无穷级数---课件

第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质第十章第十章 无穷级数无穷级数第一节第一节 数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质 第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 第三节第三节 幂级数幂级数 第四节第四节 幂级数展开幂级数展开 第五节第五节 傅里叶级数傅里叶级数 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质2第五节第五节 傅里叶级数傅里叶级数一一.三角函数系的正交性三角函数系的正交性二二.以以 为周期的函数的为周期的函数的 傅里叶级数傅里叶级数本节主要内容本节主要内容:三三.定义在定义在 上的函上的函 数展开成傅里叶级数数展开成傅里叶级数 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质一、函数项级数v函数项级数 定义10.3.1 是定义在区间I上的函数列，称和式 为 定 义 在 区 间I上 的（函 数 项）级 数，记 为 .例如：第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一 种周期运动.最简单的周期运动,可用正弦函数 来描述.由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,其中A为振幅.为初相角,为角频率,于是简谐 振动y 的周期是 较为复杂的周期运动,则 常常是几个简谐振动 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质由于简谐振动yk 的周期为所以函数(2)周期为T.对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数 的叠加：若级数(3)收敛,则它所描述的是更为一般的周期运 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质动现象.对于级数(3),只须讨论 (如果可 令=t)的情形.由于 所以 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质它是由三角函数列(也称为三角函数系)所产生的一般形式的三角级数.容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一 个以 为周期的函数.则级数()可写成 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质非正弦型周期函数：矩形波 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质v三角级数 形如 的级数称为三角级数 其中a0 an bn(n1 2 )都是常数.1 cos x sin x cos 2x sin 2x cos nx sin nx v三角函数系 v三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 上的积分等于零 而任何两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于零.第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质则称 与在上是正交的,或在上具有正 交性.由此三角函数系在上具有正交性.或者说三角函数系是正交函数系.若两个函数与在上可积,且 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质二、以二、以2 2 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数问题:1.若能展开,是什么?2.展开的条件是什么?1.求系数 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质傅里叶系数由此可知,若f是以 为周期且在 上可积的 函数,则可按公式)计算出 和,它们称为函数 f(x)的傅里叶系数,以 f(x)的傅里叶系数为系数的三角级数称为 f(x)的傅里叶级数,记作 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质v傅里叶级数 三角级数 称为傅里叶级数,其中a0,a1,b1,是傅里叶系数.然而,函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛?如果它收敛,它是否一定收敛于函数f(x)?一般来说,这两个问题的答案都不是肯定的.一个定义在(,)上周期为2的函数f(x),如果它在一个周期上可积,则一定可以作出f(x)的傅里叶级数.第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质 定理10.5.1(收敛定理 狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2的周期函数,如果它满足:(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,(2)在一个周期内至多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,并且(1)当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);(2)当x是f(x)的间断点时,级数收敛于 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质例1：设f(x)为周期为2的周期函数，其在一个周期内的解析式为求f(x)的傅里叶级数展开式函数 f(x)的图像如图 所示,因此它满足狄利克雷条件它除了 的点外都连续，第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质计算傅里叶系数 因此它满足狄利克雷条件，在 处f(x)的傅里叶级数收敛于 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质例2：设f(x)为周期为2的周期函数，其在一个周期内的解析式为求f(x)的傅里叶级数展开式函数 f(x)的图像如图 所示,第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质函数满足收敛定理 条件,除了点 外处处连续。当xk时，函数f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)当x=k时级数收敛于 由于f(x)除点x=k以外都符合奇函数的要求据定积分的性质有 计算傅里叶系数 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质一般地，周期为2的奇函数f(x)展开成傅里叶级 数时，其傅里叶系数为 于是f(x)的傅里叶级数为 它只含有正弦项，称为正弦级数.v正弦级数 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质例3：设f(x)为周期为2的周期函数，其在一个周期内的解析式为f(x)=x2,求f(x)的傅里叶级数展开式函数f(x)满足收敛定理的条件，在(-,+)内函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f(x)因为f(x)在(-,上为偶函数，由公式有所以函数f(x)的傅里叶级数展开式为 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质周期为2的偶函数f(x)展开成傅里叶级数时，其 傅里叶系数为 于是f(x)的傅里叶级数为 它只含有 余弦项，称为余弦级数.v余弦级数 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质v周期延拓 设f(x)只在,上有定义,我们可以在,)或(,外补充函数f(x)的定义,使它拓广成周期为2的周期函数F(x),在(,)内,F(x)f(x).