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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2024/8/13,1,1,数值积分基本概念,2 插值型求积公式,4,Romberg,求积法,5 Gauss,型求积公式,第七章 数值积分与数值微分,6,数值微分,3,复化求积算法,2023/8/241 1 数值积分基本概念 2,2024/8/13,2,7.,1,数值积分基本概念,由积分学基本定理,Newton-Leibenize,公式有:,但在应用中常会碰到如下情况:,f,(,x,),的原函数无法用初等函数给出,f,(,x,),用表,格形式给出,虽然,f,(,x,),的原函数能用初等函数表示,但表达式过于复杂。,2023/8/2427.1 数值积分基本概念由积分学基本定,2024/8/13,3,一.求积公式,其中,R,f,称为,求积公式的余项,,,称为,求积节点,,,称为,求积系数,。,仅与求积节点,的选取有关,而不依赖与被积,函数,f,(,x,),的具体形式。,2023/8/243一.求积公式 其中Rf称为求积公式的,2024/8/13,4,二.求积公式的代数精确度,定义:,如果求积公式,对于一切不高于,m,次的代数多项式准确成立,,而对于某个,m,+1,次多项式并不准确成立,,则称上述求积公式具有,m,次代数精确度,,或称为具有,m,次,代数精度,。,衡量一个求积公式好坏的标准。,2023/8/244二.求积公式的代数精确度 定义:如果求积,2024/8/13,5,如果要构造具有,m,次代数精度的求积公式,,都能准确成立即可。,只要令它对于,求积公式的代数精确度,(续),2023/8/245如果要构造具有m次代数精度的求积公式,都,2024/8/13,6,即若求积公式具有,m,次代数精度,,应满足上述方程组。,反之,亦然。,求积公式的代数精确度,(续),2023/8/246即若求积公式具有m次代数精度,应满足上述,2024/8/13,7,特别地,若取,n,=,m,,,即取,n,+1,个节点 ,则可通过给定的,n,+1,个节点得到上述含,n,+1,个未知数,、,n,+1,个方程的方程组。,若求积节点互异,则,从而可得如下定理:,求积公式的代数精确度,(续),2023/8/247 特别地,若取n = m,即取n+1个节,2024/8/13,8,定理:,使求积公式至少有,n,次代数精度。,在区间,a,b,上,对于给定,n,+1,个互异节点,,,总存在求积系数 ,Remark,:,定出 ,,则求积公式至少具有,n,次代数精度,但并不一定它具有,n,次代数精度,要将 代入求积公式,如果等式不准确成立,即求积公式具有,n,次代数精度,否则代数精度将大于,n,。,求积公式的代数精确度,(续),2023/8/248 定理: 使求积公式至少有n次代数精度。,2024/8/13,9,求积公式的代数精确度,(续),Remark1,:,代数精度越高,求积公式的适应性越强。,Remark2,:,凡至少具有零次代数精度的求积公式,一定满足,从而有,即求积系数之和等于积分区间长度,这是求积系数的一个,基本特性,。,2023/8/249求积公式的代数精确度(续)Remark1,2024/8/13,10,例,:,确定求积公式,解:求积公式中含一个待定参数,当,f,(,x,)=1,x,时,有,中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造的求积公式所具有的代数精度。,求积公式的代数精确度,(续),2023/8/2410 例:确定求积公式解:求积公式中含一个,2024/8/13,11,求积公式的代数精确度,(续),得,故令求积公式对,f,(,x,)=,x,2,成立,即,2023/8/2411求积公式的代数精确度(续)得故令求积公,2024/8/13,12,将 代入已求得的求积公式,显然,故,具有三次代数精度。,令,求积公式的代数精确度,(续),2023/8/2412将,2024/8/13,13,三,.,收敛性与稳定性,如果,如果求积公式对舍入误差不敏感(误差能够控制),则称该求积公式是,稳定,的。,其中 ,则称该求积公式是,收敛,的。