数值积分与数值微分课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2024/8/13,1,1,数值积分基本概念,2 插值型求积公式,4,Romberg,求积法,5 Gauss,型求积公式,第七章 数值积分与数值微分,6,数值微分,3,复化求积算法,2023/8/241 1 数值积分基本概念 2,2024/8/13,2,7.,1,数值积分基本概念,由积分学基本定理,Newton-Leibenize,公式有：,但在应用中常会碰到如下情况：,f,(,x,),的原函数无法用初等函数给出,f,(,x,),用表,格形式给出,虽然,f,(,x,),的原函数能用初等函数表示,但表达式过于复杂。,2023/8/2427.1 数值积分基本概念由积分学基本定,2024/8/13,3,一.求积公式,其中,R,f,称为,求积公式的余项,，,称为,求积节点,，,称为,求积系数,。,仅与求积节点,的选取有关，而不依赖与被积,函数,f,(,x,),的具体形式。,2023/8/243一.求积公式 其中Rf称为求积公式的,2024/8/13,4,二.求积公式的代数精确度,定义：,如果求积公式,对于一切不高于,m,次的代数多项式准确成立，,而对于某个,m,+1,次多项式并不准确成立，,则称上述求积公式具有,m,次代数精确度，,或称为具有,m,次,代数精度,。,衡量一个求积公式好坏的标准。,2023/8/244二.求积公式的代数精确度 定义：如果求积,2024/8/13,5,如果要构造具有,m,次代数精度的求积公式，,都能准确成立即可。,只要令它对于,求积公式的代数精确度,（续）,2023/8/245如果要构造具有m次代数精度的求积公式，都,2024/8/13,6,即若求积公式具有,m,次代数精度，,应满足上述方程组。,反之,亦然。,求积公式的代数精确度,（续）,2023/8/246即若求积公式具有m次代数精度，应满足上述,2024/8/13,7,特别地,若取,n,=,m,，,即取,n,+1,个节点 ,则可通过给定的,n,+1,个节点得到上述含,n,+1,个未知数,、,n,+1,个方程的方程组。,若求积节点互异，则,从而可得如下定理：,求积公式的代数精确度,（续）,2023/8/247 特别地,若取n = m，即取n+1个节,2024/8/13,8,定理：,使求积公式至少有,n,次代数精度。,在区间,a,b,上,对于给定,n,+1,个互异节点，,，总存在求积系数 ,Remark,：,定出 ，,则求积公式至少具有,n,次代数精度，但并不一定它具有,n,次代数精度,要将 代入求积公式，如果等式不准确成立，即求积公式具有,n,次代数精度，否则代数精度将大于,n,。,求积公式的代数精确度,（续）,2023/8/248 定理： 使求积公式至少有n次代数精度。,2024/8/13,9,求积公式的代数精确度,（续）,Remark1,：,代数精度越高，求积公式的适应性越强。,Remark2,：,凡至少具有零次代数精度的求积公式,一定满足,从而有,即求积系数之和等于积分区间长度，这是求积系数的一个,基本特性,。,2023/8/249求积公式的代数精确度（续）Remark1,2024/8/13,10,例,：,确定求积公式,解：求积公式中含一个待定参数,当,f,(,x,)=1,x,时,有,中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造的求积公式所具有的代数精度。,求积公式的代数精确度,（续）,2023/8/2410 例：确定求积公式解：求积公式中含一个,2024/8/13,11,求积公式的代数精确度,（续）,得,故令求积公式对,f,(,x,)=,x,2,成立,即,2023/8/2411求积公式的代数精确度（续）得故令求积公,2024/8/13,12,将 代入已求得的求积公式，显然,故,具有三次代数精度。,令,求积公式的代数精确度,（续）,2023/8/2412将,2024/8/13,13,三,.,收敛性与稳定性,如果,如果求积公式对舍入误差不敏感（误差能够控制），则称该求积公式是,稳定,的。,其中 ，则称该求积公式是,收敛,的。,一个求积公式首先应该是收敛的，其次应该是稳定的。