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第三章第三章 协方差传播律及权协方差传播律及权P点坐标点坐标其中其中若已知边长和角度的方差和协方差若已知边长和角度的方差和协方差若已知边长和角度的方差和协方差若已知边长和角度的方差和协方差如何计算待定点如何计算待定点如何计算待定点如何计算待定点P P坐标的方差和协方差坐标的方差和协方差坐标的方差和协方差坐标的方差和协方差协方差协方差1-4 1-4 协方差传播律及其应用协方差传播律及其应用对于变量对于变量X，Y，其协方差为：其协方差为：X、Y间相互独立、不相关间相互独立、不相关X、Y间相关间相关3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律方差方差-协方差阵协方差阵对于向量对于向量X=X1，X2，XnT，将其元素间的方将其元素间的方差、协方差阵表示为：差、协方差阵表示为：方差方差-协方差阵特点协方差阵特点3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律特点特点：I 对称对称 II 正定正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 对角元对角元 素相等时，为等精度观测。素相等时，为等精度观测。3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律若若DXY=0，则，则X、Y表示为相互独立的观测向量。表示为相互独立的观测向量。若若，则，则其中其中X的协方差阵的协方差阵Y的协方差阵的协方差阵X关于关于Y的的互协方差阵互协方差阵3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律观测值线性函数的方差观测值线性函数的方差已知已知其数学期望和协方差阵为其数学期望和协方差阵为现有现有X的线性函数的线性函数则则证明：证明：停止返回3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律观测值线性函数的方差（纯量形式）观测值线性函数的方差（纯量形式）两两独立时，得两两独立时，得中误差传播律中误差传播律结论结论例例1-2 在在1：500的图上，量得某两点间的距离的图上，量得某两点间的距离 ，的量测中误差的量测中误差 ，求该两点实地距离，求该两点实地距离 及中误差及中误差 。解：解：最后写成最后写成:3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律例例1-3 设设 为独立观测值为独立观测值 的函数的函数,已知已知 的中误差的中误差 ，求函数的中误差求函数的中误差 解：解：是独立观测值，故根据下式进行求解：是独立观测值，故根据下式进行求解：注意：单位和注意：单位和“”3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律例例1-4 如图所示，设在测站如图所示，设在测站 上，已知上，已知 （设无误差），（设无误差），而观测角而观测角 和和 的中误差为的中误差为 ，协方差，协方差 ，求角求角 的中误差的中误差解：解：令令多个观测值线性函数的协方差阵多个观测值线性函数的协方差阵3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律已知已知多个观测值线性函数的协方差阵多个观测值线性函数的协方差阵3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律若若，其中，其中Z的协方差的协方差协方差传播律协方差传播律Z的协方差阵的协方差阵多个观测值线性函数的协方差阵多个观测值线性函数的协方差阵3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律已知已知多个观测值线性函数的协方差阵多个观测值线性函数的协方差阵3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律已知已知Y Y关于关于关于关于Z Z的互的互的互的互协方差阵协方差阵协方差阵协方差阵设有设有X和和Y的线性函数的线性函数则有如下方差和协方差阵则有如下方差和协方差阵3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律协方差传播律协方差传播律例例1-5：设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角：设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角 ，其中误差为，其中误差为试将三角形闭合差平均分配后的各角试将三角形闭合差平均分配后的各角 的协方差阵。