量子力学经典题目及解答课件

量子力学经典题目及解答量子力学经典题目及解答量子力学经典题目及解答1 1绪论绪论补充：补充：补充：补充：1.1.证明证明证明证明PlankPlank公式在高频区化为公式在高频区化为公式在高频区化为公式在高频区化为WeinWein公式，在低频区化为公式，在低频区化为公式，在低频区化为公式，在低频区化为Rayley-JeansRayley-Jeans公式。公式。公式。公式。证明：证明：证明：证明：PlankPlank公式为公式为公式为公式为 或写为或写为或写为或写为 其中其中其中其中 ,在高频区在高频区在高频区在高频区,-Wein,-Wein公式公式公式公式在低频区，在低频区，在低频区，在低频区，-R-J -R-J公式公式公式公式绪论补充：2 22.2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式 解：解：解：解：角动量量子化条件，角动量量子化条件，角动量量子化条件，角动量量子化条件，2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式3 33.3.粒子被限制在长宽高分别为粒子被限制在长宽高分别为粒子被限制在长宽高分别为粒子被限制在长宽高分别为 的箱中动，的箱中动，的箱中动，的箱中动，试由驻波条件求粒子能量的可能值。试由驻波条件求粒子能量的可能值。试由驻波条件求粒子能量的可能值。试由驻波条件求粒子能量的可能值。解：驻波条件解：驻波条件解：驻波条件解：驻波条件同理，同理，同理，同理，3.粒子被限制在长宽高分别为 的箱中4 4第一章第一章补充：补充：补充：补充：1.1.设设设设 和和和和 分别表示分别表示分别表示分别表示微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态 时的相对几率分布。时的相对几率分布。时的相对几率分布。时的相对几率分布。a a，b b为复常数，为复常数，为复常数，为复常数，为实函数。为实函数。为实函数。为实函数。解：解：第一章补充：1.设 5 52.2.试将下列波函数归一化：试将下列波函数归一化：试将下列波函数归一化：试将下列波函数归一化：解解：2.试将下列波函数归一化：6 6量子力学经典题目及解答课件7 7第二章第二章2.12.1证明在定态中，几率流密度与时间无关。证明在定态中，几率流密度与时间无关。证明在定态中，几率流密度与时间无关。证明在定态中，几率流密度与时间无关。证：证：第二章2.1证明在定态中，几率流密度与时间无关。8 82.22.2由下列两定态波函数计算几率流密度，并从所得结果说由下列两定态波函数计算几率流密度，并从所得结果说由下列两定态波函数计算几率流密度，并从所得结果说由下列两定态波函数计算几率流密度，并从所得结果说明明明明 表示向外传播的球面波，表示向外传播的球面波，表示向外传播的球面波，表示向外传播的球面波，表示向内传播的球面波。表示向内传播的球面波。表示向内传播的球面波。表示向内传播的球面波。解：解：2.2由下列两定态波函数计算几率流密度，并从所得结果说9 92.32.3一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函波函波函波函数。其中数。其中数。其中数。其中解：定态解：定态schr.eqschr.eq由波函数有限性要求，由波函数有限性要求，(1)(1)式式改写为改写为uoauoa1010量子力学经典题目及解答课件1111 2.42.4证明（证明（证明（证明（2.6-142.6-14）式中的归一化常数是）式中的归一化常数是）式中的归一化常数是）式中的归一化常数是 。证：证：12122.72.7一粒子在一维势阱中运动，一粒子在一维势阱中运动，一粒子在一维势阱中运动，一粒子在一维势阱中运动，求束缚态求束缚态求束缚态求束缚态()()的能级所满足的方程的能级所满足的方程的能级所满足的方程的能级所满足的方程(分别求出奇宇称和分别求出奇宇称和分别求出奇宇称和分别求出奇宇称和偶宇称解偶宇称解偶宇称解偶宇称解)。