,2023/8/2413三.收敛性与稳定性如果如果求积公式对舍,2024/8/13,14,则,则,设计算 时有绝对误差 ，即,收敛性与稳定性（续）,取,若,故当系数,全为正时，求积公式是稳定的。,2023/8/2414则 则设计算 时有绝对误差,2024/8/13,15,7.,2,插值型求积,公式,一.插值型求积公式,寻找一个足够精度的简单函数,p,(,x,),代替,f,(,x,),，,于是,设给定节点,有 ,把,p,(,x,),取成插值多项式，,则可得到插值型求积公式。,并已知这些节点上的函数值,2023/8/24157.2 插值型求积公式 一.插,2024/8/13,16,由,插值型求积公式,（续）,其中，系数,2023/8/2416由 插值型求积公式 （续）其中，系数,2024/8/13,17,插值型求积公式,（续）,所唯一确定时，所得的求积公式称为,插值型求积公式,。,当求积系数由,截断误差,Remark,：由截断误差可知，插值型求积公式至少具有,n,次代数精度。,2023/8/2417插值型求积公式 （续）所唯一确定时，所,2024/8/13,18,由,Lagrange,插值公式，可得,系数 可以进一步表示：,将,a,，,b,分为,n,等份，,取节点 （,k,0,1,n,）,二.,Newton-cotes,公式,2023/8/2418由Lagrange插值公式，可得系数,2024/8/13,19,令,x,=,a,+,th,即有,dx,=,hdt,故,Newton-cotes,公式,（续）,2023/8/2419令x=a+th即有 dx=hdt 故,2024/8/13,20,故,Newton-cotes,公式,（续）,2023/8/2420故Newton-cotes公式 （续）,2024/8/13,21,Newton-cotes,公式,（续）,故求积公式可写为 ,其,中,称为,柯特斯系数，,上式称为,Newton-Cotes,公式。,可以证明 。,2023/8/2421Newton-cotes公式 （续）故,2024/8/13,22,当,n,=1,时，,Newton-cotes,公式,（续）,上式称为,梯形公式,。,2023/8/2422当n=1时， Newton-cotes,2024/8/13,23,n,=2,可计算,它称为,辛浦生（,Simpson,）,公式,或,抛物线公式,n,=4 NewtonCotes,公式为,其中，,这个公式特别称为,柯特斯公式。,Newton-cotes,公式,（续）,2023/8/2423n=2可计算 它称为辛浦生（Simps,2024/8/13,24,Remark,：,对,n,1,个节点的,Newton,Cotes,公式，当,n,为奇数时，,Newton,Cotes,公式的代数精度至少为,n,次；当,n,为偶数时，,Newton,Cotes,公式的代数精度至少为,n,1,次。,只要验证，当,n,为偶数时，,Newton,Cotes,公式对,准确成立即可。,由,Newton-cotes,公式,（续）,2023/8/2424Remark：对n1个节点的Newt,2024/8/13,25,令,x,=,a+sh,，,并注意,则，,Newton-cotes,公式,（续）,当,n,为偶数，即,n,=2,k,，,k,为正整数，再令,s,=,u,+,k,（,u=s-k,）,2023/8/2425令x= a+sh，并注意则，Newto,2024/8/13,26,从而， 为奇函数。,故 ，即当,n,为偶数时，,Newton,Cotes,公式至少有,n,+1,次代数精度。,Newton-cotes,公式,（续）,2023/8/2426从而， 为奇函数。故,2024/8/13,27,三.几种低阶求积公式的截断误差,1.,若,f(x),在,a,b,上,有二阶连续导数，梯形求积公式有下列误差估计：,证,：,2023/8/2427三.几种低阶求积公式的截断误差 1.若,2024/8/13,28,注意到 是倚赖于,x,的函数，且在,a,b,上,连续， 故运用积分,中值定理，在,a,b,上存在一点 使得：,几种低阶求积公式的截断误差,（续）,2023/8/2428注意到 是倚赖于x的函数，且,2024/8/13,29,2.,若,f(x),在,a，b,上,有四阶连续导数，,辛浦生公式有下列误差估计：,几种低阶求积公式的截断误差,（续）,2023/8/24292.