自动控制原理第7章资料课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,7,章 离散控制系统,自动控制原理,普通高等教育“十一五”国家级规划教材,机械工业出版社,离散系统与连续系统相比，既有本质上的不同，又有分析和研究方法的相似性。利用,Z,变换法研究离散系统，可以将连续系统中的许多概念和方法，推广至离散系统中。本章主要讨论离散时间线性系统的分析方法。首先建立信号采样和保持的数学描述，然后介绍,Z,变换理论与性质，以及系统的脉冲传递函数，最后研究系统稳定性分析和最少拍系统设计方法。,第,7,章 离散控制系统,7.1,概述,7.2,采样过程与采样定理,7.3 Z,变换理论,7.4,离散控制系统的数学描述,7.5,离散控制系统的分析与设计,8/9/2024,2,7.1,概述,如果系统中的变量都是连续时间信号，称该系,统为连续时间系统。但在许多实际系统中，连续控,制是十分困难的，甚至是难以实现的。,离散控制系统（又称为采样控制系统），它与,连续控制系统的根本区别在于：离散系统有一处或,几处信号是时间的离散函数。,一般情况下，控制信号是离散型时间函数,r,*,(t),，,因此取系统输出端的负反馈信号也需要采取离散型,时间函数,b,*,(t),，于是比较后得到的偏差信号将是离,散型时间函数，即,(7-1),8/9/2024,3,因此在离散系统中，通过控制器对被控对象进,行控制的偏差信号,e,*,(t),仍是离散信号。图,7.1,是离,散系统的方框图。图中两个采样开关的动作一般是,同步的，因此可等效地简化为图,7.2,的形式。其中离,散反馈信号,b,*,(t),是由连续型的时间函数,b(t,),通过采,样而获得的。采样开关经一定时间,T,后闭合，每次闭,合时间为,(,T),，如图,7.3,所示。,图,7.1,离散系统方框图,图,7.2,离散系统简化方框图,8/9/2024,4,图,7.3,离散型时间函数,离散控制系统最常见形式是数字控制系统。图,7.4,是数字控制系统的结构图。图中用于控制的计算,机,D,工作在离散状态，被控对象,G(s,),工作在模拟状态。,8/9/2024,5,图,7.4,数字控制系统,图中连续控制信号,r(t,),和反馈信号,b(t,),经,A/D,转换器被转换成离散数字信号,r,*,(t),和,b,*,(t),，相比,较后得到离散偏差信号,e,*,(t)=r,*,(t)b,*,(t),。通过计,算机运算，产生离散控制序列,u,*,(t),。,u,*,(t),再经,D/A,转换器转换成模拟信号,u(t,),去控制被控对象，使系,统输出满足性能指标的要求。,8/9/2024,6,由于,A/D,和,D/A,转换器的转换精度一般都比较高，转换所造成的误差通常可忽略不计，因此,A/D,和,D/A,转换器可以用采样开关来表示。图,7.5,是图,7.4,所示的数字控制系统简化后的等效框图，其中采样开关的动作是同步的。,图,7.5,数字控制系统的简化框图,8/9/2024,7,数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一些优点：,能够保证足够的计算精度；,在数字控制系统中可以采用高精度检测元件和执行元件，从而提高整个系统的精度；,数字信号或脉冲信号的抗干扰性能好，可以提高系统的抗干扰能力；,可以采用分时控制方式，提高设备的利用率，并且可以采用不同的控制规律进行控制；,可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、智能控制等，只有数字计算机才能完成。,8/9/2024,8,7.2,采样过程与采样定理,离散系统的特点是：系统中一处或数处的信号,是脉冲序列或数字序列。为了将连续信号变换为离,散信号，需要使用,A/D,转换器,(,采样器,),；另一方面，,为了控制连续的被控对象，又需使用,D/A,转换器,(,保,持器,),将离散信号转换为连续信号。因此，为了定量,地研究离散系统，有必要对信号的采样和恢复过程,进行描述。,8/9/2024,9,7.2.1,采样过程及其数学描述,将连续信号通过采样开关,(,或采样器,),变换成离,散信号的过程称为采样过程。相邻两次采样的时间,间隔称为采样周期,T,。,本章仅限于讨论等速同步采样过程。,等速采样,:,采样开关以相同的采样周期,T,动作，又称为周期采样,多速采样,:,系统中有,n,个采样开关分别按不同周期动作,随机采样,:,采样开关动作是随机的,采样频率：,采样角频率：,采样可分为：,8/9/2024,10,采样过程如图,7.6,所示。连续信号,x(t,),经过采,样开关转换成离散信号,x,*,(t),。如果,x,*,(t),的幅值经,整量化用数字,(,或数码,),来表示，则,x,*,(t),在幅值上,也是离散的。考虑到采样开关的闭合时间远小于采,样周期,T,和系统连续部分的最大时间常数，可认为,采样时间,=0,，,x(t,),在,内变化很小，因此,x,*,(t),可用幅值为,x(kT,),，宽度为,的脉冲序列近似表示。,(a),(b),(c),图,7.6,采样过程,8/9/2024,11,由图,7.6(c),，可写出脉冲序列,x,*,(t),表达式为,式中,1(t,kT,)1(t,kT,),表示一个发生在,kT,时刻，高度为,1,，宽度为,，即面积为,的矩形脉冲。由于,T,，故该矩形脉冲可近似用理想单位脉冲来描述，即,式中,(t,kT,),为,t=,kT(k,=0,1,2,),时刻具有单位强度的理想脉冲。,(7-2),(7-3),8/9/2024,12,需要指出，具有无穷大幅值和持续时间无穷小,的理想单位脉冲只是数学上的假设，在实际物理系,统中是不存在的。因此，在实际应用中，对理想单,位脉冲,(,面积为,1),来说，只有讨论其面积，或强度才,有意义。式,(7-3),就是基于这种观点，从矩形脉冲及,理想脉冲的面积来考虑的。