解：定态解：定态schr.eqschr.eqoa-au02.7一粒子在一维势阱中运动，oa-au01313量子力学经典题目及解答课件1414所以，所以，(12)+(13)(12)+(13)和和(13)+(14)(13)+(14)分别为确定奇偶宇称束缚态能级分别为确定奇偶宇称束缚态能级的两组超越方程，经图解法求出束缚态的的两组超越方程，经图解法求出束缚态的 后，可由后，可由(15)(15)得出对应的能级得出对应的能级 。2.82.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似的表示为分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似的表示为分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似的表示为分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似的表示为求束缚态能级满足的方程。求束缚态能级满足的方程。求束缚态能级满足的方程。求束缚态能级满足的方程。量子力学经典题目及解答课件1515解：解：xbaou0-u1解：xbaou0-u11616根据波函数的连续性：根据波函数的连续性：量子力学经典题目及解答课件1717补充：补充：补充：补充：1.1.方势阱的透射与共振：入射粒子方势阱的透射与共振：入射粒子方势阱的透射与共振：入射粒子方势阱的透射与共振：入射粒子E0E0，势阱深度，势阱深度，势阱深度，势阱深度-V-V0 0，宽宽宽宽a a。求透射系数。求透射系数。求透射系数。求透射系数T T，并讨论，并讨论，并讨论，并讨论T T的极大，极小条件。的极大，极小条件。的极大，极小条件。的极大，极小条件。解：解：解：解：E-V0oaxE-V0oax1818当粒子能量当粒子能量E E入射高度为入射高度为u u0 0的势垒的势垒(E u(E u0 0)时，透射系数时，透射系数为：为：，其中，其中此公式也适用于势阱的透射，只须改定义此公式也适用于势阱的透射，只须改定义 即在即在k k 表达式中以表达式中以-V-V0 0替代势垒高度替代势垒高度u u0 0。讨论讨论:(1)V(1)V0 0=0=0时，时，k k=k k，T=1T=1，此时无势阱。，此时无势阱。T=1 T=1验证公式正确验证公式正确(2)(2)V V0 0 0 0时，时，T1T1，粒子不能以粒子不能以100100的几率透过势的几率透过势阱，有一定的几率被反射，这是量子力学特有的效应。阱，有一定的几率被反射，这是量子力学特有的效应。(3)(3)当当 ，即，即 ，T=1T=1，取极，取极大大值，称为共振透射值，称为共振透射;当当V V0 0较大，较大，n n较较 小，则可能存在小，则可能存在E En n0 u0)时，透射系数1919当当 ，即，即 ，T T取极取极小小值值;。2.2.利用厄米多项式的递推关系利用厄米多项式的递推关系利用厄米多项式的递推关系利用厄米多项式的递推关系 证明线性谐振子波函数满足下列关系：证明线性谐振子波函数满足下列关系：证明线性谐振子波函数满足下列关系：证明线性谐振子波函数满足下列关系：证：证：(1)(1)当 ，即 2020(2)(2)量子力学经典题目及解答课件21213.3.二维各向同性线性谐振子的哈密顿算符为：二维各向同性线性谐振子的哈密顿算符为：二维各向同性线性谐振子的哈密顿算符为：二维各向同性线性谐振子的哈密顿算符为：试求其本征函数和相应的本证值。试求其本征函数和相应的本证值。试求其本征函数和相应的本证值。试求其本征函数和相应的本证值。解：由定态解：由定态schr.eqschr.eq：3.二维各向同性线性谐振子的哈密顿算符为：2222所以原方程可以分离变量，设所以原方程可以分离变量，设E=EE=E1 1+E+E2 2，其中，其中E E1 1，E E2 2分别是分别是 与与 的本征值，本征函数的本征值，本征函数 可表达为两项之积：可表达为两项之积：由于由于 ，数学形式完全相同，各自为一维线性谐振子的哈密数学形式完全相同，各自为一维线性谐振子的哈密顿算符，所以：顿算符，所以：零点能与能级间距均为零点能与能级间距均为简并度简并度 ：所以原方程可以分离变量，设E=E1+E2，其中E1，E2分别23232.52.5求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解：解：2.5求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。