误差与实验数据处理资料课件

误差与实验数据处理误差与实验数据处理 大学物理实验大学物理实验教师：李芬教师：李芬基本概念基本概念误差公理：误差公理：误差公理：误差公理：一切测量都存在误差。一切测量都存在误差。一切测量都存在误差。一切测量都存在误差。真真真真 值：被测量的真实量值。值：被测量的真实量值。值：被测量的真实量值。值：被测量的真实量值。等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。不确定度不确定度不确定度不确定度(U)(U)(U)(U)：表示测量结果不确定的程度。表示测量结果不确定的程度。表示测量结果不确定的程度。表示测量结果不确定的程度。直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量值，间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量值，间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量值，间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量值，再根据该被测量与直接测量量值之间的数再根据该被测量与直接测量量值之间的数再根据该被测量与直接测量量值之间的数再根据该被测量与直接测量量值之间的数 学关系算出被测量量值的测量。学关系算出被测量量值的测量。学关系算出被测量量值的测量。学关系算出被测量量值的测量。测量误差测量误差1、绝对误差：被测量的测量值、绝对误差：被测量的测量值与其真值之差为绝对误差与其真值之差为绝对误差与其真值之差为绝对误差与其真值之差为绝对误差(测量误差测量误差测量误差测量误差)：式中：式中：式中：式中：为绝对误差；为绝对误差；为绝对误差；为绝对误差；为测量值；为测量值；为测量值；为测量值；R R为被测量的真值为被测量的真值为被测量的真值为被测量的真值真值包括：真值包括：真值包括：真值包括：(1)(1)理论真值理论真值理论真值理论真值 三角形的三个内角之和三角形的三个内角之和三角形的三个内角之和三角形的三个内角之和180180o o(2)(2)约定真值约定真值约定真值约定真值 米原器和千克原器米原器和千克原器米原器和千克原器米原器和千克原器(3)(3)相对真值相对真值相对真值相对真值 有限次重复测量值的算术平均值有限次重复测量值的算术平均值有限次重复测量值的算术平均值有限次重复测量值的算术平均值;高一级准确度等级测量器具所测得的值作为较低高一级准确度等级测量器具所测得的值作为较低高一级准确度等级测量器具所测得的值作为较低高一级准确度等级测量器具所测得的值作为较低 一一一一 级级级级准确度等级测量器具测量值的真值准确度等级测量器具测量值的真值准确度等级测量器具测量值的真值准确度等级测量器具测量值的真值2 2、相对误差、相对误差、相对误差、相对误差:绝对误差与真值之比绝对误差与真值之比绝对误差与真值之比绝对误差与真值之比 .用百分数表示：用百分数表示：用百分数表示：用百分数表示：式中：式中：式中：式中：E E为相对误差；为相对误差；为相对误差；为相对误差；测量结果的表达测量结果的表达 1 1、等精度重复直接测量等精度重复直接测量等精度重复直接测量等精度重复直接测量 ,测量列为测量列为测量列为测量列为 mm1 1，mm2 2，mmn n,如果系统误差为如果系统误差为如果系统误差为如果系统误差为零或采用修正方法消除了系统误差，也去除了粗大误差零或采用修正方法消除了系统误差，也去除了粗大误差零或采用修正方法消除了系统误差，也去除了粗大误差零或采用修正方法消除了系统误差，也去除了粗大误差测量结果：测量结果：测量结果：测量结果：给出上述测量结果同时，还要指明相应的置信概率p于是，测量结果应为测量结果应为:同时给出：同时给出：重复测取数据个数n由置信概率P决定。P=0.95,n在22 25次之间；P=0.997，n大于等于370次；P=0.683,n为小于等于20次。u没有标出准确度等级没有标出准确度等级,可以连续读数（可估读）的仪器，取仪器最小分可以连续读数（可估读）的仪器，取仪器最小分度值的一半作为仪器的最大误差度值的一半作为仪器的最大误差u没有标出准确度等级没有标出准确度等级,又不可连续读数（不可估读）的仪器，取最小分又不可连续读数（不可估读）的仪器，取最小分度值作为仪器的最大误差度值作为仪器的最大误差u已标出准确度等级的仪器，仪器的最大误差已标出准确度等级的仪器，仪器的最大误差 由误差公式计算。由误差公式计算。2 2、单次直接测量、单次直接测量、单次直接测量、单次直接测量 ：式中：式中：为测量仪器的最大误差；为测量仪器的最大误差；设仪器准确度等级为设仪器准确度等级为a，满量程为，满量程为L uu有些仪器最大误差由相应的公式计算有些仪器最大误差由相应的公式计算有些仪器最大误差由相应的公式计算有些仪器最大误差由相应的公式计算数据舍入规则数据舍入规则1、若若舍舍去去部部分分的的数数值值小小于于保保留留部部分分末末位位的的半半个个单单位位，则则末末位位不不变变。例如：将下列数据舍入到小数点后第二位例如：将下列数据舍入到小数点后第二位1.23481.23（因为（因为0.00480.005）5.624995.62（因为（因为0.004990.005）5.625015.63（因为（因为0.005010.005）3、若若舍舍去去部部分分的的数数值值等等于于保保留留部部分分末末位位的的半半个个单单位位，则则末末位位凑凑成成偶偶数，末位为偶数时不变，末位为奇数时加数，末位为偶数时不变，末位为奇数时加1。1.23501.24（因为（因为0.0050=0.005，且，且3为奇数）为奇数）5.625005.62（因为（因为0.00500=0.005，且，且2为偶数）为偶数）5.605005.60（0认为是偶数）认为是偶数）测量结果中，测量结果中，或或 保留数字位数应与不确定度一致保留数字位数应与不确定度一致最终结果，标准偏差 取一位有效数字，相对误差 取两位有效数字。在计算过程中多取一位，在误差处理中，和 都采用进位的方法。标准偏差 和 都应取成 。例如例如：取取例如：例如：保留数字位数保留数字位数1 1、2 2、测量误差的分类测量误差的分类1 1、系统误差：、系统误差：、系统误差：、系统误差：在相同条件下，多次重复测量同一量值在相同条件下，多次重复测量同一量值时，误差的大小和符号保持不变或按一时，误差的大小和符号保持不变或按一定规律变化。定规律变化。2 2、随机误差：、随机误差：、随机误差：、随机误差：在相同条件下，多次重复测量同一量时，在相同条件下，多次重复测量同一量时，误差的大小、符号均无规律地变化。误差的大小、符号均无规律地变化。3 3、粗大误差：、粗大误差：、粗大误差：、粗大误差：在相同条件下，多次重复测量同一量时，在相同条件下，多次重复测量同一量时，明显歪曲测量结果的误差。明显歪曲测量结果的误差。系统误差的判别系统误差的判别2 2 2 2、残余误差观察法、残余误差观察法、残余误差观察法、残余误差观察法（根据测量顺序作图观察，判断有规律系统误差）（根据测量顺序作图观察，判断有规律系统误差）m1，m2，.，mnn nr r1 12 23 34 40.10.10.20.20.30.3 1 1、实验对比法、实验对比法 （判断固定不变的系统误差）系统误差）随机误差的方差和标准差随机误差的方差和标准差1 1、无限次测量列任一次、无限次测量列任一次、无限次测量列任一次、无限次测量列任一次测量值的标准差（测量值的标准差（测量值的标准差（测量值的标准差（n n ）对等精度无限测量列对等精度无限测量列对等精度无限测量列对等精度无限测量列 mm1 1，mm2 2，mmn n,去除了系统误差和粗去除了系统误差和粗去除了系统误差和粗去除了系统误差和粗大误差，任一次测量值的方差和标准差分别为：大误差，任一次测量值的方差和标准差分别为：大误差，任一次测量值的方差和标准差分别为：大误差，任一次测量值的方差和标准差分别为：按上式计算标准差需要已知真值，测量次数按上式计算标准差需要已知真值，测量次数n需足够大，是理论计需足够大，是理论计算公式。算公式。2、有限次测量列任一次测量列任一次测量列任一次测量列任一次测量值的标准差（贝塞尔公式贝塞尔公式）实际测量中，测量次数实际测量中，测量次数实际测量中，测量次数实际测量中，测量次数 n n 是有限的是有限的是有限的是有限的，用算术平均值作为被测量的真，用算术平均值作为被测量的真，用算术平均值作为被测量的真，用算术平均值作为被测量的真值的最佳值，则任一次测量值的标准差的方差和标准差分别为：值的最佳值，则任一次测量值的标准差的方差和标准差分别为：值的最佳值，则任一次测量值的标准差的方差和标准差分别为：值的最佳值，则任一次测量值的标准差的方差和标准差分别为：测量结果：测量结果：同时给出：同时给出：3 3、测量列算术平均值的标准差、测量列算术平均值的标准差、测量列算术平均值的标准差、测量列算术平均值的标准差在在在在相相相相同同同同条条条条件件件件下下下下，对对对对被被被被测测测测量量量量重重重重复复复复做做做做 n n 次次次次测测测测量量量量，得得得得 mm1 1，mm2 2，mmn n ，去去去去除除除除系系系系统统统统误误误误差差差差和和和和粗粗粗粗大大大大误误误误差差差差，由由由由于于于于随随随随机机机机误误误误差差差差的的的的存存存存在在在在,围围围围绕绕绕绕测测测测量量量量值值值值算算算算术术术术平平平平均均均均值值值值的的的的标标标标准差，由下式求出：准差，由下式求出：准差，由下式求出：准差，由下式求出：测量结果：测量结果：同时给出同时给出:粗大误差的剔除粗大误差的剔除拉依达准则：拉依达准则：拉依达准则：拉依达准则：格拉布斯准则：格拉布斯准则：凡剩余误差大于格拉布斯鉴别值的误差被认为是粗大误差，该测量值舍去式中g（a，n）为格拉布斯准则判别系数，它与测量次数n及显著性水平(取0.05或0.01)有关，判别系数见下表mm1 1，mm2 2，mmn n （n 10）该测量值舍去n na an na a0.050.050.010.010.050.050.010.01g g（n,an,a）g g（n,an,a）3 31.151.151.161.1617172.482.482.782.784 41.461.461.491.4918182.502.502.822.825 51.671.671.751.7519192.532.532.852.856 61.821.821.941.9420202.562.562.882.887 71.941.942.102.1021212.582.582.912.918 82.032.032.222.2222222.602.602.942.949 92.112.112.322.3223232.622.622.962.9610102.182.182.412.4124242.642.642.992.9911112.232.232.482.4825252.662.663.013.0112122.282.282.552.5530302.742.743.103.1013132.332.332.612.6135352.812.813.183.1814142.372.372.662.6640402.872.873.243.2415152.412.412.702.7050502.962.963.343.3416162.442.442.752.751001003.173.173.593.590.00010.0001 0.01 0.0124.7624.769 90 00 024.7524.758 80.00010.0001-0.01-0.0124.7424.747 70.00040.0004-0.02-0.0224.7324.736 60 00 024.7524.755 50.00250.0025+0.05+0.0524.8024.804 40.00040.0004-0.02-0.0224.7324.733 30.00010.0001+0.01+0.0124.7624.762 20.00010.0001-0.01-0.0124.7424.741 1序序号号等精度直接测量列的数据处理实例等精度直接测量列的数据处理实例例：对某一轴的直径进行等精度测量例：对某一轴的直径进行等精度测量例：对某一轴的直径进行等精度测量例：对某一轴的直径进行等精度测量9 9次，得到下表数据，求测量结果。次，得到下表数据，求测量结果。次，得到下表数据，求测量结果。次，得到下表数据，求测量结果。1 1、求算数平均值、求算数平均值、求算数平均值、求算数平均值2 2、求残余误差、求残余误差、求残余误差、求残余误差3 3、判断系统误差、判断系统误差、判断系统误差、判断系统误差 根据残余误差观察法，由表可以看出误差根据残余误差观察法，由表可以看出误差符号大体上正负相同，且无显著变化规律，判符号大体上正负相同，且无显著变化规律，判断该测量列无有规律变化的系统误差。断该测量列无有规律变化的系统误差。4 4、求测量值的标准差、求测量值的标准差、求测量值的标准差、求测量值的标准差5 5、判别粗大误差、判别粗大误差、判别粗大误差、判别粗大误差 本本实实例例测测量量轴轴径径的的次次数数 9 9，因因而而不不采采用用拉拉依依达达准准 则则判判别别粗粗大大误误差差，采用格拉布斯准则，采用格拉布斯准则，故判别测量列中存在粗大误差故判别测量列中存在粗大误差 ,将将mm4 4去掉后去掉后 ,重新计算。重新计算。0.0002250.000225 0.015 0.01524.7624.769 90.0000250.000025 0.005 0.00524.7524.758 80.0000250.000025-0.005-0.00524.7424.747 70.0002250.000225-0.015-0.01524.7324.736 60.0000250.000025 0.005 0.005 24.7524.755 5 0.0002250.000225-0.015-0.01524.7324.733 30.0002250.0002250.0150.01524.7624.762 20.0000250.000025-0.005-0.00524.7424.741 1序序号号6 6 6 6、再一次求算数平均值、残余误差、再一次求算数平均值、残余误差、再一次求算数平均值、残余误差、再一次求算数平均值、残余误差、标准差、判别粗大误差标准差、判别粗大误差标准差、判别粗大误差标准差、判别粗大误差 等等等等7 7、最后的测量结果、最后的测量结果、最后的测量结果、最后的测量结果间接测量间接测量设设设设 N N N N 为间接测量量，为间接测量量，为间接测量量，为间接测量量，x x、y y、z z为独立的直接测量为独立的直接测量为独立的直接测量为独立的直接测量N=N=N=N=f f f f(x(x(x(x、y y y y、z)z)z)z)间间间间接接接接测测测测量量量量N N N N的的的的误误误误差差差差是是是是分分分分别别别别由由由由x x x x、y y y y、z z z z 在在在在各各各各自自自自直直直直接接接接测测测测量量量量中的误差引起的，间接测量标准误差计算式为中的误差引起的，间接测量标准误差计算式为中的误差引起的，间接测量标准误差计算式为中的误差引起的，间接测量标准误差计算式为:N N的相对误差为的相对误差为:27.2127.215 520.5320.5313.7313.736.736.730 027.1527.1527.227.227.227.227.2527.2527.2527.2527.227.227.327.327.327.327.327.327.3527.3527.127.127.127.127.127.127.227.227.227.220.4520.4520.5020.5020.5220.525 520.5720.575 520.620.620.5520.5520.5520.5520.620.620.6520.6520.6520.6520.3520.3520.4520.4520.4520.4520.520.520.5520.5513.6513.6513.7213.725 513.713.713.7713.775 513.813.813.7513.7513.813.813.813.813.8513.8513.913.913.5513.5513.65 13.65 13.613.613.713.713.713.76.6756.6756.7256.7256.756.756.756.756.756.756.76.76.75 6.75 6.86.86.86.86.86.86.66.65 56 6.7.7 6.76.76.76.76.76.70 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0右右左左右右左左右右左左右右左左右右左左右右左左40403030202010100 0间接测量举例：间接测量举例：已知已知:旋光性溶液的长度旋光性溶液的长度:L=10 cm 浓度：浓度：C0=0；C1=10%；C2=20%；C3=30%；C4=40%测得不同浓度的旋光度测得不同浓度的旋光度 数据表数据表求：旋光率求：旋光率求：旋光率求：旋光率 a a 注：注：i i 代表不同浓度代表不同浓度1 1、由式由式由式由式得得得得其中其中其中其中 :2 2、b.坐坐标标轴轴焦焦点点用用低低于于已已知知量量、测测量量值值最最低低值值且且与与最最低值相近的整数表示低值相近的整数表示,不一定从零开始不一定从零开始 测量数据的表示方法测量数据的表示方法c.数数据据过过大大或或过过小小，分分度度应应以以 表表示示，坐坐标标轴轴 不标数据点不标数据点d.描点用描点用、*等标出。等标出。f.图线大约在图线大约在 或或 位置位置1 1、列表法列表法列表法列表法：表名、已知条件列在表格右上方，行、列标清标题（名称代表的符号、：表名、已知条件列在表格右上方，行、列标清标题（名称代表的符号、：表名、已知条件列在表格右上方，行、列标清标题（名称代表的符号、：表名、已知条件列在表格右上方，行、列标清标题（名称代表的符号、单位（单位（单位（单位（在符号后并括起来在符号后并括起来在符号后并括起来在符号后并括起来）。同一个单位可标在表格右上方。同一个单位可标在表格右上方。同一个单位可标在表格右上方。同一个单位可标在表格右上方2、作图法作图法:a.水平轴自变量，纵轴因变量，标明符号、单位水平轴自变量，纵轴因变量，标明符号、单位e.注明图号、图名注明图号、图名3 3、实验数据的直线拟合、实验数据的直线拟合、实验数据的直线拟合、实验数据的直线拟合（一元线性回归）（一元线性回归）（一元线性回归）（一元线性回归）:给测量值配上一个最给测量值配上一个最给测量值配上一个最给测量值配上一个最佳的直线方程的过程。设测得一组数（佳的直线方程的过程。设测得一组数（佳的直线方程的过程。设测得一组数（佳的直线方程的过程。设测得一组数（x xi i、y y i i）对于每一个测量值对于每一个测量值 xi ，它对应的测量值为，它对应的测量值为 yi，由公式，由公式(1)计算出计算出 xi 对应的对应的 y 值，再由公式值，再由公式(2)计算差值计算差值 v i(1)(1)(2)(2)对于对于对于对于公式公式(1)，最佳的直线方程应该最佳的直线方程应该最佳的直线方程应该最佳的直线方程应该使得差值的平方和为最小，即使得差值的平方和为最小，即r的的 绝绝 对对 值值 越越 近近 于于 1，说说 明明 线线 性性 函函 数数 拟拟 合合 是是 合合 理理 的的。r等于零或趋近于零，说明等于零或趋近于零，说明 x、y 两物理量根本不存在线性关系两物理量根本不存在线性关系。得到得到分别求得分别求得27.2127.215 520.5320.5316.7316.7313.7313.736.736.730 027.1527.1527.227.227.227.227.2527.2527.2527.2527.227.227.327.327.327.327.327.327.3527.3527.127.127.127.127.127.127.227.227.227.220.4520.4520.5020.5020.52520.52520.57520.57520.620.620.5520.5520.5520.5520.620.620.6520.6520.6520.6520.3520.3520.4520.4520.4520.4520.520.520.5520.5516.6716.675 516.716.716.7216.725 516.7516.7516.816.816.7516.7516.816.816.816.816.8516.8516.916.916.6 16.6 16.616.616.6516.6516.6516.6516.716.713.6513.6513.7213.725 513.713.713.7713.775 513.813.813.7513.7513.813.813.813.813.8513.8513.913.913.5513.5513.65 13.65 13.613.613.713.713.713.76.6756.6756.7256.7256.756.756.756.756.756.756.76.76.75 6.75 6.86.86.86.86.86.86.66.65 56 6.7.7 6.76.76.76.76.76.70 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0右右左左右右左左右右左左右右左左右右左左右右左左40403030X X 202010100 0(0 ,0 )(10%,6.73)(20%,13.73)(30%,20.53)(40%,27.215)例：例：例：例：如何写实验报告如何写实验报告实验名称实验名称实验目的实验目的实验原理实验原理实验内容实验内容实验步骤实验步骤实验仪器实验仪器实验数据处理实验数据处理实验数据记录实验数据记录回答思考题回答思考题绘制实验数据曲线绘制实验数据曲线实实验验课课前前做做好好预预习习作作业业：提提交交一一份份误误差差处处理理方方法法总总结结及及误误差差处处理理的的例例子子随机误差随机误差设测量列为设测量列为设测量列为设测量列为mm1 1，mm2 2，mmi i则用绝对误差表示的随机误差列则用绝对误差表示的随机误差列则用绝对误差表示的随机误差列则用绝对误差表示的随机误差列 i i为：为：为：为：i immi iR R（i i1 1，2 2，3 3，n n）将上式两边求和得：将上式两边求和得：将上式两边求和得：将上式两边求和得：由正态分布的抵偿特性有：由正态分布的抵偿特性有：由正态分布的抵偿特性有：由正态分布的抵偿特性有：有有有有当当当当n n为有限值时，测量值序列的算术平均值为为有限值时，测量值序列的算术平均值为为有限值时，测量值序列的算术平均值为为有限值时，测量值序列的算术平均值为:人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进鼓舞我们前进。