,采样开关对连续信号,x(t,),进行采样后，其输出,的离散时间信号,x,*,(t),可表示为,(7-4),式中,(kT,),表示发生在,kT,时刻脉冲的强度，其值与,被采样的连续信号,x(t,),在采样时刻,kT,时的值相等。,8/9/2024,13,式,(7-4),表明，离散信号是由一系列脉冲组成，在采样时刻,t=,kT,，脉冲的面积就等于该时刻连续信号,x(t,),的值,x(kT,),。式,(7-4),也可写作,(7-5),因此，采样过程从物理意义上可以理解为脉冲调制过程。在这里，采样开关起着理想单位脉冲发生器的作用，通过它将连续信号,x(t,),调制成脉冲序列,x,*,(t),。,8/9/2024,14,7.2.2,采样定理,在设计离散控制系统中，采样周期的选择是一,个关键问题。如果采样周期,T,越短，即采样角频率越,高，则,x,*,(t),中包含的,x(t,),信息越多。但采样周期不,可能无限短。假设连续信号,x(t,),的频率特性为,(7-6),该信号的频谱,|,X(j,)|,是一个单一的连续频谱，其,最高频率为,max,，如图,7.7(a),所示。从图中可见，,x(t,),不包含任何大于,max,的频率分量。,根据式,(7-5),，离散信号,x,*,(t),的拉普拉斯变换为,(7-7),8/9/2024,15,(a),图,7.7,连续信号及离散信号的频谱,式中,s,=2,/T,为采样频率，,X(s,),为,x(t,),的拉氏变,换。若,X,*,(s),的极点全都位于,s,左平面，可令,s=,j,，,求得,x,*,(t),的傅氏变换为,(7-8),8/9/2024,16,式中,X(j,),为连续信号,x(t,),的傅氏变换，,|,X(j,)|,即为,x(t,),的频谱，即,(7-9),式,(7-9),中离散信号,x,*,(t),的频谱,|X,*,(,j,)|,是以采样频率,s,为周期，由无限多,x(t,),的频谱,|,X(j,)|,叠加而成。当,s,2,max,时，离散信号的频谱为无限多个孤立频谱组成的离散频谱，其中与,k=0,对应的是采样前原连续信号的频谱，幅值为原来的,1/T,，如图,7.7(b),所示。,若,s,2,max,，离散信号,x,*,(t),的频谱不再由孤立频谱构成，而是一种与原来连续信号,x(t,),的频谱毫不相似的连续频谱，如图,7.7(c),所示。,8/9/2024,17,(b),图,7.7,连续信号及离散信号的频谱,(c),8/9/2024,18,要从离散信号,x,*,(t),中完全复现出采样前的连续信号,x(t,),，必须使采样频率,s,足够高，以使相邻两频谱不相互重叠。,定理,7.1,(Shannon,定理,),：,如果对一个具有有限频谱,(-,max,2,max,。,8/9/2024,19,(2),若式,(7-10),成立，将离散信号,x,*,(t),通过一,个理想低通滤波器，就可以把,s,max,的高频分量全部滤除掉，使,X,*,(,j,),中仅留下,X(j,)/T,部分，,再经过放大器对,1/T,进行补偿，便可无失真地将原连续信号,x(t,),完整地提取出来。理想低通滤波器特性如图,7.7(b),中虚线所示。,(3),采样周期,T,是离散控制系统中的一个关键参数。如果采样周期选得越小，即采样频率越高，对被控系统的信息了解得也就越多，控制效果也就越好。但同时会增加计算机的运算量。反之，如果采样周期选择越大，由于不能全面掌握被控系统的信息，会给控制过程带来较大的误差，降低系统的动态性能，甚至有可能使整个控制系统变得很不稳定。,8/9/2024,20,7.2.3,信号的恢复,离散信号还原成连续信号时需使用的理想滤波器在物理上是无法实现的。实际中广泛应用的,滤波器是,保持器,(,或保持电路,),。,信号恢复,/,保持就是将离散时间信号变成连续时间信号。实现保持功能的器件称为保持器。保持器是具有外推功能的元件，其外推作用表现为当前时刻的输出信号是过去时刻离散信号的外推。保持器在离散系统中的位置应处在采样开关之后,(,图,7.8),。,图,7.8,保持器方块图,8/9/2024,21,能够物理实现的保持器都必须按现在时刻或过,去时刻的采样值实行外推，而不能按将来时刻的采,样值外推。具有常值、线性、二次函数,(,如抛物线,),型外推规律的保持器，分别称为零阶、一阶、二阶,保持器。,工程实践中普遍采用零阶保持器。零阶保持器,是一种按常值规律外推的保持器。它把前一个采样,时刻,kT,的采样值,x(kT,),不增不减地保持到下一个采,样时刻,(k+1)T,。当下一个采样时刻,(k+1)T,到来时应,换成新的采样值,x(k+1)T,继续外推。也就是说，,kT,时刻的采样值只能保存一个采样周期,T,，到下一,个采样时刻到来时应立即停止作用，下降为零。,8/9/2024,22,零阶保持器的时域特性,g,h,(t,),如图,7.9(a),所示。,它是高度为,1,宽度为,T,的方波。高度等于,1,，说明采,样值经过保持器既不放大、也不衰减；宽度等于,T,，说明零阶保持器对采样值保存一个采样周期。图,7.9(a),所示的,g,h,(t,),可以分解为两个阶跃函数之和，,如图,7.9(b),所示。,图,7.9,零阶保持器的时域特性,(b),(a),8/9/2024,23,(7-11),则零阶保持器的传递函数为,(7-12),令,s=,j,，带入式,(7-12),中得零阶保持器频率特性为,(7-13),或写成,(7-14),因此零阶保持器的单位脉冲响应,g,h,(t,),是一个幅值为,1,、持续时间为,T,的矩形脉冲，可表示为两个阶跃函数之和，即,8/9/2024,24,式,(7-14),中，,|,G,h,(,j,)|,为零阶保持器的幅频特性或频谱；,G,h,(j,),为零阶保持器的相频特性。