的协方差阵。分析：分析：一、提取信息：一、提取信息：（1）”同精度独立观测同精度独立观测“观测值的协方差阵观测值的协方差阵（2）”闭合差平均分配闭合差平均分配“闭合差闭合差平差值平差值3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律二、简化题目：二、简化题目：记则三、分析题意：三、分析题意：根据协方差传播律知：求根据协方差传播律知：求 需知需知 ，由题意可得，由题意可得3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律若只计算若只计算 的中误差的中误差 和和 关于关于 的协方差的协方差3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律例例例例1-6 1-6 设有函数：设有函数：设有函数：设有函数：，已知，已知，已知，已知 和和和和 的协方差阵的协方差阵的协方差阵的协方差阵 分分分分别为别为别为别为 和和和和 ，关于关于关于关于 的互协方差阵为的互协方差阵为的互协方差阵为的互协方差阵为 ，求，求，求，求 的协的协的协的协方差阵方差阵方差阵方差阵 和和和和 关于关于关于关于 及及及及 的互协方差阵的互协方差阵的互协方差阵的互协方差阵 及及及及 解：解：例例例例1-7 1-7 设有函数：设有函数：设有函数：设有函数：3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律的方差阵的方差阵的方差阵的方差阵 ，的方差阵的方差阵的方差阵的方差阵 ，关于关于关于关于 的互协方差阵为的互协方差阵为的互协方差阵为的互协方差阵为 ，其中其中其中其中 为常系数阵。且为常系数阵。且为常系数阵。且为常系数阵。且求求1.计算计算，（，（，（，（表示单位阵）表示单位阵）表示单位阵）表示单位阵）3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律2.计算计算3.计算计算4.计算计算3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律5.计算计算小 结三、非线性函数的情况三、非线性函数的情况设有观测值 的非线性函数为：已知X的协方差阵DXX。求Z的方差阵DZZ。v解决这类问题的关键是解决这类问题的关键是必需先将非线性函数线性化非线性函数线性化,得到和前面已推导出的公式“一致一致”的形式!故，如何将非线性函数线性化，是我们先要解决的。v 非线性函数的线性化非线性函数的线性化如果函数 在 的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，则在该邻域内 的泰勒公式为测量平差中，非线性函数线性化的方法是按泰勒级数展开，并取其零次零次项和一次一次项，二次以上各项舍去，即再来看多个变量的函数 的情况或者为v之所以可以舍去二次以上项，是因为当之所以可以舍去二次以上项，是因为当 非常接近非常接近 时，时，上式中二次以上上式中二次以上 各项都很微小，故可略去！各项都很微小，故可略去！故，可表达为故，可表达为v以上即为非线性函数线性化后形式。以上即为非线性函数线性化后形式。令：令：则：则：故可以按前推出公式得：故可以按前推出公式得：v以上就是求非线性函数协方差的方法。以上就是求非线性函数协方差的方法。（公式（公式4）n也可以：也可以：如果令：则将展开后的函数式写为：不难看出，上式是非线性函数式的全微分。同理，可以得到函数Z的方差为v应用协方差传播律的计算步骤：应用协方差传播律的计算步骤：1 1）按要求写出函数式；）按要求写出函数式；2 2）若是非线性函数式，则先对函数式求全微分；）若是非线性函数式，则先对函数式求全微分；3 3）将函数式（或微分关系式）写成）将函数式（或微分关系式）写成矩阵矩阵形式（有时要顾及形式（有时要顾及单位的统一）；单位的统一）；4 4）应用协方差传播律公式求方差或协方差阵。）应用协方差传播律公式求方差或协方差阵。例：如如图图所所示示导导线线,A A为为已已知知点点，0 0为为ABAB方方向向的的方方位位角角，为为观观测测角角，其其方方差差为为4.0(4.0()2 2，观观测测边边长长S S为为600.00 600.00 m m，其方差为其方差为0.5cm0.5cm2 2，试求试求C C点的点位方差。点的点位方差。