多元函数微分法及其应用习题

第九章 多元函数微分法及其 应用习题课 一、内容回顾1、偏导数的定义与计算 0 00 0 0 0 00 0 x 0 ( ) ( , )( , ) limx x x xy y y yx x f x x f x yz z f x yx x 0 00 0 0 0 0 00 0 0 ( , ) ( )( , ) limx x x xy y y yy y y f x y x f x ,yz z f x yy y 求函数 的偏导数 时，只要把 暂时看作常量而对 求导数；) ,( yxfz xz yx类似地，可求函数 的偏导数 。 yz) ,( yxfz 2、多元复合函数求导法则 z uv tz uv xydz z du z dvdt u dt v dt z z u z v x u x v x z z u z vy u y v y (1)设 和 在点 可导， 在对应点 处可微，则复合函数 在点 处可导，且 )(tu t)(tv ),( vufz ),( vut)(),( ttfz (2)设 和 存在偏导数， 在对应点 处可微，则复合函数 在 偏导数存在,且 ),( yxu ),( yxv ),( vufz ),( vu),(),( yxyxfz ),( yx 3、隐函数的导数( )y f x由方程 确定的一元函数 ， 0),( yxF则有： yxFFdxdy zxFFxz zyFFyz 由方程 确定二元函数 ， 则有 ：0) , ,( zyxF ) ,( yxfz （2）. 由四个变量两个方程 所构成的方程组, 如 0),( 0),( vuyxG vuyxF确定隐函数两个二元函数),( yxuu ).,( yxvv 方程组（1）. 由三个变量两个方程所构成的方程组, 如 0),( 0),( vuxG vuxF确定隐函数两个一元函数方程组).(),( xvvxuu .dd,dd xvxu求., yvxvyuxu 求由方程组所确定的隐函数 4、多元函数微分学在几何上的应用4.1 空间曲线的切线与法平面切线方程： 0 0 00 0 0( ) ( ) ( )x x y y z zt t t 法平面方程： 0 0 0 0 0 0( )( ) ( )( ) ( )( ) 0t x x t y y t z z (1) ( ): ( ) ( )( )x tL y t tz t , 则 在点 处L 0 0 0( , , )M x y z 切线方程： 法平面方程： 0 0 00 01 ( ) ( )x x y y z zx x 0 0 0 0 0( ) ( )( ) ( )( ) 0 x x x y y x z z 切线方程和法平面方程可转化为第(2)种形式， 求出 即可.(1, , )dy dzT dx dx(3) ( , , ) 0: ( , , ) 0F x y zL G x y z ,则 在点 处L 0 0 0( , , )M x y z(2) , 则 在点 处( ): ( )y xL z x L 0 0 0( , , )M x y z 4.2 曲面的切平面与法线切平面方程： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0 x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z 法线方程： 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )x y zx x y y z zF x y z F x y z F x y z 切平面方程： 法线方程： 0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) 1x yx x y y z zf x y f x y (2) , 则 在点 处: ( , )z f x y 0 0 0( , , )M x y z (1) , 则 在点 处: ( , , ) 0F x y z 0 0 0( , , )M x y z 5.方向导数与梯度 x x0y y 0 0 0 0 02 20 ( , ) ( )limt f x x y y f x , yzl x y 二元函数 在点 沿方向 的方向导数为 ) ,( yxfz ) ,( 000 yxP l计算公式: coscoscos zfyfxflf cos sinf f fl x y 其中 是方向 的方向余弦。 cos ,cos ,cos l其中 为x 轴到方向 的转角l 0 0 0 0 0 0grad ( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x y i f x y j 函数 ( , )z f x y在点0 0( , )P x y处的梯度为一向量:. )()(),( . 22 yfxfyxgradf 梯度的模为大值它的模为方向导数的最向导数的方向一致，而它的方向与取得最大方样一个向量，函数在某点的梯度是这结论 6. 无条件极值求法步骤： 求 , 得全部驻点.( , ) 0 xf x y ( , ) 0yf x y 求 , ,0 0( , )xxf x y A 0 0( , )xyf x y B 0 0( , )yyf x y C由判别驻点为极值点的条件，验证 的符号, 2AC B确定极值点，求出极值。 7. 条件极值求法：(拉格朗日（Lagrange）乘数法) 求出极值。 构造辅助函数 ( , ) ( , ) ( , )F x y f x y x y 求解 ( , ) ( , ) 0( , ) ( , ) 0( , ) 0 x x x y y yF f x y x yF f x y x yx y 得出 , , ,x y , x y就是可能的极值点.),( yxfz 0),( yx函数 在条件 下的可能极值点: 二、典型例题 解： 1yzu y xx z 1 lnyzu x xy z 2 lnyzu y x xz z 例1、 求函数 的偏导数.yzu x分析：因为函数 为三元函数，所以，应分别求对 yzu x, ,x y z的偏导数。 