,一个求积公式首先应该是收敛的,其次应该是稳定的。,2023/8/2413三.收敛性与稳定性如果如果求积公式对舍,2024/8/13,14,则,则,设计算 时有绝对误差 ,即,收敛性与稳定性(续),取,若,故当系数,全为正时,求积公式是稳定的。,2023/8/2414则 则设计算 时有绝对误差,2024/8/13,15,7.,2,插值型求积,公式,一.插值型求积公式,寻找一个足够精度的简单函数,p,(,x,),代替,f,(,x,),,,于是,设给定节点,有 ,把,p,(,x,),取成插值多项式,,则可得到插值型求积公式。,并已知这些节点上的函数值,2023/8/24157.2 插值型求积公式 一.插,2024/8/13,16,由,插值型求积公式,(续),其中,系数,2023/8/2416由 插值型求积公式 (续)其中,系数,2024/8/13,17,插值型求积公式,(续),所唯一确定时,所得的求积公式称为,插值型求积公式,。,当求积系数由,截断误差,Remark,:由截断误差可知,插值型求积公式至少具有,n,次代数精度。,2023/8/2417插值型求积公式 (续)所唯一确定时,所,2024/8/13,18,由,Lagrange,插值公式,可得,系数 可以进一步表示:,将,a,,,b,分为,n,等份,,取节点 (,k,0,1,n,),二.,Newton-cotes,公式,2023/8/2418由Lagrange插值公式,可得系数,2024/8/13,19,令,x,=,a,+,th,即有,dx,=,hdt,故,Newton-cotes,公式,(续),2023/8/2419令x=a+th即有 dx=hdt 故,2024/8/13,20,故,Newton-cotes,公式,(续),2023/8/2420故Newton-cotes公式 (续),2024/8/13,21,Newton-cotes,公式,(续),故求积公式可写为 ,其,中,称为,柯特斯系数,,上式称为,Newton-Cotes,公式。,可以证明 。,2023/8/2421Newton-cotes公式 (续)故,2024/8/13,22,当,n,=1,时,,Newton-cotes,公式,(续),上式称为,梯形公式,。,2023/8/2422当n=1时, Newton-cotes,2024/8/13,23,n,=2,可计算,它称为,辛浦生(,Simpson,),公式,或,抛物线公式,n,=4 NewtonCotes,公式为,其中,,这个公式特别称为,柯特斯公式。,Newton-cotes,公式,(续),2023/8/2423n=2可计算 它称为辛浦生(Simps,2024/8/13,24,Remark,:,对,n,1,个节点的,Newton,Cotes,公式,当,n,为奇数时,,Newton,Cotes,公式的代数精度至少为,n,次;当,n,为偶数时,,Newton,Cotes,公式的代数精度至少为,n,1,次。,只要验证,当,n,为偶数时,,Newton,Cotes,公式对,准确成立即可。,由,Newton-cotes,公式,(续),2023/8/2424Remark:对n1个节点的Newt,2024/8/13,25,令,x,=,a+sh,,,并注意,则,,Newton-cotes,公式,(续),当,n,为偶数,即,n,=2,k,,,k,为正整数,再令,s,=,u,+,k,(,u=s-k,),2023/8/2425令x= a+sh,并注意则,Newto,2024/8/13,26,从而, 为奇函数。,故 ,即当,n,为偶数时,,Newton,Cotes,公式至少有,n,+1,次代数精度。,Newton-cotes,公式,(续),2023/8/2426从而, 为奇函数。故,2024/8/13,27,三.几种低阶求积公式的截断误差,1.,若,f(x),在,a,b,上,有二阶连续导数,梯形求积公式有下列误差估计:,证,:,2023/8/2427三.几种低阶求积公式的截断误差 1.若,2024/8/13,28,注意到 是倚赖于,x,的函数,且在,a,b,上,连续, 故运用积分,中值定理,在,a,b,上存在一点 使得:,几种低阶求积公式的截断误差,(续),2023/8/2428注意到 是倚赖于x的函数,且,2024/8/13,29,2.,若,f(x),在,a,b,上,有四阶连续导数,,辛浦生公式有下列误差估计:,几种低阶求积公式的截断误差,(续),2023/8/24292.