点位方差为点位方差为 解：解：（1）列函数式列函数式，由图知由图知:（2）线性化）线性化（3）应用协方差传播公式可得坐标方差计算式应用协方差传播公式可得坐标方差计算式（4）计算点位方差计算点位方差 3-3 3-3 协方差传播律的应用协方差传播律的应用一、水准测量的精度一、水准测量的精度 函数式函数式则由协方差传播律得则由协方差传播律得即即v利用这公式的前提是：利用这公式的前提是：设各测站观测高差是等精度独立设各测站观测高差是等精度独立观测值！观测值！如果水准路线敷设在平坦地区，设前后两测站间距离大致相等，则得：v上式上式1.公里是指一公里观测高差的中误差；2.应用前提是当各测站的距离大致相等（s)。二、同精度独立观测值的算术平均值的精度二、同精度独立观测值的算术平均值的精度 算术平均值算术平均值(函数式）为函数式）为由协方差传播律知，平均值的方差为由协方差传播律知，平均值的方差为v可见：可见：算术平均值的精度提高了。算术平均值的精度提高了。三、若干独立误差的联合影响三、若干独立误差的联合影响 一个观测结果同时受到许多一个观测结果同时受到许多独立独立误差的联合影响，如：照误差的联合影响，如：照准误差、读数误差、目标和仪器的偏心误差对测角的影响。准误差、读数误差、目标和仪器的偏心误差对测角的影响。即即则可以得到：则可以得到：v即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和。即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和。3-4 3-4 权与定权的常用方法权与定权的常用方法方差是表征精度的一个绝对指标；自然，方差之间的比例关系也可比较各观测值之间的精度；表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权，故权是表征精度的相对的数字指标。一、权的定义一、权的定义v设有观测值Li（i=1，2，N）的方差为i2，如选任一常数0，则定义：并称Pi为观测值Li的权。v不难看出不难看出权与方差成反比；权是表征观测值之间的相对精度指标（权是不唯一的，单单个权个权没意义的）；对同一问题中，为使权能起到比较精度高低的作用，0 0应应取同一定值取同一定值（否则就破坏了权间的比例关系）。例：已知两个观测值的中误差为1=2cm、2=4cm，试确定它们的权。解：（1）设0=2cm，则：p1=02/12=1 p2=02/22=1/4。（2）设0=1cm，则 p1=02/12=1/4 p2=02/22=1/16。思考：两种解法，得出怎样结论？思考：两种解法，得出怎样结论？例：一个角度是由两个等精度的方向值之差求得的。已知方向值中误差为，求角度及方向值的权。解：解：由题意二、单位权中误差二、单位权中误差“单位权单位权”的定义：的定义：等于等于1 1的权为的权为单位权单位权。对应的观测值为对应的观测值为单位权观测值；单位权观测值；对应观测值的中误差称为对应观测值的中误差称为单位权中误差单位权中误差。0 02 2称为单位权方差。（即：所选的称为单位权方差。（即：所选的0 02 2值一经选定，就有值一经选定，就有具体含义了）具体含义了）例：在边角网中，已知测角中误差为例：在边角网中，已知测角中误差为1.01.0，测边的中误差，测边的中误差为为2.02.0厘米，试确定它们的权。厘米，试确定它们的权。解：设解：设0 0=1.0=1.0 则由权定义得：则由权定义得：v说明了权有时是由量纲的。说明了权有时是由量纲的。三、测量上常用定权的方法举例三、测量上常用定权的方法举例1.1.水准测量的权水准测量的权公式中公式中C C的含义：的含义：（1）1个测站的观测高差权；（2）单位权观测高差的测站数。公式的应用前提：公式的应用前提：（1）当各测站的观测高差为同精度时；（2）当每公里观测高差为同精度时。或例：如图所示的水准网，各水准路线长度 分别为（设每公里观测高差中误差相等）：S1=2.0(km)S2=2.0(km)S3=3.0(km)S4=3.0(km)S5=4.0(km)S6=4.0(km)试确定各路线 观测高差的权。ADCBh1h6h5h2h4h3解：设取4KM的观测高差为单位权观测(C=4KM)，则由水准测量 常用定权公式得：P1=2，P2=2，P3=1.3，P4=1，P5=1，P6=1，v通过上例可知通过上例可知实际定权时，并不需要知道观测值方差方差的具体数字，而只要知道公里数或测站数就可以了；在同一个问题中，只能选取一个一个C C值，一旦选好就不能再变了；应用常用定权公式时，注意应用前提注意应用前提！2 2、同精度观测值的算术平均值的权、同精度观测值的算术平均值的权v应用前提应用前提:n n次次等精度等精度独立重复观测。