若f(x)在a，b上有四阶连续,2024/8/13,30,由于辛浦生公式的代数精度为,3,，为此构造次数 的多项式 ，使满足：,几种低阶求积公式的截断误差,（续）,证：,2023/8/2430由于辛浦生公式的代数精度为3，为此构造,2024/8/13,31,几种低阶求积公式的截断误差,（续）,2023/8/2431几种低阶求积公式的截断误差 （续）,2024/8/13,32,几种低阶求积公式的截断误差,（续）,由于 是依赖于,x,的函数，在,a,b,上连续， 故 可运用积分中值定理，,在,a,b,上存在一点 ，使,2023/8/2432几种低阶求积公式的截断误差 （续）由于,2024/8/13,33,几种低阶求积公式的截断误差,（续）,3.,若,f(x),在,a，b,上,有六阶连续导数，,Cotes,公式有下列误差估计：,2023/8/2433几种低阶求积公式的截断误差 （续）3.,2024/8/13,34,当,n,7,时，,Cotes,系数均为正，但从,n,=8,开始，,Cotes,系数有正有负，这会使计算误差得不到控制，稳定性得不到保证。另外，节点增多的高次插值多项式舍入误差很大，导致插值型求积公式的舍入误差增大。,因此，实际计算时，一般不采用,n,较大的,Newton-Cotes,公式，而是将区间,a,b,等分为,n,个,小区间，其长度为,h,=(,b,-,a,)/,n,在每个小区间上应用低阶的公式，然后对所有小区间上的计算结果求和，这样得出的,Newton-Cotes,公式称为,复化求积公式。,7.3,复化求积算法,2023/8/2434当n 7时，Cotes系数均为正，但,2024/8/13,35,由,1.,复化梯形公式,将,a,b,等分为,n,个子区间,2023/8/2435由1.复化梯形公式 将a,b等分为,2024/8/13,36,其中,余项,复化梯形公式,（续）,若,f,(,x,),在,a,b,上,连续,设,m,为,f,(,x,),的最小值,M,为,f,(,x,),的最大值,则,2023/8/2436其中余项复化梯形公式 （续）若f(x,2024/8/13,37,故由介值定理,一定存在,(,a,b,),上,一点 使,复化梯形公式,（续）,2023/8/2437故由介值定理,一定存在(a,b)上一点,2024/8/13,38,2.,复化,Simpson,公式,(,将,a,b,n,等分,，,子区间长度,).,由,2023/8/24382.复化Simpson公式 (将a,2024/8/13,39,复化,Simpson,公式,（续）,其中,称为,复化辛浦生（,Simpson,）公式,。,2023/8/2439复化Simpson公式（续）其中,2024/8/13,40,故由介值定理,一定在,(,a,b,),中有一 使,设在 在,a,b,上,连续,设,m,为 的最小值,M,为 的最大值,则,复化,Simpson,公式,（续）,故：,2023/8/2440故由介值定理,一定在(a,b)中有一,2024/8/13,41,3.,复化,Cotes,公式,(,将,a,b,n,等分，子区间长度,).,Remark:,复化,梯形公式,，复化,辛浦生,(Simpson),公式,和复化,柯特斯,(Cotes),公式,当,时均收敛到所求积分值,I,。,2023/8/24413.复化Cotes公式 (将a,b,2024/8/13,42,例,1,若取,9,个节点，用复化梯形公式、复化辛浦生公式和复化柯特斯公式计算积分，其步长以及与,9,个节点所对应的求积系数分别是多少？,解,：复化梯形公式：,n,=8,，,h,=(,b-a,)/8,，对应的求积系数为,1,、,2,、,2,、,2,、,2,、,2,、,2,、,2,、,1,。,复化辛浦生公式：,n,=4,，,h,=(,b-a,)/4,，对应的求积系数为,1,、,4,、,2,、,4,、,2,、,4,、,2,、,4,、,1,。,复化柯特斯公式：,n,=2,，,h,=(,b-a,)/2,，对应的求积系数为,7,、,32,、,12,、,32,、,14,、,32,、,12,、,32,、,7,。