它们与频率,的关系分别为,(7-15),(7-16),8/9/2024,25,从幅频特性来看，零阶保持器是具有高频衰减,特性的低通滤波器，且频率越高衰减越剧烈，,0,时的幅值为,T,；从相频特性来看，零阶保持器具有负,的相角，会对闭环系统的稳定性产生不利的影响。,图,7.10,零阶保持器的幅频与相频特性,8/9/2024,26,零阶保持器有无穷多个截止频率，除允许主频,谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。所以零,阶保持器并不是只有一个截止频率的理想低通滤波,器，因此由零阶保持器恢复的连续信号,x,h,(t,),与原连,续信号,x(t,),是有差异的，主要表现在,x,h,(t,),具有阶梯,形状，采样周期取得越小，上述差别也就越小。,图,7.11,零阶保持器的输出信号,8/9/2024,27,需要指出，在相位上存在滞后现象，是各阶保持器具有的共性。零阶保持器相对于其他类型的保持器具有最小的相位滞后，且容易实现，因此在离散控制系统中应用最为广泛。对于通过零阶保持器的高频分量，它对系统的被控制信号的影响不大，这是由于一般系统中的连续部分均具有较好的低通滤波特性，可以使绝大部分的高频分量被抑制掉。因此，在离散控制系统中采用零阶保持器来恢复离散信号已足够，没有必要采用更复杂的高阶保持器。,此外零阶保持器引入了附加的滞后相移，,x,h,(t,),比,x(t,),在时间上平均滞后半个采样周期（如图,7.11,中虚线所示），这使系统的相对稳定性有所降低。,8/9/2024,28,7.3 Z,变换理论,Z,变换的思想来源于连续系统。在分析连续时,间线性系统的动态和稳态特性时，采用拉普拉斯变,换，将系统时域的微分方程转换成,s,域的代数方程，,并得到系统的传递函数，从而便于分析系统的性能。,与此相似，在分析离散时间系统的性能时，可使用,Z,变换建立离散时间线性系统的脉冲传递函数，进,而分析系统的性能。,Z,变换又称为离散拉普拉斯变,换，是分析离散系统的重要数学工具。,8/9/2024,29,7.3.1 Z,变换定义,设连续时间函数,x(t,),可进行拉普拉斯变换，其拉氏变换为,X(s,),。连续时间函数,x(t,),经采样周期为,T,的采样开关后，得到离散信号,x,*,(t)(,式,7-4),，即,对上式表示的离散信号进行拉氏变换，可得,(7-17),式中,X,*,(s),是离散时间函数,x,*,(t),的拉氏变换。,8/9/2024,30,因复变量,s,包含在指数函数,e,-kTs,中不便计算，故引进一个新变量,z,，即,(7-18),式中，,T,为采样周期。将式,(7-18),代入式,(7-17),，,便得到以,z,为变量的函数,X(z,),，即,(7-19),式中,X(z,),称为离散时间函数,X,*,(s),的,Z,变换，记为,在,Z,变换中，考虑的是连续时间信号经采样后的离散时间信号，或者说考虑的是连续时间函数在采样时刻的采样值，而不考虑采样时刻之间的值。,8/9/2024,31,式,(7-19),只适用于离散时间函数，只能表征连,续时间信号在采样时刻的信息，不能给出采样时刻,之间的信息。从这个意义上说，连续时间函数,x(t,),与相应的离散时间函数,x,*,(t),具有相同的,Z,变换，即,(7-20),Z,变换中一般项,x(kT)z,-k,与离散函数的拉氏变换,中一般项,x(kT)e,-kTs,物理意义相同。,z,-k,表征采样脉冲,出现时刻，,x(kT,),表征该时刻采样脉冲幅值。,Z,变换,实际上是拉氏变换的一种演化，目的是把原来是,s,的,超越函数,X,*,(s),则变为,z,的有理函数,X(z,),，以便于对,离散系统进行分析和设计。从离散拉氏变换到离散,z,变换，就是由复变量,s,平面到复变量,z,平面的映射变,换，这个映射关系就是式,(7-18),。,8/9/2024,32,7.3.2,Z,变换方法,(1),级数求和法,式,(7-19),是离散函数,x,*,(t),的,Z,变换的级数展开形式，将其改写成,(7-21),该式是,Z,变换的一种级数表达式。显然，只要知道,连续时间函数,x(t,),在各采样时刻,kT,(k=0,1,2,),上的采样值,x(kT,),，便可求出,Z,变换的级数展开式。,这种级数展开式具有无穷多项，是开放的，如果不,能写成闭式，是很难应用的。一些常用函数的,Z,变换,的技术展开式可以写成闭式的形式。,8/9/2024,33,例,7-1,试求单位阶跃函数,1(t),的,Z,变换。,解,单位阶跃函数,1(t),在所有采样时刻上的采样值均为,1,，即,将上式代入式,(7-21),，得,或,(7-22),上式中，若,|,z,|,1,，可写成如下的封闭形式，即,(7-23),8/9/2024,34,例,7-2,试求衰减的指数函数,e,-at,(a,0),的,Z,变换。,解,将,e,-at,在各采样时刻的采样值代入式,(7-21),中，得,(7-24),若,|,e,at,z,|1,则上式可写成闭式的形式，即,(7-25),例,7-3,试求理想脉冲序列,的,Z,变换。,解,因为,T,为采样周期，所以,8/9/2024,35,因此，理想脉冲的级数展开式为,(7-26),将上式写成闭合形式,(7-27),例,7-4,试求函数,a,k,的,Z,变换。,解,将,a,k,在各采样时刻的采样值代入式,(7-21),中得,(7-28),将该级数写成闭合形式，得,a,k,的,Z,变换，即,(7-29),8/9/2024,36,例,7-5,试求函数,x(t,)=,sint,的,Z,变换。,解,因为,所以,(7-30),通过级数求和法求取已知函数,Z,变换的缺点在于：,需要将无穷级数写成闭合形式。在某些情况下需要,很高的技巧。,Z,变换的无穷级数形式,(7-21),的优点,在于具有鲜明的物理含义。