独立重复观测。例：设对A角和B角进行观测，A角测了4次，B角测了16次，已知A=2.0，求单位权中误差0和B。解：解：（1 1）设）设C=1C=1 则：则：P PA A=4=4，P PB B=16=16 因因A A=2.0=2.0，而，而P PA A=0 02 2/A A2 2 故：故：0 02 2=4*4=16=4*4=16（）2 2 则：则：B B2 2=0 02 2/P/PB B=1=1（）2 2（2 2）设）设C=4C=4，则，则P PA A=1=1，P PB B=4=4 同上法得：同上法得：0 02 2=1*4=4=1*4=4（）2 2 B B2 2=0 02 2/P/PB B=1=1（）2 2 v可见可见：绝对精度是不变的！绝对精度是不变的！3-5 3-5 协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律一、协因数与协因数阵、权阵一、协因数与协因数阵、权阵1.1.协因数：协因数：协因数就是权倒数，用Qii表示。即：v表明：表明：任一观测值的方差总是等于单位权方差与该观测值协因数（权倒数）的乘积。或：或：2.2.协因数阵协因数阵互协因数（相关权倒数）互协因数（相关权倒数）对于两个随机变量之间的互协因数，可表示为对于两个随机变量之间的互协因数，可表示为 ：协因数阵协因数阵Q QXXXX 将将t t维随机向量维随机向量X X的方差阵的方差阵D DXXXX，乘以一个纯量因子，乘以一个纯量因子1/1/0 02 2，则，则得协因数阵得协因数阵Q QXXXX，即：，即：v关于协因数阵的几点说明关于协因数阵的几点说明协因数阵同协方差阵一样，是一个协因数阵同协方差阵一样，是一个对称方阵对称方阵；主对角线元素主对角线元素Q Qiiii为随机变量为随机变量X Xi i的协因数，即权倒数；的协因数，即权倒数；非主对角线元素非主对角线元素Q Qijij(ij(ij）则为）则为X Xi i关于关于X Xj j的互协因数，是比的互协因数，是比较观测值之间相关程度的一种指标。较观测值之间相关程度的一种指标。3、互协因数阵、互协因数阵对于对于则有协因数阵则有协因数阵v其中非主对角线元素称其中非主对角线元素称X X关于关于Y Y的互协因数阵的互协因数阵。4 4、权逆阵、相关权逆阵、权逆阵、相关权逆阵称称Q QXXXX和和Q QYYYY为为X X和和Y Y的权逆阵；的权逆阵；Q QXYXY为为X X关于关于Y Y的相关权逆阵。的相关权逆阵。5 5、权阵、权阵定义定义：协因数阵的逆阵为权阵。协因数阵的逆阵为权阵。即即 P PXXXX=Q=QXXXX-1-1例：已知观测向量例：已知观测向量L L的协因数阵为：的协因数阵为：试求观测向量试求观测向量L L的权阵的权阵P P及观测值及观测值L L1 1、L L2 2的权。的权。解：由权阵定义得又由 得观测值的权为v可见：可见：1）观测值的权与权阵中的两个主对角线元素并不一定相等！2）这时权阵中的各个元素不具有权的意义！例：例：设有独立观测值设有独立观测值L Li i（i=1i=1，2n2n），其方差为），其方差为i i2 2，权为，权为P Pi i，单位权方差为，单位权方差为0 02 2，写出观测，写出观测向量向量L L的协因数阵以及权阵。的协因数阵以及权阵。解：解：v由此可见：由此可见：当观测值是独立向量时，其协因数阵以及权阵均为对角阵；当观测值是独立向量时，其协因数阵以及权阵均为对角阵；这时这时权阵中权阵中主对角线上元素才是对应观测向量的权！主对角线上元素才是对应观测向量的权！思考：1、相关观测时，权阵 PX中主对角线元素Pii是不是观测值L的权？若不是的话，Lii的权又如何求得？2、当观测值独立时，情况又怎样？例：已知观测向量L的权阵为：求观测值L1、L2、L3的权。解：解：v可以看出：可以看出：当当Q QXXXX是非对角阵时，不可从权阵中来直接是非对角阵时，不可从权阵中来直接“提取提取”权！权！二、协因数传播律二、协因数传播律已知观测向量的协因数阵QLL求其函数的协因数阵QFF？v下面由协方差传播律来导出协因数传播律下面由协方差传播律来导出协因数传播律v称称“协因数传播律协因数传播律”或或“权逆阵传播律权逆阵传播律”。（公式（公式5）v将以上协方差传播律、协因数传播律合称为将以上协方差传播律、协因数传播律合称为“广义传播律广义传播律”。例：已知观测向量X1和X2的协因数 和互协因数 ，或写为设有函数 试求Y关于Z的协因数 。解：解：函数式可写为函数式可写为应用协因数传播律得应用协因数传播律得例：已知观测向量 试求函数 的协因数以及权。