,2023/8/2442例1若取9个节点，用复化梯形公式、复化,2024/8/13,43,用积分 计算,ln,2,要使所得结果的近似值具有,5,位有效数字。问用复化梯形公式，复化,Simpson,公式时，至少要取多少个节点,?,例,2,解：,由,且,故,计算,ln2,时，要使误差不超过,也即计算,2ln2,，其误差不超过 。,即,2023/8/2443用积分 计算l,2024/8/13,44,例,2,（续）,其中,故区间应取,671,个，节点至少应取,672,。,2023/8/2444例2（续）其中故区间应取671个，节点,2024/8/13,45,例,2,（续）,其中 由,2023/8/2445例2（续）其中,2024/8/13,46,例,2,（续）,故区间,n,应取,22,，即,45,个节点,。,2023/8/2446例2（续）故区间n应取22，即45个节,2024/8/13,47,例,3,下面我们来看一个数值算例：,求解,2023/8/2447例3下面我们来看一个数值算例：求解,2024/8/13,48,误差的后验近似估计,复化求积公式是提高精度的一种有效方法，但在使用复化求积公式之前，必须根据复化求积公式的余项进行先验估计，以确定节点数目，从而确定合适的等分步长。因为余项表达式中包含了被积函数的导数，而估计各阶导数的最大值往往是很困难的，且估计的误差上界往往偏大。所以实际中，常常使用,“,事后估计误差,”,的方法，通过区间的逐次分半，在步长逐次分半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，查看相,继,两次计算结果的差值是否达到要求，直到所求得的积分值满足精度要求。,2023/8/2448 误差的后验近似估计复化求积公式是提,2024/8/13,49,对,梯形公式,，假定区间分为,n,等份时，由公式,其中,算出的积分近似值为,T,(,n,),因而有,再把各个小区间分为二等份，得积分的近似值为,T,(2,n,),，则积分值为,误差的后验近似估计,（续）,2023/8/2449对梯形公式，假定区间分为n等份时，由公,2024/8/13,50,上式可改写为,误差的后验近似估计（续）,假定,f,(x),有,a,b,上变化不大，即有,，,则,2023/8/2450上式可改写为 误差的后验近似估计（续）,2024/8/13,51,上式说明用,T,(2,n,),做为积分,的近似值时，其误差大约为,计算时只需检验 是否满足？若不满足，则再把区间分半进行计算，直到满足要求为止,。这样就实现了步长的自动选取。,误差的后验近似估计（续）,2023/8/2451上式说明用T(2n)做为积分的近似值,2024/8/13,52,类似的，还可以得到下面的结论：,对于,Simpson,公式，假定在 在,a,b,上变化不大，则有,变形即得,误差的后验近似估计（续）,2023/8/2452类似的，还可以得到下面的结论：对于Si,2024/8/13,53,对于,C,otes,公式，假定 在,a,b,上变化不大，则,由,变形即得,得,误差的后验近似估计（续）,2023/8/2453对于Cotes公式，假定,2024/8/13,54,区间逐次分半的梯形公式,2023/8/2454 区间逐次分半的梯形公式,2024/8/13,55,这就是复化梯形公式当区间逐次分半时的计算公式。由,T,(,n,),计算,T,(2,n,),时只需计算新增加节点处的函数值。,区间逐次分半的梯形公式（续）,故有递推公式,算例求解,2023/8/2455这就是复化梯形公式当区间逐次分半时的计,2024/8/13,56,7.4,Romberg,求积算法,一,.,对低精度公式经过组合构造高精度公式,用,T,(2,n,),做为积分,的近似值时，其误差大约为,若我们不是把误差舍掉，而是把误差补偿到,T,(2,n,),后，我们会得到精度更好的求积公式,Simpson,公式：,2023/8/24567.4 Romberg求积算法 一,2024/8/13,57,对低精度公式经过组合构造高精度公式（续）,事实上，,2023/8/2457对低精度公式经过组合构造高精度公式（续,2024/8/13,58,（,1,）,对低精度公式经过组合构造高精度公式（续）,Reamrk,：,两个二阶精度的梯形公式组合起来就得到一个四阶精度的,Simpson,公式，截断误差提高了二阶，起到了加速收敛的作用。