解直角三角形教学课件2

直角三角形直角三角形 三边之间关系三边之间关系锐角之间关系锐角之间关系边角之间关系边角之间关系(以锐角以锐角A为例为例)a2+b2=c2（勾股定理）（勾股定理）A+B=90练习练习:在在RtABCABC中，中，C=90C=90，AC=12,AC=12,AB=13,AB=13,则有则有 根据勾股定理得根据勾股定理得:BCBC=_=_=_=_ sinAsinA=_=_=_=_ cosAcosA=_=_ tanAtanA=_=_ =_=_ cotAcotA=_=_=_=_5132-12212135解直角三角形应用解直角三角形应用 -测高问题测高问题在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上方的角叫做方的角叫做仰角仰角。视线在水平线下方的角叫做。视线在水平线下方的角叫做俯角俯角。仰角与俯角都是视线与水平线所成的角。仰角与俯角都是视线与水平线所成的角。例例.如如图，我班的一个学生小，我班的一个学生小组进行行测量小山高量小山高度的度的实践活践活动部分同学在山脚点部分同学在山脚点A测得山腰上得山腰上一点一点D的仰角的仰角为30，并，并测得得AD 的的长度度为180米；米；另一部分同学在山另一部分同学在山顶点点B测得山脚点得山脚点A的俯角的俯角为45，山腰点，山腰点D的俯角的俯角为60请你帮助他你帮助他们计算算出小山的高度出小山的高度BC（计算算过程和程和结果都不取近似果都不取近似值）在RtADF中，AD=180，DAF=30，DF=90，AF=90解：如图设BC=x，解得x=90+90（x-90）FC=AC-AF=x-90 BAC=ABC=45，AC=BC=x BE=BC-EC=x-90 在RtBDE中，BDE=60，DE=BE=（x-90）=x-90 DE=FC，例例.如如图，在，在观测点点E测得小山上得小山上铁塔塔顶A的仰角的仰角为60，铁塔底部塔底部B的仰角的仰角为45已知塔高已知塔高AB=20m，观察点察点E到地面的距离到地面的距离EF=35m，求，求小山小山BD的高（精确到的高（精确到0.1m，1.732）4解：如图，过C点作CEAD于Cx-x 解得x=10AB=AC-BC，即20=BD=BC+CD=BC+EF设BC=x，则EC=BC=x 在RtACE中，AC=x，+10+10+3545+101.73262.3（m）所以小山BD的高为623m=10ABC45例：在山脚例：在山脚C处测得山顶处测得山顶A的仰角为的仰角为45.问问题如下：（题如下：（1）沿着水平地面向前）沿着水平地面向前300m到达到达D点，在点，在D点测得山顶点测得山顶A的仰角为的仰角为60，求山，求山高高AB.D60 x300m练习：练习：如图如图,河对岸有水塔河对岸有水塔AB.在在C处测处测得塔顶得塔顶A的仰角为的仰角为30,向塔前进向塔前进12m到达到达D,在在D处测得处测得A的仰角为的仰角为45,求塔高求塔高.DCBA453012m练习练习:从从20米高的甲楼顶米高的甲楼顶 A 处望乙楼顶处望乙楼顶C处的仰角为处的仰角为30，望乙楼底，望乙楼底D处的俯角的俯角为45，求乙楼的高度。，求乙楼的高度。AC水平线水平线DB甲甲乙乙20m30 45解直角三角形应用解直角三角形应用 -坡度问题坡度问题 如图，坡面的铅垂高度（如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（）和水平长度（l）的比叫做的比叫做坡面坡度坡面坡度（或（或坡比坡比）.记作记作i，即，即i=.坡坡度度通通常常写写成成1 m的的形形式式，如如i=1 6.坡面与水平面的夹角叫做坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角，记作记作a，即即i =tan a显然，显然，坡度越大，坡角坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.在在修修路路、挖挖河河、开开渠渠和和筑筑坝坝时时，设设计计图图纸纸上上都都要注明斜坡的倾斜程度要注明斜坡的倾斜程度.练习：练习：（1 1）一一 段段 坡坡 面面 的的 坡坡 角角 为为 6060，则则 坡坡 度度i=_;i=_;（2 2）已知一段坡面上，铅直高度为）已知一段坡面上，铅直高度为 ，坡面长为坡面长为 ，则坡度则坡度i i_,_,坡角坡角_。你会算吗？你会算吗？1 坡角坡角=45坡比坡比i=3 坡比为坡比为，坡角，坡角的余弦值为的余弦值为1 1302 坡比为坡比为,坡角坡角=例例1、一段河坝的断面为梯形、一段河坝的断面为梯形ABCD，BC=4.5高为高为4米，试根据图中的数据，求出坝底宽米，试根据图中的数据，求出坝底宽AD。Ei=1：3ABCDi=1：2F解：作BFAD于F，CE AD于EBF：AF=1：2又BF=4AF=8CE：DE=1：3CE=4DE=12 BC=4.5EF=4.5AD=AF+EF+DE=8+4.5+12=24.5（米）答：坝底宽AD为24.5米。例例2.2.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m6m，坝高，坝高 23m23m，斜坡，斜坡ABAB的坡度的坡度i=13i=13，斜坡，斜坡CDCD的坡度的坡度 i=12.5i=12.5，求：，求：（1 1）坝底坝底AD与与斜坡斜坡AB的长度。（的长度。（精确到精确到0.1m）（2 2）斜坡）斜坡CDCD的坡角的坡角。（精确到。（精确到 ）EFADBCi=1:2.5236 解：解：(1)分别过点分别过点B、C作作BE AD，CF AD，垂足分别为点垂足分别为点E、F,由题意可知由题意可知在在Rt ABE中中BE=CF=23m EF=BC=6m在在Rt DCF中，同理可得中，同理可得=69+6+57.5=132.5m在在Rt ABE中，由勾股定理可得中，由勾股定理可得(2)斜坡斜坡CD的坡度的坡度i=tan=1：2.5=0.4 由计算器可算得由计算器可算得EFADBCi=1:2.5236 答：坝底宽答：坝底宽AD为为132.5米，斜坡米，斜坡AB的长约为的长约为72.7米斜坡米斜坡CD的坡角的坡角约约为为22。