,8/9/2024,37,(2),部分分式法,设连续时间函数,x(t,),的拉普拉斯变换,X(s,),为有理函数，并具有如下形式,将,X(s,),展开成部分分式和的形式，即,由拉氏变换知，与,项相对应的时间函数为,，根据式,(7-25),便可求得其,Z,变换为 ，因此，函数,x(t,),的,Z,变换可由,X(s,),求得,(7-31),8/9/2024,38,例,7-6,利用部分分式法求取正弦函数,sint,的,Z,变换。,解,已知,，将 分解成部分分式,和的形式，即,由于 拉氏变换,的原函数为 ；再根据式,(7-25),可求得上式的,Z,变换,(7-32),8/9/2024,39,例,7-7,已知连续函数,x(t,),的拉氏为 ，,求连续时间函数,x(t,),的,Z,变换。,解,将,X(s,),展成如下部分分式,对上式逐项取拉氏反变换，得,据求得的时间函数，逐项写出相应的,Z,变换，得,(7-33),8/9/2024,40,(3),留数计算法,假如已知连续时间函数,x(t,),的拉氏变换,X(s,),及,全部极点,s,i,(i,=1,2,3,n),，则,x(t,),的,Z,变换,X(z,),可通过留数计算求得。,先分析,X(z,),和,X(s,),的关系。由拉氏反变换式有,当对,x(t,),以采样周期,T,进行采样后，其采样值为,(7-34),而,x(kT,),的,Z,变换为,(7-35),8/9/2024,41,将式,(7-34),代入式,(7-35),得,符合收敛条件,|,z,|,|,e,Ts,|,时，,可写成闭式,将此其代入式,(7-35),，得,(7-36),这就是由拉普拉斯变换函数直接求相应的,Z,变换函数,的关系式。这个积分可以应用留数定理来计算。,8/9/2024,42,即,(7-37),式中，,s,i,为,X(s,),的极点；,n,为,X(s,),的极点个数；,表示求,F(s,),在,s=,s,i,处的留数。,(7-38),若,s,i,为,X(s,),的,r,i,重极点，则,(7-39),若,s,i,为,X(s,),的单极点，则,8/9/2024,43,例,7-8,求,x(t,)=t,-at,的,Z,变换。,解,由于 ，所以,s,1,=0,，,r,1,=2,。根据式,(7-39),得,求,x(t,)=,te,at,的,Z,变换。,例,7-9,解,由于 ，所以,s,1,=a,，,r,1,=2,。根据,式,(7-39),计算,X(z,),，即,8/9/2024,44,例,7-10,已知 ，求,X,(,z,),。,解,由,X(s,),可知,s,1,=1,，,s,2,=2,均为单极点，则可根据,式,(7-38),计算留数，即,8/9/2024,45,常用函数的,Z,变换及相应的拉氏变换如表,7.1,所,示。这些函数的,Z,变换都是,z,的有理分式，且分母多,项式的次数大于或等于分子多项式的次数。表中各,Z,变换的有理分式中，分母,z,多项式的最高次数与相,应的传递函数分母,s,多项式的最高次数相等。,表,7.1 Z,变换表,X,(,s,),x,(,t,),或,x,(,k,),X,(,z,),1,(,t,),1,e,-kTs,(,t,kT,),z,k,1(,t,),t,8/9/2024,46,表,7.1 Z,变换表（续）,t,2,e,-at,a,k,1e,-at,sin,t,cos,t,T,e,-,aT,e,-at,sin,t,e,-at,cos,t,8/9/2024,47,7.3.3 Z,变换性质,Z,变换有一些基本定理，可以使,Z,变换的应用变,得简单和方便，在许多方面与拉普拉斯变换的基本,定理有相似之处。,(1),线性定理,设函数,x(t,),、,x,1,(t),、,x,2,(t),的,Z,变换分别为,X(z,),、,X,1,(z),及,X,2,(z),，,a,为常数，则有,(7-40),(7-41),此定理可由,Z,变换定义直接证得。,8/9/2024,48,(2),时移定理,如果函数,x(t,),的,z,变换为,X(z,),，则,式,(7-42),亦称延迟定理，式,(7-43),亦称超前定理。,(7-42),(7-43),证明,首先证明式,(7-42),。,令,ik=r,，,由,则求得,8/9/2024,49,如果,t,0,时,x(t,)=0,，则,x(,kT,)=x(2T)=,x(T)=0,，则式,(7-42),可写成,(7-44),延迟定理说明，原函数在时域中延迟,k,个采样周期，相当于像函数乘以,zk,。,8/9/2024,50,再证明式,(7-43),，,由 ，,令,i+k,=r,，,则求得,若满足,x(0)=,x(T,)=,x(k,1)T=0,，上式可简写为,(7-45),算子,z,k,的意义，相当于把时间信号超前,k,个采样周期。,8/9/2024,51,(3),初值定理,如果函数,x(t,),的,Z,变换为,X(z,),，并且,t,0,时有,x(t,)=0,，则,(7-46),证明,由,Z,变换定义可得,在上式中，当,z,时，除第一项外，其余各项均为,零，即,8/9/2024,52,(4),终值定理,如果函数,x(t,),的,Z,变换,X(z,),的极点均位于,z,平面的单位圆内，且不含有,z=1,的二重以上的极点，则,x(t,),的终值为,(7-47),证明,由,得,当,z1,时，两边取极限得,8/9/2024,53,7.3.4 Z,反变换方法,根据,X(z,),求离散时间信号,x*(t),或采样时刻值,的一般表达式,x(kT,),的过程称为,Z,反变换，记为,Z,-1,X(z),。下面介绍三种常用求,Z,反变换的方法。,(1),长除法,由函数的,Z,变换表达式，直接利用长除法求出,按,z,-1,升幂排列的级数形式，再经过拉氏反变换，,求出原函数的脉冲序列。,X(z,),的一般形式为,8/9/2024,54,用长除法求出,z,-1,的升幂形式，即,(7-48),求,X,(,z,)=,的,Z,反变换，其中,e,-aT,=0.5,。,例,7-11,解,用长除法将,X(z,),展开为无穷级数形式,相应的脉冲序列为,8/9/2024,55,(2),部分分式法,通过部分分式法求取,Z,反变换的过程，与应用,部分分式法求取拉普拉斯反变换很相似。