若f(x)在a,b上有四阶连续,2024/8/13,30,由于辛浦生公式的代数精度为,3,,为此构造次数 的多项式 ,使满足:,几种低阶求积公式的截断误差,(续),证:,2023/8/2430由于辛浦生公式的代数精度为3,为此构造,2024/8/13,31,几种低阶求积公式的截断误差,(续),2023/8/2431几种低阶求积公式的截断误差 (续),2024/8/13,32,几种低阶求积公式的截断误差,(续),由于 是依赖于,x,的函数,在,a,b,上连续, 故 可运用积分中值定理,,在,a,b,上存在一点 ,使,2023/8/2432几种低阶求积公式的截断误差 (续)由于,2024/8/13,33,几种低阶求积公式的截断误差,(续),3.,若,f(x),在,a,b,上,有六阶连续导数,,Cotes,公式有下列误差估计:,2023/8/2433几种低阶求积公式的截断误差 (续)3.,2024/8/13,34,当,n,7,时,,Cotes,系数均为正,但从,n,=8,开始,,Cotes,系数有正有负,这会使计算误差得不到控制,稳定性得不到保证。另外,节点增多的高次插值多项式舍入误差很大,导致插值型求积公式的舍入误差增大。,因此,实际计算时,一般不采用,n,较大的,Newton-Cotes,公式,而是将区间,a,b,等分为,n,个,小区间,其长度为,h,=(,b,-,a,)/,n,在每个小区间上应用低阶的公式,然后对所有小区间上的计算结果求和,这样得出的,Newton-Cotes,公式称为,复化求积公式。,7.3,复化求积算法,2023/8/2434当n 7时,Cotes系数均为正,但,2024/8/13,35,由,1.,复化梯形公式,将,a,b,等分为,n,个子区间,2023/8/2435由1.复化梯形公式 将a,b等分为,2024/8/13,36,其中,余项,复化梯形公式,(续),若,f,(,x,),在,a,b,上,连续,设,m,为,f,(,x,),的最小值,M,为,f,(,x,),的最大值,则,2023/8/2436其中余项复化梯形公式 (续)若f(x,2024/8/13,37,故由介值定理,一定存在,(,a,b,),上,一点 使,复化梯形公式,(续),2023/8/2437故由介值定理,一定存在(a,b)上一点,2024/8/13,38,2.,复化,Simpson,公式,(,将,a,b,n,等分,,,子区间长度,).,由,2023/8/24382.复化Simpson公式 (将a,2024/8/13,39,复化,Simpson,公式,(续),其中,称为,复化辛浦生(,Simpson,)公式,。,2023/8/2439复化Simpson公式(续)其中,2024/8/13,40,故由介值定理,一定在,(,a,b,),中有一 使,设在 在,a,b,上,连续,设,m,为 的最小值,M,为 的最大值,则,复化,Simpson,公式,(续),故:,2023/8/2440故由介值定理,一定在(a,b)中有一,2024/8/13,41,3.,复化,Cotes,公式,(,将,a,b,n,等分,子区间长度,).,Remark:,复化,梯形公式,,复化,辛浦生,(Simpson),公式,和复化,柯特斯,(Cotes),公式,当,时均收敛到所求积分值,I,。,2023/8/24413.复化Cotes公式 (将a,b,2024/8/13,42,例,1,若取,9,个节点,用复化梯形公式、复化辛浦生公式和复化柯特斯公式计算积分,其步长以及与,9,个节点所对应的求积系数分别是多少?,解,:复化梯形公式:,n,=8,,,h,=(,b-a,)/8,,对应的求积系数为,1,、,2,、,2,、,2,、,2,、,2,、,2,、,2,、,1,。,复化辛浦生公式:,n,=4,,,h,=(,b-a,)/4,,对应的求积系数为,1,、,4,、,2,、,4,、,2,、,4,、,2,、,4,、,1,。,复化柯特斯公式:,n,=2,,,h,=(,b-a,)/2,,对应的求积系数为,7,、,32,、,12,、,32,、,14,、,32,、,12,、,32,、,7,。