解：非线性函数线性化得：按协因数传播律：则权为：（代入已知数据求解即可）解（1）：由题可得应用协因数传播律得因为故有（2）先应用协因数传播律求QWW：而：故：则由：得：求QVW方法一样。v应用协因数传播律的步骤：应用协因数传播律的步骤：1 1）按）按要求要求写出函数式；写出函数式；2 2）若是非线性函数式，则先对函数式）若是非线性函数式，则先对函数式求全微分求全微分；3 3）将函数式（或微分关系式）写成）将函数式（或微分关系式）写成矩阵矩阵形式（有时要顾及形式（有时要顾及单位单位的统一）；的统一）；4 4）应用应用协因数传播律公式求协因数或协因数阵。协因数传播律公式求协因数或协因数阵。v几种特例情况（独立观测量）几种特例情况（独立观测量）1）现有独立观测值 ，假定各 的权为 ，则L的权阵为对角阵其协因数阵也为对角阵可以说明，独立观测量的权阵主对角线上元素就是对应可以说明，独立观测量的权阵主对角线上元素就是对应的权！的权！2）若有函数：Z=f（L1，L2，Ln）则全微分为由协因数传播律展开后得纯量形式为v以上为独立观测值权倒数与其函数的权倒数之间的关系式。以上为独立观测值权倒数与其函数的权倒数之间的关系式。通常称之为通常称之为“权倒数传播律权倒数传播律”。3 3）已知）已知独立独立观测值观测值L Li i（i=1i=1，2 2，nn）的权均为）的权均为P P，试求，试求算术平均值的算术平均值的权PX。v即算术平均值之权等于观测值之权的即算术平均值之权等于观测值之权的n n倍。倍。4）已知独立观测值 的权为 ，试求加权平均值的权 。v即带权平均值的权等于各观测值权之和。即带权平均值的权等于各观测值权之和。3-6.3-6.由真误差计算中误差及实际应用由真误差计算中误差及实际应用一、用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式一、用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式若有一组同精度若有一组同精度独立独立观测的真误差为：观测的真误差为：则该组观测的中误差为：则该组观测的中误差为：u思考：求出的是什么量的中误差？思考：求出的是什么量的中误差？现有一组不等精度的现有一组不等精度的独立独立观测值，它们对应的：观测值，它们对应的：则其中误差又怎样？则其中误差又怎样？设有一组虚拟的观测值：设有一组虚拟的观测值：由权倒数传播律得（说明什么？）由权倒数传播律得（说明什么？）对应的真误差关系（怎样得到？）对应的真误差关系（怎样得到？）利用上公式得到的中误差（或单位权中误差？）：利用上公式得到的中误差（或单位权中误差？）：v不等精度观测值的真误差计算不等精度观测值的真误差计算单位权中误差单位权中误差估值的公式：估值的公式：v同理，可得用不同精度观测值的改正数计算同理，可得用不同精度观测值的改正数计算单位权中误差单位权中误差的的基本公式为：基本公式为：v观测值的中误差为：观测值的中误差为：v注意：单位权中误差不是一个定植，随着选择的不同而不同注意：单位权中误差不是一个定植，随着选择的不同而不同！二、二、由真误差计算中误差的实际应用由真误差计算中误差的实际应用1.1.由三角形闭合差求测角中误差由三角形闭合差求测角中误差已知等精度独立观测三角形之内角，由此得到内角和闭合差已知等精度独立观测三角形之内角，由此得到内角和闭合差为：为：W W1 1，W W2 2，,W Wn n求测角中误差求测角中误差？内角和内角和的中误差为的中误差为而而内角和内角和与角度的函数关系式与角度的函数关系式则由误差传播律得则由误差传播律得v上式称为菲列罗公式，在三角测量中用来初步评定测角的精上式称为菲列罗公式，在三角测量中用来初步评定测角的精度。度。2 2、由双观测值之差求中误差、由双观测值之差求中误差v在测量工作中，常常对一系列观测量分别进行成对的观测，在测量工作中，常常对一系列观测量分别进行成对的观测，成对成对的观测称为的观测称为双观测双观测。设对量设对量X X1 1，X X2 2，X Xn n各测两次，得独立观测值为各测两次，得独立观测值为又设又设同一对同一对观测是等精度的，不同的观测对精度不同，且各观测是等精度的，不同的观测对精度不同，且各观测对的权为观测对的权为求单位权中误差？求单位权中误差？一对观测的差数为一对观测的差数为则则差数差数的真误差的真误差按权倒数传播律可得按权倒数传播律可得差数的权差数的权为为用用不等精度不等精度观测的真误差计算单位权中误差估值的公式观测的真误差计算单位权中误差估值的公式可得：可得：v以上就是由双观测值之差求单位权中误差的公式。以上就是由双观测值之差求单位权中误差的公式。
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