,2023/8/2458（1）对低精度公式经过组合构造高精度公,2024/8/13,59,（,2,）,如果再用柯特斯公式作线性组合，,（,3,）,类似地，可以证明：,这个公式称为,Romberg,公式。,对低精度公式经过组合构造高精度公式（续）,2023/8/2459（2）如果再用柯特斯公式作线性组合，（,2024/8/13,60,由（,1,），（,2,），（,3,）组成的方法称为,Romberg,算法。,序列,T,(,n,),S,(,n,),C,(,n,),和,R,(,n,),分别称为,梯形序列,，,Simpson,序列,，,C,otes,序列,和,Romberg,序列,。,对低精度公式经过组合构造高精度公式（续）,上述用若干个积分近似值推算出更为精确的积分近似值的方法，称为,外推算法,。得到,Romberg,序列后还可以继续外推，得到新的求积序列，称为,Richardson,外推算法,。但由于在新的求积序列中，其线性组合的系数分别为：,2023/8/2460由（1），（2），（3）组成的方法称为,2024/8/13,61,对低精度公式经过组合构造高精度公式（续）,因此，新的求积序列与前一个序列结果相差不大，故通常外推到,Romberg,序列为止。,可以证明，,梯形序列，,Simpson,序列，,C,otes,序列和,Romberg,序列均收敛到积分值，且每次外推可使误差阶提高二阶。,2023/8/2461对低精度公式经过组合构造高精度公式（续,2024/8/13,62,二、,Romberg,算法的实现,T,数表,：,R,4,C,8,S,16,T,32,32,R,2,C,4,S,8,T,16,16,R,1,C,2,S,4,T,8,8,C,1,S,2,T,4,4,S,1,T,2,2,T,1,1,R,2,k,-3,C,2,k,-2,S,2,k,-1,T,2,k,区间等分数,n,=2,k,2023/8/2462二、Romberg算法的实现 T数表：,2024/8/13,63,Romberg,算法的实现（续）,对上面的,T,数表作计算，一直到,Romberg,序列中前后两项之差的绝对值不超过给定的误差限为止。,Remark:,Romberg,求积算法从最简单的梯形序列开始逐步进行线性加速，具有占用内存少，精确度高的优点，是实际中最常用的算法之一。,算例求解,2023/8/2463Romberg算法的实现（续） 对上面,2024/8/13,64,三,.,外推技巧,假设一量,Q,与步长,h,无关，我们用依赖于步长,h,的量 作为,Q,的近似，并且假设有渐进展开式,式中系数 与步长,h,无关，幂次满足,.,显然，用 近似,Q,，误差的量级是,.,假如我们还能够计算出 ，于是,2023/8/2464三.外推技巧假设一量Q与步长h无关，我,2024/8/13,65,外推技巧（续）,通过简单的运算，有,式中新的系数,2023/8/2465外推技巧（续）通过简单的运算，有式中新,2024/8/13,66,外推技巧（续）,若用,作为,Q,的近似，误差和 同阶。这个更高阶的近似是两个低阶近似的线性组合，组合系数由低阶近似的阶数确定。由步长是,h,和,h,/2,的近似值,Q,*,，线性组合出 时函数值,Q,的近似值，故称该算法过程为,外推技巧,.,据此,我们还可以对量 再进行外推，得到量的更为高阶的近似,.,2023/8/2466外推技巧（续）若用作为Q的近似，误差和,2024/8/13,67,外推技巧（续）,外推技巧在数值积分、数值微分以及偏微分方程数值解方面都有很广泛的应用,.,下面介绍它在数值积分方面的应用,.,定理,设积分 的被积函数在区间 上无穷次可微，则有复化梯形公式,式中系数 与步长,h,无关,.,2023/8/2467外推技巧（续）外推技巧在数值积分、数值,2024/8/13,68,外推技巧（续）,利用外推技巧，有,式中左端,上式中第二个等式就是前面的误差校正方法，这和前面的结论一致。还可以对上式再进行外推。,2023/8/2468外推技巧（续）利用外推技巧，有式中左端,2024/8/13,69,我们能否通过节点的选择将求积公式的代数精度从,n,或者,n,+1,提高到,2,n,+1,？