解：根据复合函数求偏导法则得 例2、设 ,而 , , 求 和 .sinuz e v u xy v x y zx zyz z u z vx u x v x sin cos 1u ue v y e v sin( ) sin( )xye y x y x y z z u z vy u y v y sin cos 1 u ue v x e v sin( ) sin( )xye x x y x y 例3、 设 , 其中 具有二阶连续偏导数， ) ,( 22 xyyxfz f求2, .z zx x y 解： 设 ,2 2,u x y v xy z z u z vx u x v x 1 22xf yf 2 1 2(2 )z xf yfx y y 2 22 11 12 224 (2 2 )f xyf x y f xyf 则 利用隐函数的求导公式得 xzFzx F 2 yzz xy 2 yzz xy yzFzy F 2 xzz xy 2 xzz xy 解:令 ,则3 3( , , ) 3F x y z z xyz a 23 , 3 , 3 3x y zF yz F xz F z xy 例4、 设 ,求 .3 33z xyz a 2 zx y 分析：如果令 , 则由方程 3 3( , , ) 3F x y z z xyz a ( , , ) 0F x y z 确定了 是 的函数,求 用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。 z x y，zx 2 2( )z yzx y y z xy 2 2 2( )( ) (2 )( )z zz y z xy yz z xy yz xy 4 2 2 22 3( 2 )( )z z xyz x yz xy 计算 时，我们采用在方程两边同时对 求偏导的方法, 2zx y y并视 为 的二元函数 , 得z ,x y ( , )z x y ( 1,1,2 2)2( , , ) (1, 1, 2)t t tT x y z 例5、求曲线 在点 sin , 1 cos , 4sin 2tx t t y t z ( 1, 1, 2 2)2 处的切线及法平面方程。分析：此曲线为参数方程, 只需求出切向量为再求出切点，即可得切线及法平面方程。 ( , , ),t t tT x y z 解： 因 1 cos , sin , 2cos 2 t t t tx t y t z 故在点 处的切向量为( 1, 1, 2 2)2 所求切线方程为： 1 1 2 221 1 2x y z 法平面方程为： ( 1) ( 1) 2( 2 2) 02x y z 即 2 4 02x y z 2 2 2 02 2 2dy dzx y zdx dxdy dzx y zdx dx 解： 将所给方程的两边同时对 求导得 x 例6、求曲线 在点 处的切线及法平面方程. 222 222 50zyx zyx )5,4,3(分析：此曲线由方程组的形式给出, 也可视为参数方程, 视 x为参数，则切向量为 , 利用直接求导法对方程组求导, 解方程组, 求出切向量, 即可得切线及法平面方程。 (1, , )dy dzT dx dx (3,4,5)(1, , )dy dzT dx dx 3 1(1, ,0) (4, 3,0)4 4 因此所求切线方程为3 4 54 3 0 x y z 法平面方程为 4( 3) 3( 4) 0 x y 即 4 3 0 x y 则曲线在点 处的切向量为 )5,4,3(解得 dy xdx y 0dzdx (2,1,4)( , , 1)|x yn f f (2,1,4)(2 , 2 , 1) (4, 2, 1)x y 故切平面方程为4( 2) 2( 1) ( 5) 0 x y z 即 4 2 5 0 x y z 法线方程为 2 1 54 2 1x y z 例7、求旋转抛物面 在点 处的切平面及 法线方程. 22 yxz )5 ,1 ,2(分析：此曲面可看成 的形式, 只需求出法向量 , 即可求出切平面及法线方程.2 2( , )z f x y x y ( , , 1)x yn f f 解：设 , 则 22),( yxyxf 解：沿梯度方向的方向导数最大。梯度为 grad ( , , ) u u uu x y z i j kx y z 2 22y zi xyzj xy k 所以 2 2 (1, 1, 2)grad (1, 1, 2) 2 |u y zi xyzj xy k 2 4i j k 方向导数的最大值为 2 2 2|grad (1, 1, 2)| 2 ( 4) 1 21u 例8、问函数 在点 处沿什么方向的方向 导数最大？并求此方向导数的最大值。2u xy z (1, -1, 2)P 解： 解方程组 2 22 12 ( 2 ) 02(2 2) 0 xx xyf e x y yf e y 得驻点 1( , 1)2M 又 2 22 (2 2 4 3)xxxf e x y y 24 ( 1)xxyf e y 22 xyyf e所以 1( , 1) 4 ,2xxA f e 1( , 1) 0,2xyB f 1( , 1) 2 ,2yyC f e 故 2 28 0AC B e 4 0A e 1( , 1)2 2ef 例9、求函数 的极值. 2 2( , ) ( 2 )xf x y e x y y 因此 在点 处取得最小值, 且为 ( , )f x y 1( , 1)2 求解 001 xyF yF xx y 所以，函数的极大值为 1 1 1 1( , ) ( , )2 2 2 2 1| | 4z xy 得 为唯一驻点.1 1,2 2x y 例10、求函数 在适合附加条件 下的极大值.z xy 1x y 分析：求函数 在适合附加条件 下的极大值,z xy 1x y 为条件极值，用拉格朗日乘数法。解：构造辅助函数( , ) ( 1)F x y xy x y