用,(103),38,解,体积元素为,4.3 定积分的应用(103)38解体积元素为,4.3,定积分的应用,(103),39,6,、平行截面面积为已知的立体体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上,立体体积,垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立,体的体积也可用定积分来计算,.,4.3 定积分的应用(103)396、平行截面面积为已知的,4.3,定积分的应用,(103),40,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,4.3 定积分的应用(103)40解取坐标系如图底圆方程为,4.3,定积分的应用,(103),41,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,4.3 定积分的应用(103)41解取坐标系如图底圆方程为,4.3,定积分的应用,(103),42,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,4.3.3,小结与思考题,4.3 定积分的应用(103)42旋转体的体积平行截面面积,4.3,定积分的应用,(103),43,*,思考题,4.3 定积分的应用(103)43*思考题,4.3,定积分的应用,(103),44,思考题解答,交点,立体体积,4.3 定积分的应用(103)44思考题解答交点立体体积,4.3,定积分的应用,(103),45,课堂练习题,4.3 定积分的应用(103)45课堂练习题,4.3,定积分的应用,(103),46,4.3 定积分的应用(103)46,4.3,定积分的应用,(103),47,课堂练习题答案,4.3 定积分的应用(103)47课堂练习题答案,4.3,定积分的应用,(103),48,7,、平面曲线的弧长,4.3 定积分的应用(103)487、平面曲线的弧长,4.3,定积分的应用,(103),49,4.3 定积分的应用(103)49,4.3,定积分的应用,(103),50,弧长元素,:,弧长公式,:,4.3 定积分的应用(103)50弧长元素:弧长公式:,4.3,定积分的应用,(103),51,解,所求弧长为,4.3 定积分的应用(103)51解所求弧长为,4.3,定积分的应用,(103),52,解,4.3 定积分的应用(103)52解,4.3,定积分的应用,(103),53,设曲线弧为,弧长公式,:,4.3 定积分的应用(103)53设曲线弧为弧长公式:,4.3,定积分的应用,(103),54,解,星形线的参数方程为,:,根据对称性,第一象限部分的弧长,4.3 定积分的应用(103)54解星形线的参数方程为:根,4.3,定积分的应用,(103),55,证,4.3 定积分的应用(103)55证,4.3,定积分的应用,(103),56,根据椭圆的对称性知,故原结论成立,.,4.3 定积分的应用(103)56根据椭圆的对称性知故原结,4.3,定积分的应用,(103),57,设曲线弧为,弧长公式,:,4.3 定积分的应用(103)57设曲线弧为弧长公式:,4.3,定积分的应用,(103),58,解,4.3 定积分的应用(103)58解,4.3,定积分的应用,(103),59,解,4.3 定积分的应用(103)59解,4.3,定积分的应用,(103),60,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,4.3.3,小结与思考题,4.3 定积分的应用(103)60平面曲线弧长的概念直角坐,4.3,定积分的应用,(103),61,思考题,4.3 定积分的应用(103)61思考题,4.3,定积分的应用,(103),62,思考题解答,不一定,仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长,4.3 定积分的应用(103)62思考题解答不一定,4.3,定积分的应用,(103),63,课堂练习题,4.3 定积分的应用(103)63课堂练习题,4.3,定积分的应用,(103),64,4.3 定积分的应用(103)64,4.3,定积分的应用,(103),65,课堂练习题答案,4.3 定积分的应用(103)65课堂练习题答案,