,问题：,若求积公式,中含有,2,n,+2,个待定参数,7,.5,Gauss,型求积公式,2023/8/2469我们能否通过节点的选择将求积公式的代数,2024/8/13,70,一带权积分的插值型求积公式,考虑更一般的带权积分,其中 为,a,b,上的给定的权函数。,类似于前面插值型求积公式的建立过程，有,由,得,2023/8/2470一带权积分的插值型求积公式考虑更一般,2024/8/13,71,积分,带权积分的插值型求积公式（续）,上述公式称为计算 的,插值,型求积公式。,其中,2023/8/2471积分 带权积分的插值型求积公式（续）上,2024/8/13,72,二,Gauss,公式和,Gauss,点,我们知道，,n,1,个插值节点的插值型求积公式的代数精确度不可能低于,n,。由于在带权插值求积公式中未知的节点及系数共,2,n,2,个参数。因此，当节点数,n,1,确定时，只要适当选取节点位置,x,k,及系数,A,k,，就可以使上面的插值型求积公式对,f,(,x,)=1,x,x,2,n,+1,精确成立，即使其代数精度提高到,2,n,+1,。若某个求积公式（,n,1,个插值节点）的代数精度达到,2,n,+1,，则称该公式为,Gauss,型求积公式。,2023/8/2472二Gauss公式和Gauss点 我们,2024/8/13,73,若,是 上的一组互异节点，且求积公式,具有2,n,+1,次代数精度，则称该求积公式为,Gauss,型求积公式,，其求积节点,（,k,=0,1,n,）,称为,Gauss,点,，系数 称为,Gauss,求积系数。,1.,定义,2023/8/2473若,2024/8/13,74,2.,引理,求积公式 至少具有,n,次代数精度的充要条件是它是插值型的。,证明,：,充分性,：,由,如果求积公式为插值型的，,可知，对于任意次数,n,的多项式,f,(,x,),，,R,f,=0。,这,时,求积公式至少具有,n,次精度。,必要性,：,设求积公式 具有,n,次代数精度。,2023/8/24742.引理求积公式,2024/8/13,75,则对于不高于,n,次的多项式，等式精确成立。,对,n,次,插值,函数 仍有，,特别地，由于 为常数，,根据,插值,型求积公式定义知，其求积公式为,插值,型求积公式。,续,2023/8/2475则对于不高于n次的多项式，等式精确成立,2024/8/13,76,两条结论：,Gauss,型求积公式,一定是插值型求积公式，其系数由,高斯点,唯一确定。,Gauss,型求积公式,是精度最高的求积公式。,2023/8/2476两条结论： Gauss型求积公式,2024/8/13,77,事实上，在 中，取,也即,插值,型求积公式的精度不可能达到,2,n,+2,。,续,2023/8/2477事实上，在,2024/8/13,78,3.,Gauss,点的选取,定理：,插值,型求积公式中的节点 是,Gauss,点的充要条件是，在,a,b,上，以这些点为零点的,n,+1,次多项式,与任意次数不超过,n,的多项式,P,(,x,),带权 正交，即,2023/8/24783. Gauss点的选取定理：插值型求,2024/8/13,79,定理证明,必要性,：,设 是,Gauss,点，于是对任意次数不超过,n,的多项式,P,(,x,),，,的次数不超过2,n,+1。,故有,充分性 ：,对于任意次数不超过2,n,+1,的,多项式,设 除,f,(,x,),的商为,P,(,x,),余项为,q,(,x,)。,设,2023/8/2479定理证明必要性 ：设,2024/8/13,80,定理证明（续）,所给,的求积公式是,插值,型的，其代数精度至少为,n,。,2023/8/2480定理证明（续）所给的求积公式是插值型的,2024/8/13,81,Remark：,定理证明（续）,即求积公式具有2,n,+1,次代数精度，,从而,为,Gauss,点。,2023/8/2481Remark：定理证明（续）即求积公式,2024/8/13,82,Reamrk：,当 为正交多项式系中的,n,+1,次多项式时,，,取 ，则 有,n,+1,个互异,的零点，且对任意次数不超过,n,的多项式有, ,a,b,上带权 正交的,n,+1,次多项式的零点就是,Gauss,型求积公式的,Gauss,点。