首先需将,用部分分式法展开成形式的诸项之和，即,(7-49),再将等号两边同乘以复变量,z,，通过,Z,反变换求取相应的时间函数，最后将上述各时间函数求和即可。,例,7-12,求,的,Z,反变换。,解,首先将,展开成下列部分分式,8/9/2024,56,由此可得,得,根据,t=,kT,，并且只考虑采样时刻的函数值，则,x,*,(t),还可用,x(t,),来表示，即,再由,8/9/2024,57,(3),留数计算法,留数法又称反演积分法。实际问题中遇到的,Z,变换函数,X(z,),除有理分式外也可能是超越函数，此时无法应用部分分式法或幂级数法来求取,Z,反变换，只能采用留数计算法。若,x(kT,),的,Z,变换为,X(z,),，则有,(7-50),式中，积分曲线,c,为逆时针方向包围,X(z)z,k-1,全部极,点的圆。式,(7-50),可等效为,(7-51),上式表明，,x(kT,),为函数,X(z)z,k-1,在其全部极点上的留数之和。,8/9/2024,58,例,7-13,求 的,Z,反变换。,或,解,例,7-14,求,的,Z,反变换。,解,X(z,),中互不相同的极点为,z,1,=a,及,z,2,=1,，,8/9/2024,59,由此可求得,X(z,),的,Z,反变换为,以上列举了求取,Z,反变换的三种常用方法。其中,长除法最简单，但是由长除法得到的,Z,反变换是开式,而非闭式，因此应用时较为困难。而部分分式法和,留数计算法得到的,Z,反变换均为闭式。,其中,z,1,为单极点，即,r,1,=1,；,z,2,为二重极点，即,r,2,=2,，不相同的极点数为,l=2,。则,8/9/2024,60,7.4,离散控制系统的数学描述,系统的数学模型是描述系统中各变量之间相互,关系的数学表达式。分析连续时间系统时，一般采,用微分方程来描述系统输入变量与输出变量之间的,关系。而在分析研究离散时间系统时，需建立系统,的数学表达式，可以采用差分方程描述在离散的时,间点上（即采样时刻），输入离散时间信号与输出,离散时间信号之间的相互关系。,8/9/2024,61,7.4.1,线性常系数差分方程,对于一般的连续时间线性定常系统，输入和输,出信号都是连续时间的函数，用连续时间系统的微,分方程或积分方程描述其内在规律。而离散时间系,统的输入和输出信号都是离散时间函数，,kT,时刻的,输出不但与,kT,时刻的输入有关，还与,kT,时刻以前若,干个采样时刻的输入和输出有关，其动力学行为不,能用时间的微商来描述，必须用差分方程来描述。,差分方程是反映离散系统输入,-,输出序列之间的,运算关系。微分方程中的各项包含有连续自变量的,函数及其导数。差分方程中自变量是离散的，方程,的各项除了包含有这种离散变量的函数，还包含此,函数序数增加或减少的函数。,8/9/2024,62,设系统为一阶惯性环节，如图,7.12(a),所示。系统的传递函数为,其微分方程为,该连续系统对应的离散系统如图,7.12(b),所示。采样开关,K,a,对输入信号每隔,T,秒采样一次，得序列,。输出经过与,K,a,同步的采样开关,K,b,后,的序列为 。下面来研究,y(kT,),与,x(kT,),之间的关系。,(7-52),8/9/2024,63,(a),(b),图,7.12,连续时间系统和离散时间系统的方框图,与连续时间系统中求解微分方程的方法一样，,对于离散时间系统，求解差分方程时也可以分别求,出其零输入分量和零状态分量，然后迭加得到方程,的全解。考察在,t,kT,时的情况。当,tkT,而该时刻,的脉冲尚未施加时，由该时刻开始的零输入分量为,(7-53),8/9/2024,64,由于此系统的单位脉冲响应是,。,(7-54),于是，,t,kT,后的系统总输出为,(7-55),当,t=(k+1)T,时，式,(7.55),为,或,(7-56),(7-57),所以当,t=,kT,，第,k,个脉冲,x(kT)(t,kT,),加于系统后，系统输出的零状态分量为,8/9/2024,65,差分方程式,(7-56),或,(7-57),是描述描述了系统在第,k,个采样周期时输入与输出信号的关系。从式中可以看出，差分方程的系数与采样周期,T,有关。,比较式,(7-52),和式,(7-57),可以看出，若,y(t,),与,y(kT,),相当，则,y(kT,),中离散变量序号加,1,与,y(t,),对连续变量,t,取一阶导数相当，于是上面两式中各项都可一一对应。差分方程和微分方程不仅形式相似，而且在一定条件下还可以互相转化。假设时间间隔,T,足够小，当,t=,kT,时，有,因此，式,(7-52),可改写为,8/9/2024,66,经整理后，可得,(7-58),式,(7-58),与式,(7-57),形式相同。当,T,足够小时，,微分方程,(7-52),可以近似为差分方程式,(7-58),，采,样时间,T,越小，则近似得越好。对于一个物理系统，,用常系数线性,n,阶差分方程来描述时，一般形式为,(7-59),式中，,a,i,和,b,i,(i,=0,1,2,n),均为常数。式,(7-59),再次说明输出,y(k,),不仅取决于当前的输入,x(k,),，而,且与前,n,个输入,x(k,i),以及前,n,个输出,y(k,i),有关，,且其关系是线性的。,8/9/2024,67,7.4.2,脉冲传递函数,引入,z,变换的一个重要作用是用于导出离散时,间线性定常系统的脉冲传递函数，这为离散时间系,统的分析和控制带来极大的方便。,(1),脉冲传递函数定义,在线性连续系统中，当初始条件为零的情况下,分别取输入,r(t,),和输出,c(t,),的拉氏变换，则它们的,比值,C(s)/R(s,)=,G(s,),称为系统的传递函数。在离散,系统中也有同样的表达方法，在初始条件为零的情,况下取输出,Z,变换与输入,Z,变换之比,(7-60),上式称为系统脉冲传递函数，也称,z,传递函数。