延拓前 yf(x)延拓后 yF(x)第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质例4：将函数f(x)=|x|,x-,展开成傅里叶级数.所给函数在区间,上满足收敛定理的条件,并且延拓为周期函数时,它在每一点x处都连续,因此延拓的周期函数的傅里叶级数在,上收敛于f(x).第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质三、定义在三、定义在 0,0,上的函数展开成傅里叶级数上的函数展开成傅里叶级数v奇延拓与偶延拓 设函数f(x)定义在区间0,上并且满足收敛定理的条件,我们在开区间(,0)内补充函数f(x)的定义,得到定义在(,上的函数F(x),使它在(,)上成为奇函数(偶函数).按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓).限制在(0,上,有F(x)f(x).奇延拓偶延拓 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质v展开成正弦级数或余弦级数的步骤 1、对函数f(x)在(,上进行奇延拓（或偶延拓）.2、将F(x)以2为周期进行周期延拓，所得函数的傅里叶展开式必为正弦级数（或余弦级数）.3、据F(x)的傅里叶展开式的成立区间，限制x属于(0,、(0,)、0,中的某一个，此时F(x)=f(x)，端点处依据收敛定理另行讨论，这样便得到了f(x)的正弦级数（或余弦级数）.第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质例5：将函数f(x)=x+1,x0,展开成正弦级数和余弦级数.先求正弦级数.为此对函数f(x)进行奇延拓.第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质所以函数f(x)的正弦级数为 当x=0及x=时级数都收敛于0 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质再求余弦级数.为此对函数f(x)进行偶延拓.第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质于是f(x)=x+1的余弦级数为（0 x）由上述可见，以2为周期的函数和定义在区间-,上的函数，它们的傅里叶级数展开式是唯一的，但对定义在区间0,上的函数可以用不同的方式进行延拓，从而得到不同的傅里叶级数展开式，因此它的展开式不唯一，但在连续点处级数都收敛于f(x)第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质四、周期为四、周期为2 2l l的函数展开成傅里叶级数的函数展开成傅里叶级数问：怎样求周期为2l的函数的傅里叶级数？方法：设以2l为周期的函数f(x)满足收敛定理的条件，作变量代换 即 显然，当 x 在区间 -l，l 上取值时，t 在 区间-，取值。将上 代入函数中，得 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质F(t)是以2为周期的周期函数，并且也满足收敛定理的条件.将F(t)展开为傅里叶级数：其中 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质在以上各式中，再将变量t换成x，且有f(x)=F(t)于是得到周期为2l的函数f(x)的傅里叶级数为 其中 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质v收敛定理 设f(x)是周期为2l的周期函数，且满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数 在(-,+)上收敛,且(1)当x为连续点时，级数收敛于f(x)(2)当x为间断点时，级数收敛于其中(1)(2)第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质若f(x)是奇函数，则它的傅里叶级数是正弦级数 其中 若f(x)是偶函数，则它的傅里叶级数是余弦级数 其中 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质v定义在-l,l上的函数展开成傅里叶级数 若f(x)只在-l,l上有定义，且满足收敛定理的条件，也可将它展开为傅里叶级数。方法：首先，将f(x)进行周期延拓，将它拓广为周期为2l的周期函数F(x);然后将F(x)展开成傅里叶级数；最后，再将x限制在-l,l上，就得到f(x)的傅里叶级数展开式。在点x(-l,l)x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)在端点x=l级数收敛于x是f(x)的间断点时，级数收敛于 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质v定义在0,l上的函数展开成傅里叶级数若f(x)只在0,l上有定义，且满足收敛定理的条件，可将它展开成正弦级数和余弦级数。展开成正弦级数的方法：首先，将f(x)进行奇延拓，将它拓广为-l,l上的奇函数F(x);然后将F(x)展开成正弦级数；最后，再将x限制在0,l上，就得到f(x)的傅里叶级数展开式。在点x(0,l)x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)在端点x=0，l级数收敛于0 x是f(x)的间断点时，级数收敛于 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质展开成余弦级数的方法：首先，将f(x)进行偶延拓，将它拓广为-l,l上的偶函数F(x);然后将F(x)展开成余弦级数；最后，再将x限制在0,l上，就得到f(x)的傅里叶级数展开式。在点x(0,l)x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)在端点x=0，级数收敛于f(0+)x是f(x)的间断点时，级数收敛于在端点x=l，级数收敛于f(l-)第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质因为2l=4，所以l=2，f(x)的傅里叶系数为：例5：设f(x)是周期为4的周期函数，它在-2,2)上的表达式为将f(x)展开成傅里叶级数（A为不等于0的常数）.第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质故f(x)的傅立叶级数为：第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质小结1.基本概念；2.傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件；4.非周期函数的傅氏展开式；5.傅氏级数的意义整体逼近 第十章第十章无穷级数无穷级数 第一节第一节数项级数的概念与性质数项级数的概念与性质