2424第三章第三章3.33.3证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球坐标中的证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球坐标中的证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球坐标中的证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球坐标中的分量是：分量是：分量是：分量是：证：由定义证：由定义 ，电子电荷，电子电荷在球坐标下，在球坐标下，第三章3.3证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球坐标中的25253.43.4由上题可知氢原子中的电流可以看作由许多圆周电流由上题可知氢原子中的电流可以看作由许多圆周电流由上题可知氢原子中的电流可以看作由许多圆周电流由上题可知氢原子中的电流可以看作由许多圆周电流组组组组成的（如图）成的（如图）成的（如图）成的（如图）(1)(1)求一圆周电流的磁矩求一圆周电流的磁矩求一圆周电流的磁矩求一圆周电流的磁矩(2)(2)证明氢原子磁矩为证明氢原子磁矩为证明氢原子磁矩为证明氢原子磁矩为原子磁矩与角动量之比为原子磁矩与角动量之比为原子磁矩与角动量之比为原子磁矩与角动量之比为解解:(1)(1)，其中，其中 为环形为环形电流电流 所包围的面积。所包围的面积。zyxorzyxor2626(2)(2)整个原子的磁矩整个原子的磁矩回转磁比率：回转磁比率：量子力学经典题目及解答课件27273.93.9设氢原子处于状态设氢原子处于状态设氢原子处于状态设氢原子处于状态 求氢原子能量，角动量平方及角动量求氢原子能量，角动量平方及角动量求氢原子能量，角动量平方及角动量求氢原子能量，角动量平方及角动量z z分量的可能值，分量的可能值，分量的可能值，分量的可能值，这些这些这些这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。可能值出现的几率和这些力学量的平均值。可能值出现的几率和这些力学量的平均值。可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：解：能量可能值：能量可能值：，二度简并，几率为，二度简并，几率为1 1。能量平均值：能量平均值：角动量平方的可能值：角动量平方的可能值：角动量角动量z z分量可能值：分量可能值：几率：几率：1/4 3/41/4 3/4 ，二度简并，二度简并3.9设氢原子处于状态 2828补充：证明补充：证明补充：证明补充：证明证：证：3.13.1一维谐振子处在基态一维谐振子处在基态一维谐振子处在基态一维谐振子处在基态 ，求，求，求，求(1)(1)势能的平均值势能的平均值势能的平均值势能的平均值 (2)(2)动能的平均值动能的平均值动能的平均值动能的平均值 (3)(3)动量的几率分布函数动量的几率分布函数动量的几率分布函数动量的几率分布函数解解:(1)(1)补充：证明2929(2)(2)平均动能平均动能量子力学经典题目及解答课件3030利用利用积分公式利用利用积分公式 和和 的厄米性，又解：的厄米性，又解：(3)(3)可用动量本征函数可用动量本征函数 来展开：来展开：利用利用积分公式 和3131动量几率密度动量几率密度(动量取值在动量取值在p p附近单位动量区间的几率附近单位动量区间的几率密度密度)：实际上，实际上，就是以就是以p p为变量的谐振子的波函数为变量的谐振子的波函数量子力学经典题目及解答课件3232又解，利用又解，利用 求求 和和 （平均动能）（平均动能）3.23.2氢原子处于基态氢原子处于基态氢原子处于基态氢原子处于基态 ，求，求，求，求(1)r(1)r的平均值的平均值的平均值的平均值(2)(2)势能势能势能势能 的平均值的平均值的平均值的平均值 (3)(3)最可几半径最可几半径最可几半径最可几半径 (4)(4)动量平均动量平均动量平均动量平均值值值值(5)(5)动量的几率分布函数动量的几率分布函数动量的几率分布函数动量的几率分布函数解解:(1)(1)由公式由公式又解，利用 求 和 （平均动能）3333(2)(2)(3)(3)在半径在半径rr+drrr+dr的球壳内找到电子的几率：的球壳内找到电子的几率：量子力学经典题目及解答课件3434代回代回 中，可见中，可见 为为 极小点（极小点（w=0w=0）最可几半径（几率密度最大处）：最可几半径（几率密度最大处）：r=ar=a0 0 (4)(4)动能平均值：动能平均值：量子力学经典题目及解答课件3535(5)(5)(5)3636动量空间的几率分布（动量在动量空间的几率分布（动量在pp+dppp+dp球壳内的几率球壳内的几率）：）：3.83.8在一维无限深势阱中运动的粒子的状态波函数为在一维无限深势阱中运动的粒子的状态波函数为在一维无限深势阱中运动的粒子的状态波函数为在一维无限深势阱中运动的粒子的状态波函数为其中其中其中其中a a为势阱宽度，为势阱宽度，为势阱宽度，为势阱宽度，A A为归一化常数。求粒子能量的几率分布和为归一化常数。求粒子能量的几率分布和为归一化常数。求粒子能量的几率分布和为归一化常数。求粒子能量的几率分布和能量的平均值。能量的平均值。能量的平均值。能量的平均值。解：先归一化：解：先归一化：量子力学经典题目及解答课件3737即，即，粒子在无限深势阱中的能级是分立的粒子在无限深势阱中的能级是分立的E En n，所以，所以 ，其中其中 为无限深势阱中粒子的能量本征函数。为无限深势阱中粒子的能量本征函数。即，3838即即能量的几率分布：能量的几率分布：能量平均值：能量平均值：又解：又解：量子力学经典题目及解答课件39393.53.5一刚性转子转动惯量为一刚性转子转动惯量为一刚性转子转动惯量为一刚性转子转动惯量为I I，它的能量表达式为，它的能量表达式为，它的能量表达式为，它的能量表达式为 ，L L为为为为角动量。求量子转子在下列情况下的定态能量及波函数。角动量。求量子转子在下列情况下的定态能量及波函数。角动量。求量子转子在下列情况下的定态能量及波函数。角动量。求量子转子在下列情况下的定态能量及波函数。(1)(1)转子绕一固定轴转动；转子绕一固定轴转动；转子绕一固定轴转动；转子绕一固定轴转动；(2)(2)转子绕一固定点转动。转子绕一固定点转动。转子绕一固定点转动。转子绕一固定点转动。解解:(1)(1)设转子绕设转子绕z z轴转动，则轴转动，则能量本征值方程：能量本征值方程：利用自然边界条件：利用自然边界条件：归一化形式为归一化形式为 为整数。为整数。解二：已知解二：已知 的本征函数为的本征函数为3.5一刚性转子转动惯量为I，它的能量表达式为 4040而而 的本征函数也是的本征函数也是 ，且本征值，且本征值(2)(2)转子绕固定点转动，转子绕固定点转动，均改变，均改变，的本征函数为球谐函数的本征函数为球谐函数 ，而，而 的本征函数也是的本征函数也是 ，且本征值，且本征值3.63.6设设设设t=0t=0时粒子状态为时粒子状态为时粒子状态为时粒子状态为 ，求此时粒子，求此时粒子，求此时粒子，求此时粒子的平均动量和平均动能。的平均动量和平均动能。的平均动量和平均动能。的平均动量和平均动能。解：解：而 的本征函数也是 ，且本4141其中其中当当 取分立值：取分立值：共共5 5个值时即有个值时即有 式。式。要求归一化：要求归一化：，即，即平均动能：平均动能：其中4242补充题：补充题：补充题：补充题：1.1.计算下列积分。其中计算下列积分。其中计算下列积分。其中计算下列积分。其中 为一维线性谐振子的波函数（能为一维线性谐振子的波函数（能为一维线性谐振子的波函数（能为一维线性谐振子的波函数（能量本征波函数）量本征波函数）量本征波函数）量本征波函数）解：由公式解：由公式利用谐振子哈密顿算符本征函数的正交归一性，可得：利用谐振子哈密顿算符本征函数的正交归一性，可得：(1)(1)补充题：4343(2)(2)实际上分别是算符实际上分别是算符 和和 在谐振子能量表象中的矩在谐振子能量表象中的矩阵元阵元2.2.证明：证明：证明：证明：证：证：(2)44443.133.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量。利用测不准关系估计氢原子的基态能量。利用测不准关系估计氢原子的基态能量。利用测不准关系估计氢原子的基态能量。解：解：量子力学经典题目及解答课件4545量子力学经典题目及解答课件4646量子力学经典题目及解答课件4747