求两导体平板之间的电位和电场课件

第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波1第3章 静态电磁场及其边值问题的解1第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 2本章内容 静态电磁场：场量不随时间变化，包括：时变情况第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波3.1 静电场分析静电场分析 本节内容本节内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力33.1 静电场分析 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波2.边界条件边界条件微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1.基本方程基本方程积分形式：积分形式：或或或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即 ，则，则42.边界条件微分形式：本构关系：1.基本方程积分形式第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波介质介质2 2介质介质1 1 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件5介质2介质1 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1.电位函数的定义电位函数的定义3.1.2 电位函数电位函数6由即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波2.电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：同理得，面电荷的电位：故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：线电荷的电位：72.电位的表达式对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波3.3.电位差电位差电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。表示。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功83.电位差两端点乘 ，则有将上式两边从点P到点Q沿第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值(电位差电位差)两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。限远作电位参考点。同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4.电位参考点电位参考点 为为使使空空间间各各点点电电位位具具有有确确定定值值，可可以以选选定定空空间间某某一一点点作作为为参参考考点点，且且令令参参考考点点的的电电位位为为零零，由由于于空空间间各各点点与与参参考考点点的的电电位位差差为为确确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即9 静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点令参考点电第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位.解解 在球坐标系中在球坐标系中用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子电偶极子zodq10 例 3.1.1 求电偶极子的电位.解 在球第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E 线方程为线方程为 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程：等位线方程等位线方程：11将 和 代入上式，解得E 线方程为 由球坐标系中的梯第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的的位置矢量为位置矢量为r，则，则若选择点若选择点O为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向的方向一致，即一致，即 ，则有，则有 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。在圆柱坐标系中，取在圆柱坐标系中，取 与与x 轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而 ，故，故 12 解 选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波xyzL-L 解解 采用圆柱坐标系，令线电荷与采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于轴相重合，中点位于坐标原点。在带电线上位于坐标原点。在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它到，它到点点 的距离的距离 ，则，则 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。13xyzL-L 解 采用圆柱坐标系，令线电荷第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 在上式中若令在上式中若令 。当。当 时，上式可写为时，上式可写为 当当 时，在上式中加上一个任意常数，则有时，在上式中加上一个任意常数，则有选择选择=a 的点为电位参考点，则有的点为电位参考点，则有14 在上式中若令 。当 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波在均匀介质中，有在均匀介质中，有5.电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程15在均匀介质中，有5.电位的微分方程在无源区域，标量泊松方程第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波6.6.静电位的边界条件静电位的边界条件静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是是介介质质分分界界面面两两侧侧紧紧贴贴界界面面的的相相邻邻两两点点，其其电电位位分分别为别为1和和2。当两点间距离当两点间距离l0时时导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：由由 和和媒质媒质2媒质媒质1 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即常数，常数，166.静电位的边界条件 设P1和P2是介质分第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x=0 和和 x=a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x=b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。解解 在两块无限大接地导体平板之间电位函数满足一维拉普拉在两块无限大接地导体平板之间电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程方程的解为方程的解为obaxy两两块无限大平行板无限大平行板17 例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波利用边界条件，有利用边界条件，有 处，处，最后得最后得 处，处，处，处，所以所以由此解得由此解得18利用边界条件，有 处，最后得 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中：3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。