,8/9/2024,68,下面从系统的单位脉冲响应的角度推导脉冲传递函,数，并说明其物理意义。设输入信号,r(t,),经采样开,关后为一脉冲序列，如图,7.13(a),所示。,这一脉冲序列作用于系统的,G(s,),时，系统输出为一,系列脉冲响应之和，如图,7.13,所示。,(a),(b),(c),图,7.13,脉冲响应,8/9/2024,69,当,0tT,时，作用于,G(s,),的输入脉冲为,r(0),时，则,系统的输出响应为,式中,g(t,),为系统,G(s,),的单位脉冲响应，且满足,当,Tt,2T,时，系统处于两个输入脉冲的作用下：,一个是,t=0,时的,r(0),脉冲作用，它产生的响应依然存在；另一个是,t=T,时的,r(T,),脉冲作用。因此在此区间内的系统输出响应为,8/9/2024,70,在,kTt,0,时，,g(t,)=0,，所以当,ik,时，式,(7-62),中,可见当系统输入为一系列脉冲时，输出为各脉,冲响应之和。在,t=,kT,时刻系统输出的采样信号值为,8/9/2024,71,因此，,kT,时刻以后的输入脉冲，如,r(k+1)T,r(k+2)T,不会对,kT,时刻的输出信号产生影,响，故式,(7-62),中求和上限可扩展为,i,，可得,(7-63),由,Z,变换的定义，得,(7-64),于是有下式成立,8/9/2024,72,(7-65),令,ki=n,，同样考虑到当,n,0,时，,g(nT,)=0,，又有,(7-66),故,(7-67),G(z,),就是图,7.13(b),所示系统的脉冲传递函数。,由于式,(7-67),是脉冲响应函数的采样序列的,Z,变换，,所以又称为系统的,z,传递函数。,8/9/2024,73,有两点需要说明：,物理系统在输入为脉冲序列的作用下，其输出量是时间的连续函数，如图,7.14,的,c(t,),。但如前所述，,Z,变换只能表征连续时间函数在采样时刻的采样值。因此，这里所求得的脉冲传递函数，是取系统输出的脉冲序列作为输出量。因此，在方框图上可在输出端虚设一个同步采样开关，如图,7.14,所示。实际系统中这个开关并不存在。,图,7.14 z,传递函数,8/9/2024,74,G(s,),表示线性环节本身的传递函数，而,G(z,),表示图,7.14,中的线性环节与采样开关组合形成的传,递函数。尽管计算,G(z,),时只需知道该环节的,G(s,),即,可，但计算出来的,G(z,),却包括了采样开关。若无采,样开关且输入信号是连续时间函数，那么就无法求,出,z,传递函数，即在此情况下不能将输入信号和线性,环节分开进行,Z,变换，只能求出输出信号的,Z,变换。,若,G(s,),形式比较复杂，要先展开成部分分式，,以便与拉氏变换和,Z,变换中的基本形式相对应。,例,7-15,系统如图,7.14,所示，已知,求,z,传递函数,G(z,),。,8/9/2024,75,解,将,G(s,),分解成部分分式,查表,7.1,可得,例,7-16,离散系统的差分方程为,假设系统的初始条件为零，试求系统的,z,传递函数。,解,对上式两侧进行,Z,变换，由时移定理中的延迟定理，并提出公因子可,8/9/2024,76,整理后得,例,7-17,设离散系统的差分方程为,式中,试求系统响应,c(k,),。,解,对差分方程两侧取,Z,变换得,整理并注意到,r(k,),的,Z,变换,R(z,)=1,，得,查表,7.1Z,变换表，并应用延迟定理，可以得到,8/9/2024,77,(2),串联环节的开环脉冲传递函数,当开环离散系统由几个环节串联组成时，其脉,冲传递函数的求法与连续系统情况不完全相同。即,使两个开环离散系统的组成环节完全相同，但是由,于采样开关的数目和位置不同，所求的开环脉冲传,递函数也是截然不同的。离散系统中总的脉冲传递,函数可归纳为两种典型形式，串联环节之间无采样,开关,(,图,7.15),和串联环节之间有采样开关,(,图,7.16),。,1),串联环节之间无采样开关,图,7.15(a),所示为系统串联的两个环节,G,1,(s),和,G,2,(s),之间无采样开关的情形。根据方框图简化原则可简化为图,7.15(b),。开环系统的脉冲传递函数可由连续工作状态的传递函数,G,1,(s),和,G,2,(s),的乘积求得,8/9/2024,78,(7-68),即等于各环节传递函数之积的,z,变换。,(a),(b),图,7.15,环节之间无采样器分隔,上述结论可推广到无采样开关间隔的,n,个环节串联的情况。,8/9/2024,79,例,7-18,两串联环节,G,1,(s),和,G,2,(s),之间无采样开关，,试求串联环节等效的脉冲传递函数,G(z,),。,解,串联系统的脉冲传递函数为,8/9/2024,80,2),串联环节之间有采样开关,图,7.16,环节之间有采样器分隔,图,7.16,所示为两串联环节之间有采样开关的情,形。图中采样器,T1,和,T2,是同步的。对于第一个环节，,由于前后都存在采样开关，其输入为采样输入,r(kT,),，,输出经采样器后为,c,1,(kT),，有,8/9/2024,81,对于第二个环节，其输入为,c,1,(kT),，输出为,c(t,),，,其,Z,变换为,两环节串联后，其总的脉冲传递函数为,(7-69),当串联环节之间有采样开关时，系统脉冲传递函数等于这两个环节脉冲传递函数的乘积。上述结论可以推广到多个环节串联而且环节间都存在同步采样开关的情形，总的脉冲传递函数等于各个环节的脉冲传递函数的乘积。,8/9/2024,82,例,7-19,两串联环节,G,1,(s),和,G,2,(s),之间有采样开关，,试求串联环节等效的脉冲传递函数,G(z,),。,解,串联系统的脉冲传递函数为,说明：在串联环节间有无采样开关其脉冲传递函数是完全不同的。勿将,G,1,G,2,(z),与,G,1,(z)G,2,(z),相混淆。