,2023/8/2482Reamrk： 当,2024/8/13,83, 当,Gauss,点确定以后，,Gauss,系数,也可以由,插值,型求积公式中的系数公,式 确定。,确定。,即可由线性方程组,Reamrk（,续）,2023/8/2483 当Gauss点确定以后， Gaus,2024/8/13,84,4.,Gauss,型求积公式的收敛性和稳定性,定理,：,Gauss,型求积公式总是稳定的。,证明：,（,j,=0,1,n,）,故,Gauss,求积系数 全为正。因此,Gauss,求积公式是,稳定的。,只需证明,Gauss,系数全为正即可。事实上，由于,Gauss,型求积公式对次数不超过,2,n,+1,的多项式准确成立，故可取 （,j,0,1,n,），其中,l,j,(,x,),是,n,次,Lagrange,插值基函数，故有,2023/8/24844. Gauss型求积公式的收敛性和稳,2024/8/13,85,Gauss,型求积公式的收敛性和稳定性（续）,Remark,：,当求积节点数目增加时，,Newton-Cotes,求积公式的系数变得有正有负（,n,8,），从而不能保证计算的稳定性。但对于,Gauss,型求积公式，不论节点数,n,1,有多大，,Gauss,型求积公式总是稳定的。,定理,：设,f,(,x,),C,a,b,，则,Gauss,型求积公式是收敛的。,2023/8/2485Gauss型求积公式的收敛性和稳定性（,2024/8/13,86,5.,Gauss,型求积公式的余项,定理：,设 在 内有直到,2,n,+2,阶导数，则,Gauss,型求积公式的余项为,：,证明：,设 为满足,的,Hermite,插值多项式，则 的次数 。,2023/8/24865. Gauss型求积公式的余项 定理,2024/8/13,87,由于,Gauss,型求积公式的代数精度为2,n,+1，,故,Gauss,型求积公式的余项（续）,2023/8/2487由于Gauss型求积公式的代数精度为2,2024/8/13,88,Remark：,Gauss,型求积公式具有代数精度高、且总是收敛、稳定的优点。在实用中也可构造复化,Gauss,求积公式。,Gauss,型求积公式的余项（续）,证毕,2023/8/2488Remark： Gauss型求积公式具,2024/8/13,89,三.几种特殊的,Gauss,型求积公式,1.,G,auss,Legendre,求积公式,公式：,为,的零点,。,2023/8/2489三.几种特殊的Gauss型求积公式 1,2024/8/13,90,Remark：,当积分区间为 时，可通过线性变换,G,auss,Legendre,求积公式（续）,将区间,变换为标准化区间,，从而有,从而可以使用,Gauss-Legendre,求积公式来计算。,2023/8/2490Remark：当积分区间为 时,2024/8/13,91,2.,Gauss-Chebyshev,求积公式,Gauss,点 为,n,+1,次,Chebyshev,多项式的零点.,2023/8/24912.Gauss-Chebyshev求积,2024/8/13,92,3.,Gauss-Laugerre,求积公式,2023/8/24923.Gauss-Laugerre求积公,2024/8/13,93,4.,Gauss-Hermite,求积公式,关于,Gauss,点和求积系数有详细的表格可供参阅。,2023/8/24934.Gauss-Hermite求积公式,2024/8/13,94,四一般情况下的,Gauss,型求积公式的构造,例,：,求,Gauss,型求积公式,的系数 及节点 。,解,：上面的求积公式对函数,f,(,x,)=1,， 是精确成立的。,于是有下述公式成立：,2023/8/2494四一般情况下的Gauss型求积公式的,2024/8/13,95,续,2023/8/2495续,2024/8/13,96,上面两式右端写成等式，并化简有：,写成矩阵有,：,续,2023/8/2496上面两式右端写成等式，并化简有：写成矩,2024/8/13,97,续,2023/8/2497续,2024/8/13,98,Remark,：,利用代数精确度的概念去构造,Gauss,型求积公式，求解非常困难。