,2023/8/2442例1若取9个节点,用复化梯形公式、复化,2024/8/13,43,用积分 计算,ln,2,要使所得结果的近似值具有,5,位有效数字。问用复化梯形公式,复化,Simpson,公式时,至少要取多少个节点,?,例,2,解:,由,且,故,计算,ln2,时,要使误差不超过,也即计算,2ln2,,其误差不超过 。,即,2023/8/2443用积分 计算l,2024/8/13,44,例,2,(续),其中,故区间应取,671,个,节点至少应取,672,。,2023/8/2444例2(续)其中故区间应取671个,节点,2024/8/13,45,例,2,(续),其中 由,2023/8/2445例2(续)其中,2024/8/13,46,例,2,(续),故区间,n,应取,22,,即,45,个节点,。,2023/8/2446例2(续)故区间n应取22,即45个节,2024/8/13,47,例,3,下面我们来看一个数值算例:,求解,2023/8/2447例3下面我们来看一个数值算例:求解,2024/8/13,48,误差的后验近似估计,复化求积公式是提高精度的一种有效方法,但在使用复化求积公式之前,必须根据复化求积公式的余项进行先验估计,以确定节点数目,从而确定合适的等分步长。因为余项表达式中包含了被积函数的导数,而估计各阶导数的最大值往往是很困难的,且估计的误差上界往往偏大。所以实际中,常常使用,“,事后估计误差,”,的方法,通过区间的逐次分半,在步长逐次分半的过程中,反复利用复化求积公式进行计算,查看相,继,两次计算结果的差值是否达到要求,直到所求得的积分值满足精度要求。,2023/8/2448 误差的后验近似估计复化求积公式是提,2024/8/13,49,对,梯形公式,,假定区间分为,n,等份时,由公式,其中,算出的积分近似值为,T,(,n,),因而有,再把各个小区间分为二等份,得积分的近似值为,T,(2,n,),,则积分值为,误差的后验近似估计,(续),2023/8/2449对梯形公式,假定区间分为n等份时,由公,2024/8/13,50,上式可改写为,误差的后验近似估计(续),假定,f,(x),有,a,b,上变化不大,即有,,,则,2023/8/2450上式可改写为 误差的后验近似估计(续),2024/8/13,51,上式说明用,T,(2,n,),做为积分,的近似值时,其误差大约为,计算时只需检验 是否满足?若不满足,则再把区间分半进行计算,直到满足要求为止,。这样就实现了步长的自动选取。,误差的后验近似估计(续),2023/8/2451上式说明用T(2n)做为积分的近似值,2024/8/13,52,类似的,还可以得到下面的结论:,对于,Simpson,公式,假定在 在,a,b,上变化不大,则有,变形即得,误差的后验近似估计(续),2023/8/2452类似的,还可以得到下面的结论:对于Si,2024/8/13,53,对于,C,otes,公式,假定 在,a,b,上变化不大,则,由,变形即得,得,误差的后验近似估计(续),2023/8/2453对于Cotes公式,假定,2024/8/13,54,区间逐次分半的梯形公式,2023/8/2454 区间逐次分半的梯形公式,2024/8/13,55,这就是复化梯形公式当区间逐次分半时的计算公式。由,T,(,n,),计算,T,(2,n,),时只需计算新增加节点处的函数值。,区间逐次分半的梯形公式(续),故有递推公式,算例求解,2023/8/2455这就是复化梯形公式当区间逐次分半时的计,2024/8/13,56,7.4,Romberg,求积算法,一,.,对低精度公式经过组合构造高精度公式,用,T,(2,n,),做为积分,的近似值时,其误差大约为,若我们不是把误差舍掉,而是把误差补偿到,T,(2,n,),后,我们会得到精度更好的求积公式,Simpson,公式:,2023/8/24567.4 Romberg求积算法 一,2024/8/13,57,对低精度公式经过组合构造高精度公式(续),事实上,,2023/8/2457对低精度公式经过组合构造高精度公式(续,2024/8/13,58,(,1,),对低精度公式经过组合构造高精度公式(续),Reamrk,:,两个二阶精度的梯形公式组合起来就得到一个四阶精度的,Simpson,公式,截断误差提高了二阶,起到了加速收敛的作用。,2023/8/2458(1)对低精度公式经过组合构造高精度公,2024/8/13,59,(,2,),如果再用柯特斯公式作线性组合,,(,3,),类似地,可以证明:,这个公式称为,Romberg,公式。,对低精度公式经过组合构造高精度公式(续),2023/8/2459(2)如果再用柯特斯公式作线性组合,(,2024/8/13,60,由(,1,),(,2,),(,3,)组成的方法称为,Romberg,算法。,序列,T,(,n,),S,(,n,),C,(,n,),和,R,(,n,),分别称为,梯形序列,,,Simpson,序列,,,C,otes,序列,和,Romberg,序列,。,对低精度公式经过组合构造高精度公式(续),上述用若干个积分近似值推算出更为精确的积分近似值的方法,称为,外推算法,。得到,Romberg,序列后还可以继续外推,得到新的求积序列,称为,Richardson,外推算法,。但由于在新的求积序列中,其线性组合的系数分别为:,2023/8/2460由(1),(2),(3)组成的方法称为,2024/8/13,61,对低精度公式经过组合构造高精度公式(续),因此,新的求积序列与前一个序列结果相差不大,故通常外推到,Romberg,序列为止。,可以证明,,梯形序列,,Simpson,序列,,C,otes,序列和,Romberg,序列均收敛到积分值,且每次外推可使误差阶提高二阶。,2023/8/2461对低精度公式经过组合构造高精度公式(续,2024/8/13,62,二、,Romberg,算法的实现,T,数表,:,R,4,C,8,S,16,T,32,32,R,2,C,4,S,8,T,16,16,R,1,C,2,S,4,T,8,8,C,1,S,2,T,4,4,S,1,T,2,2,T,1,1,R,2,k,-3,C,2,k,-2,S,2,k,-1,T,2,k,区间等分数,n,=2,k,2023/8/2462二、Romberg算法的实现 T数表:,2024/8/13,63,Romberg,算法的实现(续),对上面的,T,数表作计算,一直到,Romberg,序列中前后两项之差的绝对值不超过给定的误差限为止。,Remark:,Romberg,求积算法从最简单的梯形序列开始逐步进行线性加速,具有占用内存少,精确度高的优点,是实际中最常用的算法之一。,算例求解,2023/8/2463Romberg算法的实现(续) 对上面,2024/8/13,64,三,.,外推技巧,假设一量,Q,与步长,h,无关,我们用依赖于步长,h,的量 作为,Q,的近似,并且假设有渐进展开式,式中系数 与步长,h,无关,幂次满足,.,显然,用 近似,Q,,误差的量级是,.,假如我们还能够计算出 ,于是,2023/8/2464三.外推技巧假设一量Q与步长h无关,我,2024/8/13,65,外推技巧(续),通过简单的运算,有,式中新的系数,2023/8/2465外推技巧(续)通过简单的运算,有式中新,2024/8/13,66,外推技巧(续),若用,作为,Q,的近似,误差和 同阶。这个更高阶的近似是两个低阶近似的线性组合,组合系数由低阶近似的阶数确定。由步长是,h,和,h,/2,的近似值,Q,*,,线性组合出 时函数值,Q,的近似值,故称该算法过程为,外推技巧,.,据此,我们还可以对量 再进行外推,得到量的更为高阶的近似,.,2023/8/2466外推技巧(续)若用作为Q的近似,误差和,2024/8/13,67,外推技巧(续),外推技巧在数值积分、数值微分以及偏微分方程数值解方面都有很广泛的应用,.,下面介绍它在数值积分方面的应用,.,定理,设积分 的被积函数在区间 上无穷次可微,则有复化梯形公式,式中系数 与步长,h,无关,.,2023/8/2467外推技巧(续)外推技巧在数值积分、数值,2024/8/13,68,外推技巧(续),利用外推技巧,有,式中左端,上式中第二个等式就是前面的误差校正方法,这和前面的结论一致。还可以对上式再进行外推。,2023/8/2468外推技巧(续)利用外推技巧,有式中左端,2024/8/13,69,我们能否通过节点的选择将求积公式的代数精度从,n,或者,n,+1,提高到,2,n,+1,?,问题:,若求积公式,中含有,2,n,+2,个待定参数,7,.5,Gauss,型求积公式,2023/8/2469我们能否通过节点的选择将求积公式的代数,2024/8/13,70,一带权积分的插值型求积公式,考虑更一般的带权积分,其中 为,a,b,上的给定的权函数。,类似于前面插值型求积公式的建立过程,有,由,得,2023/8/2470一带权积分的插值型求积公式考虑更一般,2024/8/13,71,积分,带权积分的插值型求积公式(续),上述公式称为计算 的,插值,型求积公式。,其中,2023/8/2471积分 带权积分的插值型求积公式(续)上,2024/8/13,72,二,Gauss,公式和,Gauss,点,我们知道,,n,1,个插值节点的插值型求积公式的代数精确度不可能低于,n,。由于在带权插值求积公式中未知的节点及系数共,2,n,2,个参数。因此,当节点数,n,1,确定时,只要适当选取节点位置,x,k,及系数,A,k,,就可以使上面的插值型求积公式对,f,(,x,)=1,x,x,2,n,+1,精确成立,即使其代数精度提高到,2,n,+1,。若某个求积公式(,n,1,个插值节点)的代数精度达到,2,n,+1,,则称该公式为,Gauss,型求积公式。,2023/8/2472二Gauss公式和Gauss点 我们,2024/8/13,73,若,是 上的一组互异节点,且求积公式,具有2,n,+1,次代数精度,则称该求积公式为,Gauss,型求积公式,,其求积节点,(,k,=0,1,n,),称为,Gauss,点,,系数 称为,Gauss,求积系数。,1.,定义,2023/8/2473若,2024/8/13,74,2.,引理,求积公式 至少具有,n,次代数精度的充要条件是它是插值型的。,证明,:,充分性,:,由,如果求积公式为插值型的,,可知,对于任意次数,n,的多项式,f,(,x,),,,R,f,=0。,这,时,求积公式至少具有,n,次精度。,必要性,:,设求积公式 具有,n,次代数精度。,2023/8/24742.引理求积公式,2024/8/13,75,则对于不高于,n,次的多项式,等式精确成立。,对,n,次,插值,函数 仍有,,特别地,由于 为常数,,根据,插值,型求积公式定义知,其求积公式为,插值,型求积公式。,续,2023/8/2475则对于不高于n次的多项式,等式精确成立,2024/8/13,76,两条结论:,Gauss,型求积公式,一定是插值型求积公式,其系数由,高斯点,唯一确定。,Gauss,型求积公式,是精度最高的求积公式。,2023/8/2476两条结论: Gauss型求积公式,2024/8/13,77,事实上,在 中,取,也即,插值,型求积公式的精度不可能达到,2,n,+2,。,续,2023/8/2477事实上,在,2024/8/13,78,3.,Gauss,点的选取,定理:,插值,型求积公式中的节点 是,Gauss,点的充要条件是,在,a,b,上,以这些点为零点的,n,+1,次多项式,与任意次数不超过,n,的多项式,P,(,x,),带权 正交,即,2023/8/24783. Gauss点的选取定理:插值型求,2024/8/13,79,定理证明,必要性,:,设 是,Gauss,点,于是对任意次数不超过,n,的多项式,P,(,x,),,,的次数不超过2,n,+1。,故有,充分性 :,对于任意次数不超过2,n,+1,的,多项式,设 除,f,(,x,),的商为,P,(,x,),余项为,q,(,x,)。,设,2023/8/2479定理证明必要性 :设,2024/8/13,80,定理证明(续),所给,的求积公式是,插值,型的,其代数精度至少为,n,。,2023/8/2480定理证明(续)所给的求积公式是插值型的,2024/8/13,81,Remark:,定理证明(续),即求积公式具有2,n,+1,次代数精度,,从而,为,Gauss,点。,2023/8/2481Remark:定理证明(续)即求积公式,2024/8/13,82,Reamrk:,当 为正交多项式系中的,n,+1,次多项式时,,,取 ,则 有,n,+1,个互异,的零点,且对任意次数不超过,n,的多项式有, ,a,b,上带权 正交的,n,+1,次多项式的零点就是,Gauss,型求积公式的,Gauss,点。