,G,1,G,2,(z),表示两个串联环节的传递函数相乘后再取,z,变换，而,G,1,(z)G,2,(z),表示,G,1,(s),和,G,2,(s),先各自取,z,变换后再相乘。通常,G,1,G,2,(z)G,1,(z)G,2,(z),。,8/9/2024,83,(3),闭环系统脉冲传递函数,由于采样开关在闭环系统中可能存在于多个位置，因此闭环离散系统没有唯一的结构形式。下面介绍几种常用的闭环系统的脉冲传递函数。,1),设闭环系统如图,7.17,所示。图中虚线所示的理想采样开关是为了便于分析而虚设的。所有采样开关都是同步工作的。在系统中，误差信号是采样的。由方框图可得,式中，,E(z,),、,R(z,),和,B(z,),分别是,e(t,),、,r(t,),和,b(t,),经采样后脉冲序列的,Z,变换；,GH(z,),为环节串联且环节之间无采样器时的脉冲传递函数，它是,G(s)H(s,),的,Z,变换，由以上两式可求得,8/9/2024,84,(7-70),系统输出的,Z,变换为,C(z,)=,G(z)E(z,),，即,(7-71),或,(7-72),式,(7-72),为图,7.17,所示闭环系统的脉冲传递函数。,图,7.17,闭环离散系统,8/9/2024,85,2),设闭环系统如图,7.18,所示。讨论系统的连续部分有扰动输入,n(t,),时的脉冲传递函数。此时假设给定输入信号为零，即,r(t,)=0,。由方框图得到,由以上两式可求得,(7-73),图,7.18,扰动输入时的离散闭环系统,8/9/2024,86,式中，由于作用在连续环节,G,2,(s),输入端的扰动未经采样，所以只能得到输出量的,Z,变换式，而不能得出对扰动的脉冲传递函数，这与连续系统有所区别。,例,7-20,设闭环系统结构如图,7.19,所示，试求系统,输出的,z,变换。,图,7.19,例,7-20,的闭环离散系统,解,由于,8/9/2024,87,整理，得,由上式无法解出,C(z)/R(z,),，因此也不能求出闭环系统的脉冲传递函数。,例,7-21,系统结构如图,7.20,所示，试求闭环系统的,单位阶跃响应。,图,7.20,例,7-21,闭环离散系统,8/9/2024,88,解,系统的开环脉冲传递函数为,其闭环系统的脉冲传递函数为,对于单位阶跃输入，,因此，可求得输出量,C(z,),如下,8/9/2024,89,系统输出,c(kT,),如图,7.21,所示。,图,7.21,c(kT,),与,kT,的关系曲线,8/9/2024,90,例,7-22,设闭环离散系统结构如图,7.22,所示，试求,其闭环脉冲传递函数。,图,7.22,例,7-22,闭环离散系统,解,从系统结构图可以得到,8/9/2024,91,以上三个方程是对输出变量和实际采样开关两,端的变量列出的方程，其中均有离散信号的拉氏变,换。求以上三式对应的,Z,变换可以得到,进一步整理，可得,即,由此可得系统的,Z,变换为,8/9/2024,92,由图可见，该系统由于,R(s,),未经采样就输入到,G,1,(s),，所以系统的闭环脉冲传递函数无法求出。根,据采样开关在闭环离散系统中的不同位置，表,7.2,列,出了系统典型结构图及其输出信号的,Z,变换,C(z,),。,表,7.2,闭环采样系统典型结构图,结构图,C(z,),8/9/2024,93,表,7.2,闭环采样系统典型结构图（续）,8/9/2024,94,(4)Z,变换法的局限性,1)Z,变换的推导过程是建立在采样开关是理想开关的基础之上。即假设采样是瞬时完成的，则采样开关的输出是一系列理想脉冲，在采样瞬时每个理想脉冲的面积等于采样开关输入信号的幅值。前面曾经提到，若采样开关的持续时间远远小于采样周期，也远远小于系统连续部分的最大时间常数时，那么上述假设是成立的。,2),无论是开环还是闭环离散系统，其输出大多是连续信号,c(t,),而不是采样信号,c(kT,),。而用一般的,Z,变换只能求出采样输出,c(kT,),，这样就不能反映采样间隔内的,c(t,),值。如果要研究采样间隔内的,c(t,),值，可以采用修正,Z,变换法或等分采样周期法。,8/9/2024,95,虽然,Z,变换是研究离散时间线性系统的有效工具，但由于上述原因，研究用,c(kT,),来代替,c(t,),时，就会提出精确程度的疑问，以及由此产生的错误的结果如何处理，是否存在限制条件等问题。,下面对此进行讨论。,用,Z,变换法研究,(,开环,),离散系统时，首先必须,满足：系统连续部分传递函数,G(s,),的极点至少比零点多两个，或者满足,否则，用,Z,反变换所得到的,c(kT,),，将其用光滑曲线,连接起来，与,c(t,),相比有较大误差，有时甚至是错,误的。为了说明这个问题，下面举例进行说明。,8/9/2024,96,例,7-23,设开环离散系统如图,7.23,所示，系统连续部,分传函,G(s,),不满足上述条件。设,r(t,)=1(t),，,采样周期,T=1s,，试比较,c,*,(t),与,c(t,),。,图,7.23,例,7-23,的开环离散系统,解,先用,Z,变换法求出,c,*,(t),。因为,所以,8/9/2024,97,用幂级数法将,C(z,),展成,于是得,作出,c,*,(t),如图,7.24,所示。,图,7.24,例,7-23,的采样输出函数,求出当系统连续部分的输入为 时，系统连续输出,c(t,),，如图,7.25,所示。,8/9/2024,98,由此例可知，当假设采样开关为理想开关的情况下，系统连续部分的输入为一系列理想脉冲，当连续部分的传递函数不满足极点数比零点数多两个,的条件时，系统的连续输出信号在采样点会发生跳跃，从而导致了,c,*,(t),与,c(t,),的显著差别。因此，不可能用,c,*,(t),来完整地描述,c(t,),。,图,7.25,例,7-23,的连续输出函数,8/9/2024,99,7.5,离散控制系统的分析与设计,和连续时间控制系统一样，离散时间控制系,统的分析也包括四方面内容：系统稳定性、瞬态,性能、稳态性能和最少拍设计。