路、选频等作用。通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。电路。在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。减少电能的损失和提高电气设备的利用率。19电容器广泛应用于电子设备的电路中：3.1.3 导体系统的第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷两个带等量异号电荷（q）的导体组成的电容器，的导体组成的电容器，其电容为其电容为 电容的大小只与导体系统电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。体的带电量和电位无关。201.电容 孤立导体的电容 两个带等量异号电第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波(1)假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和q；计算电容的方法一计算电容的方法一：(4)求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。(3)由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；(2)计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E；计算电容的方法二计算电容的方法二：(1)假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U；(4)由由 得到得到 ;(2)计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布；(3)由由 得到得到E;(5)由由 ，求出导体的电荷，求出导体的电荷q；(6)求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。21(1)假定两导体上分别带电荷+q 和q；计算电第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 解解：设内导体的设内导体的电荷为电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时，时，例例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容22 解：设内导体的电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D，且，且D a，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。解解 设两导线单位长度带电量分别设两导线单位长度带电量分别为为 和和 。应用高斯定理和叠加原。应用高斯定理和叠加原理，可得两导线之间的平面上任一点理，可得两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为两导线间的电位差两导线间的电位差故单位长度的电容为故单位长度的电容为23 例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.1.6 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a，外导体半径为，外导体半径为b，内外导体，内外导体间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差内外导体间的电位差 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为同同轴线24 例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.1.静电场的能量静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为 q、电位为、电位为 。外电源所。外电源所做的总功为做的总功为 根据能量守恒定律，电为根据能量守恒定律，电为 q 的带电体具有的电场能量：的带电体具有的电场能量：对于电荷体密度为对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具具有的电场能量为有的电场能量为 静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 251.静电场的能量 设系统从零开始充电，最终第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，对于面分布电荷，电场能量为电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有对于多导体组成的带电系统，则有 第第i 个导体所带的电荷个导体所带的电荷 第第i 个导体的电位个导体的电位式中：式中：26故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，电场能量为对于多导体第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波2.电场能量密度电场能量密度电场能量密度：电场能量密度：电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有272.电场能量密度电场能量密度：电场的总能量：积分区域第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波由于体积由于体积V 外的电荷密度外的电荷密度0，只要电荷分布在有限区域内，当只要电荷分布在有限区域内，当闭合面闭合面S 无限扩大时，则有无限扩大时，则有故故 推证推证：0S28由于体积V 外的电荷密度0，只要电荷分布在有限区域内，当第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.1.7 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电的电荷，试求静电场能量。荷，试求静电场能量。解解：方法一方法一，利用利用 计算计算 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 故故29 例3.1.7 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 方法二方法二：利用利用 计算计算 先求出电位分布先求出电位分布 故故30 方法二：利用 计算 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 虚位移法虚位移法：假设第假设第i 个带电个带电导体在电场力导体在电场力Fi 的作用下发生位移的作用下发生位移dgi，则电场力做功，则电场力做功dAFi dgi，系统的静电能量改变为，系统的静电能量改变为dWe。根据根据能量守恒定律，该系统的功能关系为能量守恒定律，该系统的功能关系为其中其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。3.1.5 静电力静电力1.各带电导体的电位不变各带电导体的电位不变外电压源向系统提供的能量外电压源向系统提供的能量系统所改变的静电能量系统所改变的静电能量即即 不变不变31 虚位移法：假设第i 个带电导体在电场力Fi 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波此时，此时，dWS0，因此，因此2.各带电导体的电荷不变各带电导体的电荷不变式中的式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。q不变不变部分填充介部分填充介质的平行板的平行板电容器容器dbU0lx 例例3.1.8 有一平行金属板电容器，极有一平行金属板电容器，极板面积为板面积为lb，板间距离为，板间距离为d，用一块介，用一块介质片（宽度为质片（宽度为b、厚度为、厚度为d，介电常数为，介电常数为）部分填充在两极板之间，如图所示。）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。求介质片所受的静电力。32此时，dWS0，因此2.各带电导体的电荷不变式中的“第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波所以电容器内的电场能量为所以电容器内的电场能量为由由 可求得介质片受到的可求得介质片受到的静电力为静电力为 解解 平行板电容器的电容为平行板电容器的电容为由于由于0，所以介质，所以介质片所受到的力有将其片所受到的力有将其拉进电容器的趋势拉进电容器的趋势 此题也可用式此题也可用式 来计算来计算q不变不变33所以电容器内的电场能量为由 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波设极板上保持总电荷设极板上保持总电荷q 不变，则不变，则由此可得由此可得由于由于同样得到同样得到3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 本节内容本节内容 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导漏电导34设极板上保持总电荷q 不变，则由此可得由于同样得到3.2 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 导体中若存在恒定电流，导体中的电荷分布是一种不随时间导体中若存在恒定电流，导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。恒定电场与静电场的重要区别：恒定电场与静电场的重要区别：（1 1）恒定电场可以存在于导体内部。）恒定电场可以存在于导体内部。（2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件35 导体中若存在恒定电流，导体中的电荷分布是一种不随时间第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数由由若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷361.基本方程 恒定电场的基本方程为微分形式：积分形式：第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波2.恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件媒质媒质2 2媒质媒质1 1 场矢量的边界条件场矢量的边界条件即即即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度场矢量的折射关系场矢量的折射关系372.恒定电场的边界条件媒质2媒质1 场矢量的边界条件即第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 电位的边界条件电位的边界条件 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既既有有法法向向分分量量又又有有切切向向分分量量，电电场场并并不不垂垂直直于于导导体体表表面面，因因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面；说明说明：38 电位的边界条件 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波媒质媒质2 2媒质媒质1 1媒质媒质2 2媒质媒质1 1 如如2 1、且、且 290，则则 10，即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面；若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n=0 且且 E2n=0，即导体，即导体 中的电流和电场与分界面平行中的电流和电场与分界面平行。39媒质2媒质1媒质2媒质1 如2 1、且290第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波3.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。的方法称为比拟法。静电场静电场恒定电场恒定电场403.2.2 恒定电场与静电场的比拟 如果两种场第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟对应物理量对应物理量静电场静电场恒定电场恒定电场基本方程基本方程静电场（静电场（区域）区域）本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）41恒定电场与静电场的比拟对应物理量静电场恒定电场基本方程静电场第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.2.1一一个个有有两两层层介介质质的的平平行行板板电电容容器器，其其参参数数分分别别为为 1、1 和和 2、2，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。解解：极极板板是是理理想想导导体体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z 方向。方向。42 例3.2.1一个有两层介质的平行板电容器，第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.2.2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导，外导体半径为体半径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1 和和 2、电导率为、电导率为 1 和和 2。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0，外导体接地。求：，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面）介质分界面上的自由电荷面密度。上的自由电荷面密度。外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质143 例3.2.2 填充有两层介质的同轴电缆，内导第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,则由则由 可得电流密度可得电流密度介质中的电场介质中的电场解：解：44 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,则由 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介质中的电流密度和电场强度分别为由于由于于是得到于是得到45故两种介质中的电流密度和电场强度分别为由于于是得到45第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为46 （2）由 可第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即3.2.3 漏电导漏电导47 漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即3.2.第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波(1)假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I；(2)计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度(3)矢量矢量J；(3)由由J=E 得到得到 E;(4)由由 ，求出两导，求出两导(5)体间的电位差；体间的电位差；(6)(5)求比值求比值 ，即，即得出得出(7)所求电导。所求电导。计算电导的方法一计算电导的方法一：计算电导的方法二计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布；(3)由由 得到得到E;(4)由由 J=E 得到得到J;(5)由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流；(6)求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：48(1)假定两电极间的电流为I；计算电导的方法一：第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为长度为l，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：电导电导绝缘电阻绝缘电阻则则设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I。49 例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波方程通解为方程通解为 例例3.2.4 在一块厚度为在一块厚度为h 的导电板上，的导电板上，由两个半径为由两个半径为r1 和和 r2 的圆弧和夹角为的圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿示。计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。解：解：设在沿设在沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0，电位函数电位函数 满足一维满足一维拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入边界条件代入边界条件可以得到可以得到环形形导电媒媒质块r1hr2 050方程通解为 例3.2.4 在一块厚度为h 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波电流密度电流密度两电极之间的两电极之间的电流电流故故沿沿 方向的两电极之间的电阻方向的两电极之间的电阻为为所以所以51电流密度两电极之间的电流故沿 方向的两电极之间的电阻为所以第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波本节内容本节内容 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 3.3.3 电感电感 3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 3.3.5 磁场力磁场力 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析52本节内容 3.3 恒定磁场分析52第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波微分形式微分形式:1.基本方程基本方程2.边界条件边界条件本构关系：本构关系：或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即JS0，则，则积分形式积分形式:或或3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件53微分形式:1.基本方程2.边界条件本构关系：或若分界面第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 与与电电位位一一样样，磁磁矢矢位位也也不不是是惟惟一一确确定定的的，它它加加上上任任意意一一个个标标量量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由由即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。1.恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 为为了了得得到到确确定定的的 ，可可以以对对 的的散散度度加加以以限限制制，在在恒恒定定磁磁场中通常规定，并称为库仑规范。场中通常规定，并称为库仑规范。54 矢量磁位的定义 磁矢位的任意性由即恒定磁场可以用一个矢第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表达式磁矢位的表达式55 磁矢位的微分方程在无源区：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件（可以证明满足（可以证明满足 ）对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：细线电流细线电流：面电流面电流：由此可得出由此可得出56 磁矢位的边界条件（可以证明满足 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例 3.3.1 求求小小圆圆环环电电流流回回路路的的远远区区矢矢量量磁磁位位与与磁磁场场。小小圆圆形形回回路的半径为路的半径为a，回路中的电流为，回路中的电流为I。解解 如图所示，由于具有轴对称性，如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均矢量磁位和磁场均与与 无关，计算无关，计算 xO z 平平面上的矢量磁位与磁场面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。将不失一般性。小圆环电流小圆环电流aIxzyrRIPO57 例 3.3.1 求小圆环电流回路的远区矢量第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波对于远区，有对于远区，有r a，所以，所以由于在由于在 =0 面上面上 ，所以上式可写成，所以上式可写成于是得到于是得到58对于远区，有r a，所以由于在 =0 面上 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波式中式中S=a 2是小圆环的面积。是小圆环的面积。载流小圆环可看作磁偶极子，载流小圆环可看作磁偶极子，为磁偶极子的磁矩为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则（或磁偶极矩），则或或 59式中S=a 2是小圆环的面积。载流小圆环可看作磁第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波2.恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位在无传导电流（在无传导电流（J0）的空间）的空间 中，则有中，则有 标量磁位的引入标量磁位的引入标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位 磁标位的微分方程磁标位的微分方程将将 代入代入等效磁荷体密度等效磁荷体密度602.恒定磁场的标量磁位在无传导电流（J0）的空间 中第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 标量磁位的边界条件标量磁位的边界条件在线性、各向同性的均匀媒质中在线性、各向同性的均匀媒质中 标量磁位的表达式标量磁位的表达式和和或或和和式中：式中：等效磁荷面密度等效磁荷面密度61 标量磁位的边界条件在线性、各向同性的均匀媒质中 标量磁第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波静电位静电位 磁标位磁标位 磁标位与静电位的比较磁标位与静电位的比较静电位静电位 0 P磁标位磁标位 m 0m62静电位 磁标位 磁标位与静电位的比较静第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波当当r l 时时，可可将将磁磁柱柱体体等等效效成成磁磁偶偶极极子子，则利用与静电场的比较和电偶极子场，有则利用与静电场的比较和电偶极子场，有 解解：M0为为常常数数，m=0，柱柱内内没没有有磁磁荷荷。在在柱柱的的两两个个端端面面上上，磁化磁荷为磁化磁荷为R1R2rPzx-l/2l/2M 例例3.3.3半半径径为为a、长长为为l 的的圆圆柱柱永永磁磁体体，沿沿轴轴向向均均匀匀磁磁化化，其磁化强度为其磁化强度为 。求远区的磁感应强度。求远区的磁感应强度。63当r l 时，可将磁柱体等效成磁偶极子，则利用与静电场第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.磁通与磁链磁通与磁链 3.3.3 电感电感 单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁多匝线圈形成的导线回路的磁 链链定定义义为为所所有有线线圈圈的的磁磁通通总总和和 CI 细回路细回路 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的的、磁磁力力线线不不穿穿过过导导体体的的外外磁磁通通量量 o；另另一一部部分分是是磁磁力力线线穿穿过过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。iCI o粗回路粗回路641.磁通与磁链 3.3.3 电感 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 设回路设回路 C 中的电流为中的电流为I，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链交链的磁链为为，则磁链，则磁链 与回路与回路 C 中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比关系，其比值称为回路称为回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。外自感外自感2.自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L=Li+Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。电流无关。自感的特点自感的特点：65 设回路 C 中的电流为I，所产生的磁场与回第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 解解：设同轴线中的电流为：设同轴线中的电流为I，由安培，由安培环路定理环路定理穿过沿轴线单位长度的矩形面积穿过沿轴线单位长度的矩形面积元元dS=d的磁通为的磁通为 例例3.3.4 求求同同轴轴线线单单位位长长度度的的自自感感。设设内内导导体体半半径径为为a，外外导导体体厚度可忽略不计，其半径为厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。，空气填充。得得与与di 交链的电流为交链的电流为66 解：设同轴线中的电流为I，由安培环路定理穿过沿轴线第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波因此内导体中总的内磁链为因此内导体中总的内磁链为故单位长度的内自感为故单位长度的内自感为内、外导体间的外自感。内、外导体间的外自感。则则故单位长度的外自感为故单位长度的外自感为单位长度的总自感为单位长度的总自感为则与则与di 相应的磁链为相应的磁链为67因此内导体中总的内磁链为故单位长度的内自感为内、外导体间的外第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 例例3.3.5 计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为径为a，两导线的间距为，两导线的间距为D，且，且 D a。导线及周围媒质的磁。导线及周围媒质的磁导率为导率为0。穿过两导线之间沿轴线方向穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为为单位长度的面积的外磁链为 解解 设两导线流过的电流为设两导线流过的电流为I。应用安培环路定理和叠加原理，。应用安培环路定理和叠加原理，得两导线之间的平面上任一点得两导线之间的平面上任一点P 的磁感应强度为的磁感应强度为PII68 例3.3.5 计算平行双线传输线单位长度的第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波于是得到平行双线传输线单位长度的外自感于是得到平行双线传输线单位长度的外自感两根导线单位长度的内自感为两根导线单位长度的内自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为69于是得到平行双线传输线单位长度的外自感两根导线单位长度的内自第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 对两个彼此邻近的闭合回路对两个彼此邻近的闭合回路C1 和回路和回路 C2，当回路，当回路 C1 中通过中通过电流电流 I1 时，不仅与回路时，不仅与回路 C1 交链的交链的磁链与磁链与I1 成正比，而且与回路成正比，而且与回路 C2 交链的磁链交链的磁链 12 也与也与 I1 成正比，其成正比，其比例系数比例系数称为回路称为回路 C1 对回路对回路 C2 的互感系数，简称互感。的互感系数，简称互感。3.互感互感同理，回路同理，回路 C2 对回路对回路 C1 的互感为的互感为C1C2I1I2Ro70 对两个彼此邻近的闭合回路C1 和回路 C2，当回路第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。磁介质有关，而与电流无关。满足互易关系，即满足互易关系，即M12=M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数感系数 M 为正值；反之，则互感系数为正值；反之，则互感系数 M 为负值为负值。互感的特点：互感的特点：71 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波4.纽曼公式纽曼公式 如图所示如图所示回路回路 C1中的电流中的电流 I1 在回路在回路 C2 上的任一点产生的上的任一点产生的矢量磁位矢量磁位 回路回路 C1中的电流中的电流 I1 产生的产生的磁场与回路磁场与回路 C2 交链的磁链为交链的磁链为C1C2I1I2Ro纽曼公式纽曼公式同理同理故得故得724.纽曼公式 如图所示回路 C1中的电流 I第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波由图中可知由图中可知长直直导线与三角形回路与三角形回路穿过三角形回路面积的磁通为穿过三角形回路面积的磁通为 解解 设长直导线中的电流为设长直导线中的电流为I，根据根据安培环路定理，得到安培环路定理，得到 例例3.3.6 如图所示，长直导线与三角如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。形导体回路共面，求它们之间的互感。73由图中可知长直导线与三角形回路穿过三角形回路面积的磁通为 第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波因此因此故长直导线与三角形导体回路的互感为故长直导线与三角形导体回路的互感为74因此故长直导线与三角形导体回路的互感为74第第3 3章章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电磁场与电磁波3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量1.磁场能量磁场能量 在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的在恒定磁场建立过