v（2019内江）内江）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形.如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，背水坡面的长为 米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米。v已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？v求加固后的大坝背水坡面的坡度。课堂小结课堂小结:1 1弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题数学问题 2 2认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题 3 3选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错且不易出错4 4按照题中的精确度进行计算，并按照题目按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位中要求的精确度确定答案以及注明单位解直角三角形应用解直角三角形应用 -航海问题航海问题方方向向角角北东西南A A5858 2828 B B北偏东北偏东5858南偏西南偏西2828例题：某船自西向东航行，在例题：某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的方向上，前进的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向上，问（的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？A北南西东北南西东某船自西向东航行，在某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的的方向上，前进方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向的方向上，问（上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？如图如图,河对岸有水塔河对岸有水塔AB.在在C处测得塔顶处测得塔顶A的仰角为的仰角为30,向塔前向塔前进进12m到达到达D,在在D处测得处测得A的仰角为的仰角为45,求塔高求塔高.DCBA453012m解解:若设若设ABx,则易得则易得 BD=x.BC=x12.在在RtACB中中,由由ACB=30,得得 解得解得x小结小结:本例告诉我们在应用解直角三角形解决测量问题时本例告诉我们在应用解直角三角形解决测量问题时,一般要先画一般要先画 出测量示意图出测量示意图,然后借助示意图然后借助示意图,利用直角三角形中角、边之间的利用直角三角形中角、边之间的 数量关系求出所要求的距离或角度数量关系求出所要求的距离或角度.30458千米ABCD某船自西向东航行，在某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的的方向上，前进方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向的方向上，问（上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？解：练习练习1：如图所示，某船以每小时：如图所示，某船以每小时36海里的速度海里的速度向正东航行，在向正东航行，在A点测得某岛点测得某岛C在北偏东在北偏东60方向方向上，航行半小时后到上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东点，测得该岛在北偏东30方向上，已知该岛周围方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁海里内有暗礁（1）试说明）试说明B点是点是否在暗礁区域外否在暗礁区域外（2）若继续向东）若继续向东航行，有无触礁危航行，有无触礁危险？请说明理由险？请说明理由 北北东东ABCD解：（解：（1）AB=360.5=18，ADB=60，DBC=30，ACB=30又又CAB=30，BC=AB=1816，B点在暗礁区域外点在暗礁区域外（2）过）过C点作点作CH AF，垂足为，垂足为H，在，在Rt CBH中，中，BCH=30，令令BH=x，则，则CH=x，在，在Rt ACH中，中，CAH=30，AH=CH，18x=-x，x=9，CH=916，船继续向东航行有触礁的危险船继续向东航行有触礁的危险答：答：B点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危险险1.解直角三角形解直角三角形,就是在直角三角形中就是在直角三角形中,知道除直角外的其他知道除直角外的其他 五个元素中的两个五个元素中的两个(其中至少有一个是边其中至少有一个是边),),求出其它元素的求出其它元素的 过程过程.2.与之相关的应用题有与之相关的应用题有:求山高或建筑物的高求山高或建筑物的高;测量河的宽度测量河的宽度 或物体的长度或物体的长度;航行航海问题等航行航海问题等.解决这类问题的关键就是解决这类问题的关键就是 把实际问题转化为数学问题把实际问题转化为数学问题,结合示意图结合示意图,运用解直角三角运用解直角三角 形的知识形的知识.3.当遇到当遇到30,45,6030,45,60等特殊角时等特殊角时,常常添加合适的辅助线分割常常添加合适的辅助线分割 出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题.4.应用解直角三角形知识解应用题时应用解直角三角形知识解应用题时,可按以下思维过程进行可按以下思维过程进行:寻找直角三角形寻找直角三角形,若找不到若找不到,可构造可构造;找到的直角三角形是否可解找到的直角三角形是否可解,若不可直接求解若不可直接求解,利用题中利用题中 的数量关系的数量关系,设设x x求解求解.【课堂点睛课堂点睛】: