人教版八年级数学上册最短路径问题ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020-06-10,0,第十三章 轴对称,最短路径问题,第十三章 轴对称最短路径问题,1,学习目标,1,2,体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想,（重点）,能利用轴对称解决简单的最短路径问题,.,（难点）,学习目标12体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思,2,新课导入,1.,如图，连接,A,、,B,两点的所有连线中，哪条最短？,为什么？,A,B,最短，因为两点之间，线段最短,2.,如图，点,P,是直线,l,外一点，点,P,与该直线,l,上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？,P,l,A,B,C,D,PC,最短，因为垂线段最短,新课导入1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？AB,3,3.,在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小,的基本事实？,三角形三边关系：两边之和大于第三边；,斜边大于直角边,.,4.,如图，如何做点,A,关于直线,l,的对称点？,A,l,A,3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小三角形三边关,4,知识讲解,1,、牧马人饮马问题,“两点的所有连线中，,线段最短,”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，,垂线段最短,”等的问题，我们称之为最短路径问题,.,现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”,.,A,B,P,l,A,B,C,D,知识讲解1、牧马人饮马问题 “两点的所有连线中，线段最,5,如图，牧马人从点,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然后到,B,地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,C,抽象成,A,B,l,数学问题,作图问题：,在直线,l,上求作一点,C,使,AC,+,BC,最短问题,.,实际问题,A,B,l,如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，,6,问题,1,现在假设点,A,B,分别是直线,l,异侧,的两个点，如何在,l,上找到一个点，使得这个点到点,A,，点,B,的距离的和最短？,A,l,B,C,根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求,.,连接,AB,与直线,l,相交于一点,C,.,问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何,7,问题,2,如果点,A,B,分别是直线,l,同侧,的两个点，又应该如何解决？,想一想：,对于问题,2,，如何将点,B,“,移,”到,l,的另一侧,B,处，满足直线,l,上的任意一点,C,，都,保持,CB,与,CB,的长度相等,？,A,l,利用轴对称，作出点,B,关于直线,l,的对称点,B,.,B,B,问题2 如果点A,B分别是直线l 同侧的两个点，又应该,8,作法：,（,1,）,作点,B,关于直线,l,的对称点,B,；,（,2,）,连接,AB,，与直线,l,相交于点,C,则点,C,即为所求,A,B,l,B ,C,作法：ABlB C,9,问题,3,你能用所学的知识证明,AC +BC,最短吗？,证明：,如图，在直线,l,上任取一点,C,(,与点,C,不重合,),，连接,AC,，,BC,，,BC,由轴对称的性质知，,BC =BC,，,BC=BC,AC +BC,=,AC +BC = AB,，,AC+BC= AC+BC,在,ABC,中,，,AB,AC+BC,，,AC +BC,AC+BC,即,AC +BC,最短,A,B,l,B,C,C,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图,10,例,1,如图，已知点,D,、点,E,分别是等边三角形,ABC,中,BC、AB,边的中点，,AD,=5，点,F,是,AD,边上的动点，则,BF+EF,的最小值为（ ）,A7.5 B5,C4 D不能确定,解析：,ABC,为等边三角形，点,D,是,BC,边的中点，即点,B,与点,C,关于直线,AD,对称,.,点,F,在,AD,上，故,BF=CF,.,即,BF+EF,的最小值可转化为求,CF+EF,的最小值，故连接,CE,即可，线段,CE,的长即为,BF+EF,的最小值,.,B,例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、,11,总结：,此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而,后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条,件求解,.,总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而,12,例,2,如图，在直角坐标系中，点,A，B,的坐标分别为（1，4）和（3，0），点,C,是,y,轴上的一个动点，且,A，B，C,三点不在同一条直线上，当,ABC,的周长最小时点,C,的坐标是（）,A（0，3） B（0，2）,C（0，1） D（0，0）,解析：作,B,点关于,y,轴对称点,B,，连接,AB,，交,y,轴于点,C,，此时,ABC,的周长最小，然后依据点,A,与点,B,的坐标可得到,BE、AE,的长，然后证明,BCO,为等腰直角三角形即可,B,C,E,A,例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，,13,总结：,求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固,定点,，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，,而后将,其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为,三角形,周长最小时动点的位置,.,总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固 定,14,如图，,A,和,B,两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥,MN,.,桥造在何处可使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,？,B,A,2,、造桥选址问题,如图，A和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥,15,?,B,A,N,M,N,M,如图假定任选位置造桥,MN,，连接,AM,和,BN,，从,A,到,B,的路径是,AM,+,MN,+,BN,，那么怎样确定什么情况下最短呢？,?BANMNM 如图假定任选位置造桥MN，连接A,16,我们能否在不改变,AM+MN+BN,的前提下把桥转化到一侧呢？,什么图形变换能帮助我们呢？,思考,方案：,（,1,）把,A,平移到岸边,.,（,2,）把,B,平移到岸边,.,（,3,）把桥平移到和,A,相连,.,（,4,）把桥平移到和,B,相连,.,B,A,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？思,17,B,A,A,B,（,1,）把,A,平移到岸边,.,AM,+,MN,+,BN,长度改变了,（,2,）把,B,平移到岸边,.,AM,+,MN,+,BN,长度改变了,BAAB（1）把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改,18,B,A,（,3,）把桥平移到和,A,相连,.,（,4,）把桥平移到和,B,相连,.,AM,+,MN,+,BN,长度有没有改变呢？,BA（3）把桥平移到和A相连.（4）把桥平移到和B相连.,19,解决问题,B,A,A,1,M,N,如图，平移,A,到,A,1,，使,AA,1,等于河宽，连接,A,1,B,交河岸于,N,作桥,MN,，此时路径,AM,+,MN,+,BN,最短,.,理由,:,另任作桥,M,1,N,，连接,AM,，,BN,，,A,N,.,由平移性质可知，,AM,A,N,，,AA,MN,M,N,，,AM,A,N,.,AM+MN+BN,转化为,AA,A,B,，而,A M,M,N,BN,转化为,AA,A,N,BN,.,在,A,N,B,中，因为,A,1,N,1,+,BN,1,A,1,B.,因此,AM,M,N,BN,AM+MN+BN,.,解决问题BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连,20,A,B,M,N,E,C,D,证明：,由平移的性质，得,BNEM,且,BN=EM, MN=CD,BDCE, BD=CE,A,到,B,的路径长为,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在,CD,处，连接,AC,CD,DB,CE,则,A,到,B,的路径长为,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在,ACE,中,，,AC+CE,AE,AC+CE+MN,AE+MN,即,AC+CD+DB,AM+MN+BN,，,故桥的位置建在,MN,处,，,A,到,B,的路径,最短,.,ABMNECD证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=E,21,总结：,在解决最短路径问题时，我们通常利用,轴对称、平移,等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择,.,总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把,22,随堂训练,1,、,如图，直线,l,是一条河，,P,、,Q,是,两个村庄,.,欲在,l,上的某处修建一个水泵站，向,P,、,Q,两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）,P,Q,l,A,M,P,Q,l,B,M,C,P,Q,l,M,D,D,P,Q,l,M,Q,随堂训练1、如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上,23,2,、,如图，,AOB,=30，,AOB,内有一定点P，且,OP,=10在,OA,上有一点,Q，OB,上有一点,R,若,PQR,周长最小，则最小周长是（ ）,A10 B15,C20 D30,A,2、如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=1,24,3,、,如图，牧童在,A,处放马，其家在,B,处，,A,、,B,到河岸的距离分别为,AC,和,BD,，且,AC,=,BD,若点,A,到河岸,CD,的中点的距离为,500,米，则牧童从,A,处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是,米,.,A,C,B,D,河,1000,3、如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别,25,4,、,如图，荆州古城河在,CC,处直角转弯，河宽相同，从,A,处到,B,处，须经两座桥：,DD,EE,（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使,ADD E EB,的路程最短？,A,D,D ,C,C,E,E,B,4、如图，荆州古城河在CC 处直角转弯，河宽相同，从A处到,26,解：,作,AF,CD,且,AF,=,河宽，作,BG,CE,，,且,BG,=,河宽，连接,GF,与河岸相交于,E,D,.,作,DD,EE,即为桥,.,理由：由作图法可知，,AF,/,DD,，,AF=DD,，,则四边形,AFD,D,为平行四边形，,于是,AD,=,FD,同理，,BE,=,GE,，,由两点之间线段最短可知，,GF,最小,.,A,D ,C,C,E,E,B,F,G,D,解：作AFCD,且AF=河宽，作BG CE，且BG=河宽,27,课堂小结,原理,线段公理和垂线段最,短,牧马人饮马问题,解题方法,造桥选址问题,关键是将固定线段“桥”,平移,最短路径问题,轴对称知识,+,线段,公理,解题方法,课堂小结原理线段公理和垂线段最短牧马人饮马问题解题方法造桥选,28,人教版八年级数学上册最短路径问题ppt课件,29,