,2023/8/2482Reamrk: 当,2024/8/13,83, 当,Gauss,点确定以后,,Gauss,系数,也可以由,插值,型求积公式中的系数公,式 确定。,确定。,即可由线性方程组,Reamrk(,续),2023/8/2483 当Gauss点确定以后, Gaus,2024/8/13,84,4.,Gauss,型求积公式的收敛性和稳定性,定理,:,Gauss,型求积公式总是稳定的。,证明:,(,j,=0,1,n,),故,Gauss,求积系数 全为正。因此,Gauss,求积公式是,稳定的。,只需证明,Gauss,系数全为正即可。事实上,由于,Gauss,型求积公式对次数不超过,2,n,+1,的多项式准确成立,故可取 (,j,0,1,n,),其中,l,j,(,x,),是,n,次,Lagrange,插值基函数,故有,2023/8/24844. Gauss型求积公式的收敛性和稳,2024/8/13,85,Gauss,型求积公式的收敛性和稳定性(续),Remark,:,当求积节点数目增加时,,Newton-Cotes,求积公式的系数变得有正有负(,n,8,),从而不能保证计算的稳定性。但对于,Gauss,型求积公式,不论节点数,n,1,有多大,,Gauss,型求积公式总是稳定的。,定理,:设,f,(,x,),C,a,b,,则,Gauss,型求积公式是收敛的。,2023/8/2485Gauss型求积公式的收敛性和稳定性(,2024/8/13,86,5.,Gauss,型求积公式的余项,定理:,设 在 内有直到,2,n,+2,阶导数,则,Gauss,型求积公式的余项为,:,证明:,设 为满足,的,Hermite,插值多项式,则 的次数 。,2023/8/24865. Gauss型求积公式的余项 定理,2024/8/13,87,由于,Gauss,型求积公式的代数精度为2,n,+1,,故,Gauss,型求积公式的余项(续),2023/8/2487由于Gauss型求积公式的代数精度为2,2024/8/13,88,Remark:,Gauss,型求积公式具有代数精度高、且总是收敛、稳定的优点。在实用中也可构造复化,Gauss,求积公式。,Gauss,型求积公式的余项(续),证毕,2023/8/2488Remark: Gauss型求积公式具,2024/8/13,89,三.几种特殊的,Gauss,型求积公式,1.,G,auss,Legendre,求积公式,公式:,为,的零点,。,2023/8/2489三.几种特殊的Gauss型求积公式 1,2024/8/13,90,Remark:,当积分区间为 时,可通过线性变换,G,auss,Legendre,求积公式(续),将区间,变换为标准化区间,,从而有,从而可以使用,Gauss-Legendre,求积公式来计算。,2023/8/2490Remark:当积分区间为 时,2024/8/13,91,2.,Gauss-Chebyshev,求积公式,Gauss,点 为,n,+1,次,Chebyshev,多项式的零点.,2023/8/24912.Gauss-Chebyshev求积,2024/8/13,92,3.,Gauss-Laugerre,求积公式,2023/8/24923.Gauss-Laugerre求积公,2024/8/13,93,4.,Gauss-Hermite,求积公式,关于,Gauss,点和求积系数有详细的表格可供参阅。,2023/8/24934.Gauss-Hermite求积公式,2024/8/13,94,四一般情况下的,Gauss,型求积公式的构造,例,:,求,Gauss,型求积公式,的系数 及节点 。,解,:上面的求积公式对函数,f,(,x,)=1,, 是精确成立的。,于是有下述公式成立:,2023/8/2494四一般情况下的Gauss型求积公式的,2024/8/13,95,续,2023/8/2495续,2024/8/13,96,上面两式右端写成等式,并化简有:,写成矩阵有,:,续,2023/8/2496上面两式右端写成等式,并化简有:写成矩,2024/8/13,97,续,2023/8/2497续,2024/8/13,98,Remark,:,利用代数精确度的概念去构造,Gauss,型求积公式,求解非常困难。下面我们采用构造正交多项式的方法来求解。