,8/9/2024,100,7.5.1,稳定性分析,为了将连续系统在,s,平面上的稳定性理论移植,到,z,平面上分析离散系统的稳定性，首先研究,s,平面与,z,平面的映射关系，随后讨论如何在,z,域中分析离散系统的稳定性。,(1)s,域到,z,域的映射,在连续时间线性系统中，系统的稳定性可以根据特征方程的根在,s,平面的位置来确定。若系统特,征方程的根都具有负实部，即都分布在,s,平面左半部，则系统是稳定的。由于离散时间线性系统的数学模型是建立在,z,变换的基础上，所以为了分析系,统的稳定性，首先介绍,s,平面和,z,平面之间的映射关系。,8/9/2024,101,在,Z,变换定义中，,z=,e,Ts,给出了,s,域到,z,域的关系。,s,域中的任意点可表示为,s=,+j,，映射到,z,域为,(7-74),于是，,s,域到,z,域的基本映射关系式为,(7-75),令,=0,，相当于取,s,平面的虚轴，当,从,变到,时，由式,(7-74),知，映射到,z,平面的轨迹是以原点,为圆心的单位圆。当,s,平面上的点沿虚轴从,变到,时，,z,平面上相应的点沿着单位圆转了无穷多圈。这是由于当,s,平面上的点沿虚轴从,s,/2,移动到,s,/2,时，,z,平面上的相应点沿单位圆从,逆时针变化到,，转了一圈，其中,s,为采样角频率。依此类推，,如图,7.26,所示。,8/9/2024,102,由图可见，可以把,s,平面划分为无穷多条平行于实轴的周期带，其中从,s,/2,到,s,/2,的周期带为主频带，其余的周期带为次频带。离散函数,z,变换的这种周期特性，也说明了连续函数经离散化后，其频谱会产生周期性的延拓。,(a),(b),图,7.26 s,平面内频带映射到,z,平面,8/9/2024,103,(2)z,平面内的稳定条件,根据第,3,章所述，连续系统稳定的充分必要条件是系统的闭环极点均在,s,平面左半部，,s,平面的虚轴,是稳定区域的边界。如果系统中有极点在,s,平面右半部，则系统就不稳定了，如图,7.27(a),所示。对于离散系统，其稳定的条件是系统的闭环极点均在,z,平面,上以原点为圆心的单位圆内，,z,平面上的单位圆为稳定域的边界。如果系统中有闭环极点在,z,平面上的单位圆外，则系统是不稳定的。这个结论很容易得到证实。,根据,s,域到,z,域的映射关系,8/9/2024,104,可知,i,与,|,z,i,|,存在如下关系：,在,s,平面内 在,z,平面内,i,0,右半平面,(,不稳定域,)|,z,i,|1,单位圆的外部,i,=0,虚轴上,(,临界稳定,)|,z,i,|=1,单位圆的圆周,i,0,左半平面,(,稳定域,)|,z,i,|1,单位圆的内部,(a),(b),图,7.27 s,平面与,z,平面的对应关系,8/9/2024,105,由此可见，,s,平面上的虚轴在,z,平面上映射成一,个以原点为中心的单位圆。,s,左半平面与,z,平面上单,位圆内部相对应，,s,右半平面与,z,平面上单位圆的外,部相对应。,s,平面和,z,平面的这种对应关系如图,7.27,所示。,定理,7.2,离散时间线性系统稳定的充要条件为：,离散时间线性系统的全部特征根,z,i,(i,=1,2,n),都分布在,z,平面的单位圆内，或者说全部特征根的,模都小于,1,，即,|,z,i,|1(i=1,2,n),。如果在上述特征根中，有位于,z,平面单位圆之外的特征根，则,闭环系统将是不稳定的。,8/9/2024,106,例,7-24,二阶离散系统的方框图如图,7.28,所示。试判,断系统的稳定性，设采样周期,T=1s,，,K=1,。,图,7.28,二阶离散系统,解,先求出系统的闭环脉冲传递函数为,式中,闭环系统的特征方程为,8/9/2024,107,将,K=1,，,T=1,代入，可得,特征方程的两个根都在单位圆内，所以系统是稳定的。若保持采样周期,T=1s,不变，将系统开环放大系数增大到,K=5,，则其,z,特征方程为,解之得到,解之得到,特征方程有一个根在单位圆外，系统是不稳定的。,如果上述二阶离散系统是二阶连续系统，只要,K,值是正的，则连续系统一定是稳定的。但是当系统成为二阶离散系统时，即使,K,值是正的，也不一定能保证系统是稳定的。这就说明了采样过程的存在影,响了系统的稳定性。,8/9/2024,108,(3),稳定性代数判据,根据上述,z,平面上的稳定条件，假如系统的,z,特,征方程式为,(7-76),求出该方程的根,z,i,(i,=1,2,n),就可知道系统稳定与否。与连续系统相似，不求特征根,z,i,，而借助于稳定判据，同样可分析系统的稳定性。,连续系统的劳斯,-,赫尔维茨判据，是通过系统,特征方程的系数及其符号来判别系统的稳定性。这个判据实质是判断系统特征方程的根是否都在,s,平面左半平面。但是在离散时间线性系统中需要判断系统特征根是否都在,z,平面上的单位圆内。因此连续时间线性系统的劳斯,-,赫尔维茨判据不能直接使用，必须寻找一个新变量。,8/9/2024,109,引入,z,域到,w,域的线性变换，使新的变量,w,与变量,z,之间有这样关系：,z,平面上的单位圆正好对应于,w,平,面上的虚轴，,z,平面上单位圆内的区域对应于,w,平面,左半平面，,z,平面上单位圆外的区域对应于,w,平面右,半平面。这种新的坐标变换称为双线性变换，或称,为,W,变换。,满足上述要求的变换关系是,或,上述变换关系的正确性证明如下：,(a),在,w,平面的虚轴上，,Rew,=0,，则有,即,8/9/2024,110,(,b)w,平面的左半平面，,Rew,0,，则有,即,即,将式,(7-77),代入系统的,z,特征方程，就可以使用代数稳定性判据了。,例,7-25,设具有零阶保持器的离散系统,(,图,7.29),，,采样周期,T=0.2s,，试判断系统稳定性。,解,已知,8/9/2024,111,图,7.29,例,7-25,的闭环离散系统,相应的,Z,变换为,特征方程为,1+G(z)=