下面我们采用构造正交多项式的方法来求解。,续,2023/8/2498Remark：利用代数精确度的概念去构,2024/8/13,99,续,内积空间：,正交多项式：,其中,内积定义：,2023/8/2499续内积空间：正交多项式：其中内积定义：,2024/8/13,100,续,该二次正交多项式的零点为：,这就是所求的两个,Gauss,点，写成小数形式为：,2023/8/24100续该二次正交多项式的零点为：这就是所,2024/8/13,101,续,依据代数精确度的定义，有：,从而求得,Gauss,求积系数,2023/8/24101续依据代数精确度的定义，有：从而求得,2024/8/13,102,续,Remark,：,构造正交多项式也可以采用斯密特正交化的方法。,设,Gauss,点是函数 的零点，它与任意不超过,1,次的多项式正交，即等价于它分别与,1,和,x,正交。令,解出参数 即可。,2023/8/24102续Remark：构造正交多项式也可以,2024/8/13,103,7.6,数值微分,一,.,插值型求导公式,以离散数据 近似表达 在节点 处的微分,通常称为数值微分。,给出列表函数 ，可建立插值多项式 ，取 作为 的近似函数，则 称为插值型求导公式。,2023/8/241037.6 数值微分一. 插值型求导公,2024/8/13,104,若要求节点 上的导数值，有余项,插值型求导公式（续）,2023/8/24104若要求节点 上的导数值，有余项,2024/8/13,105,插值型求导公式（续）,为讨论方便，假定所给节点是等距的，我们限定求节点上的各阶导数值。,若,f,(,x,),的各阶导数有界，即,节点,则误差,从而有,2023/8/24105插值型求导公式（续）为讨论方便，假定,2024/8/13,106,1.,两点公式,由余项,2023/8/241061.两点公式 由余项,2024/8/13,107,2.,三点公式,由,2023/8/241072.三点公式由,2024/8/13,108,由两边对,t,求导,三点公式（续）,2023/8/24108由两边对t求导三点公式（续）,2024/8/13,109,三点公式（续）,注意在 中，当 时得,2023/8/24109三点公式（续）注意在,2024/8/13,110,三点公式（续）,类似的，我们还可以建立高阶数值微分公式：,其中,2023/8/24110三点公式（续）类似的，我们还可以建立,2024/8/13,111,如可以得到二阶三点公式,三点公式（续）,其中,2023/8/24111如可以得到二阶三点公式三点公式（续）,2024/8/13,112,二,.Taylor,展开法,假设函数能展开成,Taylor,级数，现用函数值,f,(,x,0,),、,f,(,x,1,),、,f,(,x,2,),和近似表示 。将,f,(,x,1,),和,f,(,x,2,),在点,x,0,处,Taylor,展开，有,式中,2023/8/24112二.Taylor展开法假设函数能展开,2024/8/13,113,若节点等距分布，步长为,h,，则两式组合可得,Taylor,展开法（续）,式中,2023/8/24113若节点等距分布，步长为h，则两式组合,2024/8/13,114,对上式也可以采用外推算法。事实上，若记,Taylor,展开法（续）,则有,2023/8/24114对上式也可以采用外推算法。事实上，若,2024/8/13,115,上两式组合，有,Taylor,展开法（续）,继续外推，可以得到更高误差阶的公式。,经过一次外推，我们得到了截断误差为 的求 的近似表达式,2023/8/24115上两式组合，有Taylor展开法（续,2024/8/13,116,Remark,Remark1,：在数值微分计算中，并非步长越小精度越高。这是因为数值微分对舍入误差非常敏感，它随步长,h,的缩小而增大，导致计算不稳定。,Remark2,：,在数值微分计算中，当插值多项式收敛到函数,f,(,x,),时，,P,n,（,x,）不一定收敛到,f,(,x,),。,Remark3,：为了避免上述问题，可以用样条插值函数的导函数来代替,f,(,x,),的导函数。,2023/8/24116RemarkRemark1：在数值微,