,续,2023/8/2498Remark:利用代数精确度的概念去构,2024/8/13,99,续,内积空间:,正交多项式:,其中,内积定义:,2023/8/2499续内积空间:正交多项式:其中内积定义:,2024/8/13,100,续,该二次正交多项式的零点为:,这就是所求的两个,Gauss,点,写成小数形式为:,2023/8/24100续该二次正交多项式的零点为:这就是所,2024/8/13,101,续,依据代数精确度的定义,有:,从而求得,Gauss,求积系数,2023/8/24101续依据代数精确度的定义,有:从而求得,2024/8/13,102,续,Remark,:,构造正交多项式也可以采用斯密特正交化的方法。,设,Gauss,点是函数 的零点,它与任意不超过,1,次的多项式正交,即等价于它分别与,1,和,x,正交。令,解出参数 即可。,2023/8/24102续Remark:构造正交多项式也可以,2024/8/13,103,7.6,数值微分,一,.,插值型求导公式,以离散数据 近似表达 在节点 处的微分,通常称为数值微分。,给出列表函数 ,可建立插值多项式 ,取 作为 的近似函数,则 称为插值型求导公式。,2023/8/241037.6 数值微分一. 插值型求导公,2024/8/13,104,若要求节点 上的导数值,有余项,插值型求导公式(续),2023/8/24104若要求节点 上的导数值,有余项,2024/8/13,105,插值型求导公式(续),为讨论方便,假定所给节点是等距的,我们限定求节点上的各阶导数值。,若,f,(,x,),的各阶导数有界,即,节点,则误差,从而有,2023/8/24105插值型求导公式(续)为讨论方便,假定,2024/8/13,106,1.,两点公式,由余项,2023/8/241061.两点公式 由余项,2024/8/13,107,2.,三点公式,由,2023/8/241072.三点公式由,2024/8/13,108,由两边对,t,求导,三点公式(续),2023/8/24108由两边对t求导三点公式(续),2024/8/13,109,三点公式(续),注意在 中,当 时得,2023/8/24109三点公式(续)注意在,2024/8/13,110,三点公式(续),类似的,我们还可以建立高阶数值微分公式:,其中,2023/8/24110三点公式(续)类似的,我们还可以建立,2024/8/13,111,如可以得到二阶三点公式,三点公式(续),其中,2023/8/24111如可以得到二阶三点公式三点公式(续),2024/8/13,112,二,.Taylor,展开法,假设函数能展开成,Taylor,级数,现用函数值,f,(,x,0,),、,f,(,x,1,),、,f,(,x,2,),和近似表示 。将,f,(,x,1,),和,f,(,x,2,),在点,x,0,处,Taylor,展开,有,式中,2023/8/24112二.Taylor展开法假设函数能展开,2024/8/13,113,若节点等距分布,步长为,h,,则两式组合可得,Taylor,展开法(续),式中,2023/8/24113若节点等距分布,步长为h,则两式组合,2024/8/13,114,对上式也可以采用外推算法。事实上,若记,Taylor,展开法(续),则有,2023/8/24114对上式也可以采用外推算法。事实上,若,2024/8/13,115,上两式组合,有,Taylor,展开法(续),继续外推,可以得到更高误差阶的公式。,经过一次外推,我们得到了截断误差为 的求 的近似表达式,2023/8/24115上两式组合,有Taylor展开法(续,2024/8/13,116,Remark,Remark1,:在数值微分计算中,并非步长越小精度越高。这是因为数值微分对舍入误差非常敏感,它随步长,h,的缩小而增大,导致计算不稳定。,Remark2,:,在数值微分计算中,当插值多项式收敛到函数,f,(,x,),时,,P,n,(,x,)不一定收敛到,f,(,x,),。,Remark3,:为了避免上述问题,可以用样条插值函数的导函数来代替,f,(,x,),的导函数。,2023/8/24116RemarkRemark1:在数值微,
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